תכונות של סדרות

1. תכונות של סדרות אלכסנדרברנגולץ דואר אלקטרוני: aer@cs.technion.ac.il

2. אותות בדידים סדרות • מדד משתנים - ממוצע משוקלל של שערי המניות בבורסה. DJ(n)R+ • Bit Stream:סידרה...x(n){0,1} …010101111000 • Sampled Signal:דוגמים אות חשמלי(v(t בפרקי זמןקבועים: (tn=nT x(n)=v(tn עיבוד תמונות ואותות במחשב

3. תכונות של אותות • למשלx(n)=n mod k, kN nZ • חסום: • לא סופי: • מחזורי: (בדיוק לפי הגדרת המחזוריות) עיבוד תמונות ואותות במחשב

4. X(n) Y(n) Y(n)=0.5[Y(n-1)+X(n)] ההוצאות בחודש n החיוב בחודש n n 0 1 3 4 5 2 X(n) 0 1000 0 1000 1000 0 Y(n) 0 500 875 437.5 218.75 750 X(n) Y(n) Y(n)=0.5[1.1*Y(n-1)+X(n)] מערכת קשר בין שני אותות • דוגמה: חיובי בנק במבצע “שלם רק חצי” המחזיק בכרטיס אשראי משלם רק חצי מהחיובים שהצטברו: למשל: אם פלוני הוציא 1000 ש”ח בכל חודש 1,2,3 ובשאר לא בזבז אז: אםהבנק גם לוקח ריבית על החוב (נגיד 10% בחודש) אז: עיבוד תמונות ואותות במחשב

5. מערכת היא חסרת זיכרון אם התגובה שלה תלויה אך ורק בערך של אות הכניסה בזמן הנוכחי. ((y(n)=sin(x(nמערכת חסרת זיכרון. ((y(n)=exp(-x(n)+cos(n-3 מערכת חסרת זיכרון. ((1-y(n)=sin(x(nמערכת בעלת זיכרון. (y(n)=x(n)*x(3מערכת בעלת זיכרון. תכונות של מערכות זיכרון עיבוד תמונות ואותות במחשב

6. מערכת נקראת סיבתית אם לכל בחירה שלn0יציאת המערכת ברגעn=n0תלוייהאך ורק באות הכניסה ברגעיםnn0. קיום של תנאי זה גורם, למשל, לכך שאם(x1(n)=x2(nלכלnn0 אזי גם[(T[x1(n)]=T[x2(nלכלnn0 . דוגמאות: מערכתyn=xn+1- xn (גזירה קדימה) - היא לא סיבתית מערכתyn=xn- xn-1 (גזירה אחורה) - היא כאן סיבתית מערכת[yn=3[2yn-1+ xn - היא גם כאן סיבתית מערכתyn=xn+ x1 - היא לא סיבתית תכונות של מערכותסיבתיות עיבוד תמונות ואותות במחשב

7. מערכות יציבות:yn=sin(xn), yn= xn+1-xn-1,yn= maxn[1,n] xi מערכת לא יציבה, למשל: yn= n[1,n] xi נורמת -pשל האות היא הערך מערכת היא יציבה במובן “הכניסה חסומה - תוצאה חסומה” (BIBO) אם אות כניסה חסום גורר שגם התוצאה חסומה: if ||x||<   ||y||<  תכונות של מערכותיציבות BIBO עיבוד תמונות ואותות במחשב

8. מערכת היא קבועה בהזזה אם הזזת אות הכניסה גורמת להזזת אות היציאה באותה מידה. איך לבדוק האם מערכת היא קבועה בהזזה? נזיז את אות הכניסה ונחשב את המוצא: כלומר בכל מקום שכתוב(x(n צריך לרשום(x(n-k. למשל, במקום(x(3צריך לרשום (x(3-k. נזיז את אות המוצא: נציב : כלומר בכל מקום שכתוב בו(y(n צריך לרשום(y(n-k: למשל, במקום(y(3צריך לרשום (y(3-k, ובמקוםnיירשםn-k. מערכות קבועות בהזזה(Shift\TimeInvariant) עיבוד תמונות ואותות במחשב

