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Capítulo 4

Capítulo 4. Modelo de Redes. Objetivos del Capítulo. Conceptos y definiciones de redes. Importancia de los modelos de redes Modelos de programación lineal, representación en redes y soluciones usando el computador para: * Modelos de transporte. * Modelos de capacidad de transporte

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Presentation Transcript

  1. Capítulo 4 Modelo de Redes

  2. Objetivos del Capítulo • Conceptos y definiciones de redes. • Importancia de los modelos de redes • Modelos de programación lineal, representación en redes y soluciones usando el computador para: * Modelos de transporte. * Modelos de capacidad de transporte * Modelos de asignación * Modelo del vendedor viajero * Modelos de la ruta mas corta * Modelos de la rama mas corta

  3. Un problema de redes es aquel que puede representarse por: 8 6 • 9 10 Nodos Arcos 7 10 Funciones en los arcos

  4. 4.1 Introducción • La importancia de los modelos de redes: * Muchos problemas comerciales pueden ser resueltos a través de modelos redes * El resultado de un problema de redes garantiza una solución entera, dada su estructura matemática. No se necesitan restricciones adicionales para obtener este tipo de solución. * Problemas de redes pueden ser resueltos por pequeños algoritmos , no importando el tamaño del problema, dada su estructura matemática.

  5. Terminología de Redes * Flujo: Corresponde a la cantidad que debe transportarse desde un nodo i a un nodo j a través de un arco que los conecta. La siguiente notación es usada: Xij= cantidad de flujo Uij= cota mínima de flujo que se debe transportar Lij= cota maxíma de flujo que se puede transportar. * Arcos dirigidos /no dirigidos: Cuando el flujo puede transportarse en una sola dirección se tiene un arco dirigido (la flecha indica la dirección). Si el flujo puede transportarse en ambas direcciones existe un arco no dirigido (sin flecha). * Nodos adyacentes: Un nodo j es adyacente con un nodo i si existe un arco que une el nodo j con el nodo i.

  6. Rutas/Conexión entre nodos *Ruta: Una colección de arcos formados por una serie de nodos adyacentes * Los nodos están conectados si existe una ruta entre ellos. • Ciclos / Arboles /Arboles expandidos * Ciclos : Un ciclo se produce cuando al partir de un nodo por un cierto camino se vuelve al mismo nodo por otra ruta. * Arbol : Una serie de nodos que no contienen ciclos. *Arbol expandido: Es un árbol que conecta todos lo nodos de la red (contiene n-1 arcos).

  7. 4.2 Problemas de transporte Un problema de transporte surge cuando se necesita un modelo costo-efectividad que permita transportar ciertos bienes desde un lugar de origen a un destino que necesita aquellos bienes , con ciertas restricciones en la cantidad que se puede transportar.1

  8. Definición del problema * Se tienen m lugares de origen. Cada lugar de origen tiene una capacidad de producción Si *Se tienen n destinos. Cada destino j demanda Dj *Objetivo: Minimizar el costo de transporte de la carga al lugar de destino cumpliendo con las restricciones de los lugares de origen.

  9. Farmacéutica Carlton • La farmacéutica Carlton abastece de drogas y otros suministros médicos. • Esta tiene tres plantas en: Claveland, Detroit, Greensboro. • Tiene cuatro centros de distribución en: Boston, Atlanta, St Louis. • La gerencia de Carlton desea realizar el trnsporte de sus productos de la manera más económica posible.

  10. Datos Costo de transporte por unidad, oferta y demanda. • Supuestos * El costo de transporte por unidad es constante * Todos los transportes ocurren simultáneamente. * Solo se considera el costo de transporte entre el lugar de origen y el de destino * La oferta total es igual a la demanda total.

  11. Destinos Boston Origenes 35 Cleveland 30 Richmond 40 S1=1200 32 37 40 Detroit 42 25 S2=1000 Atlanta 35 15 20 St.Louis Greensboro 28 S3= 800 RED QUE REPRESENTA EL PROBLEMA D1=1100 D2=400 D3=750 D4=750

  12. Modelo matemático * La estructura del modelo es la siguiente: Minimizar <Costo total de transporte> sujeto a : cantidad a transportar desde la fabrica = oferta de la fábrica cantidad a recibir por la distribuidora = demanda de la distribuidora. * Variables de decisión: Xij = cantidad a transportar desde la fábrica i a la distribuidora j donde i = 1(Claveland), 2(Detroit), 3(Greensboro) j = 1(Boston), 2(Richmond), 3(Atlanta), 4 (St,Louis)

  13. Oferta de Cleveland X11+X12+X13+X14 = 1200 Oferta de Detroit X21+X22+X23+X24 = 1000 Oferta de Greensboro X31+X32+X33+X34 = 800 X11 Cleveland X12 X31 S1=1200 X21 X13 X14 X22 X32 Detroit X23 S2=1000 X24 X33 Greensboro S3= 800 X34 Restricciones de la Oferta Boston D1=1100 Richmond D2=400 Atlanta D3=750 St.Louis D4=750

  14. El modelo matemático completo = = = = = = =

  15. Solución optima obtenida a través de Excel

  16. Rango Optimo Análisis de Sensibilidad por WINQSB Si utilizamos esta ruta, el costo total aumentara en $5 por unidad transportada.

