1 / 23

TODENNÄKÖISYYSLASKENTA

TODENNÄKÖISYYSLASKENTA. Mika Rantanen 2011. Peruskäsitteitä. Tapahtumaa, jonka tuloksen määrää sattuma, kutsutaan satunnaisilmiöksi. Tapahtuman mahdollisia tuloksia kutsutaan alkeistapauksiksi . Kaikkien mahdollisten alkeistapausten joukkoa kutsutaan otosavaruudeksi E

kemp
Download Presentation

TODENNÄKÖISYYSLASKENTA

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. TODENNÄKÖISYYSLASKENTA Mika Rantanen 2011

  2. Mika Rantanen 2011 Peruskäsitteitä • Tapahtumaa, jonka tuloksen määrää sattuma, kutsutaan satunnaisilmiöksi. • Tapahtuman mahdollisia tuloksia kutsutaan alkeistapauksiksi. • Kaikkien mahdollisten alkeistapausten joukkoa kutsutaan otosavaruudeksi E • Jos kaikki alkeistapaukset ovat yhtä todennäköisiä, niitä kutsutan symmetrisiksi.

  3. Mika Rantanen 2011 Klassinen todennäköisyys • Jos joukko A on k:n suotuisan alkeistapauksen joukko otosavaruudessa E, jossa on n(A) kpl symmetrisiä alkeistapauksia, niin tapahtuman A klassinen todennäköisyys on E A

  4. Mika Rantanen 2011 Todennäköisyyden ilmoittaminen • Todennäköisyys ilmoitetaan desimaalilukuna 0-1 tai prosenttilukuna 0%-100% • Varman tapauksen todennäköisyys on 1 (100%) • Mahdottoman tapauksen todennäköisyys on 0 (0%)

  5. Mika Rantanen 2011 esimerkki • 3-lapsisen perheen tyttöjen lukumäärä: E = {ppp, ppt, ptp, tpp, ptt, tpt, ttp, ttt}

  6. Mika Rantanen 2011 Komplementtitapaus • Tapauksen komplementtitapaus ”ei ” on

  7. Mika Rantanen 2011 esimerkki • Millä todennäköisyydellä • Korttipakasta otettu kortti ei ole pata? • Nopanheitossa neljällä heitolla saadaan ainakin yksi kuutonen? • 5-lapsisessa perheessä on ainakin yksi tyttö?

  8. Mika Rantanen 2011 Kertolaskusääntö riippumattomille tapahtumille • Tapahtumat A ja B ovat riippumattomat, jos tapahtuman B todennäköisyys ei riipu siitä onko A sattunut vai ei. • Riippumattomien tapahtumien A ja B todennäköisyys voidaan laskea kertomalla tapausten todennäköisyydet.

  9. Mika Rantanen 2011 esimerkkejä • Millä todennäköisyydellä saadaan korttipakasta peräkkäin otetuista korteista • Kaksi ässää, kun kortti laitetaan noston jälkeen takaisin • Kaksi ässää, kun korttia ei laiteta noston jälkeen takaisin

  10. Mika Rantanen 2011 esimerkkejä • Millä todennäköisyydellä saadaan • korttipakasta ensimmäiseksi kortiksi pata ja toiseksi ässä, kun kortti laitetaan noston jälkeen takaisin? • Nopanheitossa neljä ykköstä peräkkäin?

  11. Mika Rantanen 2011 Yhteenlaskusääntö • Jos tapahtumat A ja B ovat erillisiä, ne ovat toisensa poissulkevia eli niillä ei ole samoja alkeistapauksia • Todennäköisyys, että A tai B tapahtuu, kun tapaukset A ja B ovat erillisiä: E B A

  12. Mika Rantanen 2011 esimerkki • Millä todennäköisyydellä a. Nopanheitossa saadaan 1 tai 2? P(1 tai 2)= P(1) + P(2) =1/6+1/6 =0,17+0,17 =0,33 b. Korttipakasta vedetty kortti on kuvakortti tai nelonen

  13. Mika Rantanen 2011 Yhteenlaskusääntö • Todennäköisyys, että A tai B tapahtuu: E B A

  14. Mika Rantanen 2011 esimerkki • Millä todennäköisyydellä satunnaisesti nostettu kortti on • Ässä tai hertta • Parillinen tai musta

  15. Mika Rantanen 2011 KOMBINATORIIKKA • Monellako tapaa n alkion joukosta voidaan valita k alkiota (k  n): • Kertaotoksena, jolloin sama alkio voidaan valita vain kerran • Toisto-otoksena, jolloin sama alkio voidaan valita useamman kerran • Otos voi olla järjestetty (jono), jolloin alkioiden järjestyksellä on väliä • Otos voi olla järjestämätön (joukko), jolloin alkioiden järjestyksellä ei ole väliä

  16. Mika Rantanen 2011 Kertoma ! • Monellako tavalla n alkion joukko voidaan järjestää (permutoida)? • Esim. Kuusi oppilasta voidaan järjestää jonoon 6! tavalla: • Huomaa! 1!=1 0!=1

  17. Mika Rantanen 2011 Montako k-alkioista jonoa voidaan muodostaa n alkion joukosta • Kertaotoksena Esim. Kuinka monta erilaista kolmen henkilön jonoa voi muodostaa viidestä oppilaasta?

  18. Mika Rantanen 2011 Montako k-alkioista jonoa voidaan muodostaa n alkion joukosta • Toisto-otoksena Esim. Kuinka monta erilaista veikkausriviä ( 1, X tai 2 ) voidaan tehdä, kun veikattavia otteluja on 13?

  19. Mika Rantanen 2011 tehtävä Kuinka monta erilaista kolmen kirjaimen ”sanaa” voi muodostaa kirjaimista A, L, K, U? • toisto-otoksena? • kertaotoksena

  20. Mika Rantanen 2011 tehtäviä Kuinka monta erilaista 2- tai 3- kirjaimista ”sanaa” voi muodostaa kirjaimista A, L, K, U? • toisto-otoksena? • Kertaotoksena?

  21. Mika Rantanen 2011 Montako k-alkioista joukkoa voidaan muodostaa n-alkioisesta joukosta? Esim.

  22. Mika Rantanen 2011 tehtäviä

  23. Mika Rantanen 2011 tehtäviä • Kuinka monella tavalla • voidaan valita 7 alkiota 10 alkion joukosta? • voidaan valita järjestäjäpari 20 oppilaan luokasta? • neljä pelaaja tenniksen nelinpeliin 12 pelaajan joukosta? • voidaan valita luokalle 20 oppilasta 85 oppilaan joukosta

More Related