9. y(n) y(n) x(n) x(n) y(n)=5[x(n-1)+3] y(n)=n x(n) מערכות קבועות בהזזה(דוגמאות) מערכת קבועה בהזזה. מערכת אינה קבועה בהזזה. עיבוד תמונות ואותות במחשב

10. y(n) y(n) x(n) x(n) y(n)=  y(n-1)+ x(n) y(n)=  x(3)+ x(n) מערכות קבועות בהזזה(דוגמאות נוספות) מערכת קבועה בהזזה. מערכת אינה קבועה בהזזה. עיבוד תמונות ואותות במחשב

11. מערכת נקראת ליניארית אם תגובתה לסכום משוקלל של אות כניסה שווה לסכום התגובות לאותות האלה: T[x1(n)+x2(n)] = T[x1(n)]+T[x2(n)] וגם, אם[x[n]= k ak xk[n אז גם[y[n]= k ak yk[n דוגמאות: מערכתT[x]=5 היא לא ליניארית ([T[2x]=52T[x) מערכתT[x]=x+3 היא גם כן לא ליניארית מערכתT[xn]=2xn+x2 היא מערכת ליניארית מערכות ליניאריות עיבוד תמונות ואותות במחשב

12. y(n) x(n) דוגמה (חלון נע) • ליניארית • קבועה בהזזה • לא חסרת זיכרון (אלא אםk1=k2=0 ) • סיבתית אמ”מk2=0 • יציבה BIBO עיבוד תמונות ואותות במחשב

13. y(n) x(n) דוגמה (ממוצע משוקלל בזמן) • ליניארית • לא קבועה בהזזה: למשל אפילו אםk1=k2=0 אז(y(n)=n x(n • לא חסרת זיכרון (אלא אםk1=k2=0 ) • סיבתית א”אםk2=0 • לאיציבה BIBO עיבוד תמונות ואותות במחשב

14. מערכות לינאריות קבועות בהזזה (LSI) • נפרק את אות הכניסה כסכום של פונקציות: {x(n)} = i xi(n-i) • אם מערכת היא ליניארית תגובתה לסכום אותות היא סכום התגובות: T[x(n)]=T[i xi(n-i)]= i xi T[(n-i)]  i xih(n,i) • אם מערכת גם קבועה בהזזה:(h(n,k) h(n-k • כך נוכל לרשום:(y(n)=T[x(n)]= i=- xi h(n-i • כאשר[(h(n)=T[(n נקראת תגובת המערכתT להלם. • הסכום(y(n)= ixih(n-i נקראקונוולוציהומסומן: y(n) = x(n) * h(n) עיבוד תמונות ואותות במחשב

15. T1 x(n)  y(n) T2 סכום של תגובות הלם דוגמה: חיבור מערכות LSI במקביל עיבוד תמונות ואותות במחשב

16. דוגמה: “המבצע של הבנק” (המשך) נחשב כעת את החיובים באמצעותקונוולוציה: אות כניסה - הוצאות ב 1,2,3: תגובה של מערכת להלם (בזמן 0): מערכות כמו המערכת הזאת נקראותInfinite Impulse(Response (IIR עיבוד תמונות ואותות במחשב

17. מסנן החלקה\סכימה המסנן הזה הוא הכללה של דוגמה קודמת:  נחשב את תגובת ההלם: מקבלים אות תוצאה: אם(x(tמתאפס בזמן שלילי: עיבוד תמונות ואותות במחשב

18. דוגמאות נוספות למערכותLSI :Ideal Delay System  :Moving Average  :Accumulator  :Forward Difference  עיבוד תמונות ואותות במחשב

19. תכונותהקונוולוציה קומוטטיביות: אסוציאטיביות: דיסטרבוטיביות:  הזזה בזמן: עיבוד תמונות ואותות במחשב

20. n פעמים n פעמים 1 1 1 2 1 1 3 3 1 חיבור מערכות בטור (מסנן מיצוע) מה קורה בהפעלה חוזרתונישנית של מסנן מיצוע ? תהיxאות כניסה כלשהו ונתבונן בסדרת אותות היציאה: ונחשב אותה נסמן אתקונוולוציה לפי משולש פסקל נקבל: ממשפט De Moirre-Laplace: עיבוד תמונות ואותות במחשב