  17. Rango de factibilidad Precio sombra de la distribuidora - el costo de demandar una unidad más por la distribuidora. Precio sombra de la planta - el costo de cada unidad extra disponible en la planta.

  18. Interpretación de los resultados del análisis de sensibilidad. * Reducción de Costos: - La cantidad a transportar que reduce el costo por unidad entrega la ruta más económicamente atractiva. - Si una ruta debe usarse obligatoriamente, incurriendo asi en el costo que ello significa, por cada carga transportada , el costo total aumentara en una cantidad igual a la reducción del costo hecha. * Precios Sombra: - Para las plantas el precio sombra de transporte corresponde al costo de cada unidad disponible en la planta. - Para las distribuidoras, el precio sombra de transporte corresponde al costo de cada unidad extra demandada por la distribuidora.

  19. Compañía de ski MontpelierUsando un modelo de transporte para un itinerario de producción * Montpelier planea su producción de ski para los meses de julio, agosto y septiembre. * La capacidad de producción y el costo de producción unitario puede varia de un mes a otro. * La compañía puede destinar tiempo de producción adicional para la fabricación de skis. * El nivel de producción es capaz de satisfacer la demanda proyectada y un trimestre del nivel de inventario. * La gerencia desea un itinerario de producción que minimiza el costo del trimestre.

  20. Datos: * Inventario inicial = 200 pares * Nivel de inventario requerido = 1200 pares * Nivel de producción para el próximo trimestre= 400 pares (tiempo normal) 200 pares (sobretiempo) * La tasa de costo de almacenaje ed de 3% mensual por ski * El nivel de producción, la demanda esperada para del trimestre, (en pares de ski) y el costo de producción por unidad (por meses)

  21. Análisis de la demanada * Demanda neta a satisfacer en Julio = 400 - 200 = 200 pares en inventario * Demanda neta de agosto = 600 * Demanda neta en septiembre = 1000 + 1200 = 2200 pares demanda esperada inventario req. • Análisis de la oferta * La capacidad de producción corresponde a la oferta * Existen dos tipos de “oferta” 1.- Oferta producida en tiempo norma (capacidad de producción) 2.- Oferta producida en sobretiempo. • Análisis de los costos unitarios Costo Unitario= [costo unitario de producciónt] + • [costo unitario de lamacenamiento por mes ][número de • meses en inventario] • Ejemplo: Una unidad producide en julio en tiempo normal y • vendida en septiembre cuesta= 25+ (3%)(25)(2 meses) = • $26.50

  22. Representación de la Red Producción Mes/periodo Mes Ventas July R/T Julio T/N 25 25.75 26.50 0 1000 200 Julio Julio S/T 30 30.90 31.80 0 500 +M 26 26.78 0 +M +M 37 0 +M +M 29 0 Agst. T/N 600 +M 32 32.96 0 Agst.. 800 Capacidad de Producción Demanda Agst. S/T 400 2200 Sept. Sept. T/N 400 Exceso 300 Sept. S/T 200

  23. Producción Julio: tiempo normal Destino: Demanda para Julio Producción Agosto:Sobretiempo Destino: Demanda de Septiembre Costo Unitario= $25 (producción) 32+(.03)(32)=$32.96 Costo Unitario =Producción+un mes de almacenamiento

  24. Resumen de la solución óptima. * En julio producir 1000 pares en tiempo normal y 500 pares en sobretiempo. Total Disponible : 1500 - 200 = 1300 a fines de julio * En agosto producir 800 pares en tiempo normal y 500 en sobretiempo. Disponibles = 800 + 300 - 600 = 500 pares * En septiembre producir 400 pares en tiempo normal. Con 1000 pares para la posible demanda los cuales se pueden distribuir: (1300 + 500 ) + 400 - 1000 = 1200 pares disponibles para ser transportados a Ski Chalet. Inventario + Producción - Demanda

  25. 4.3 Problemas de Asignación • Definición del Problema * m trabajadores deben ser asignados a m trabajos. * Un costo unitario (o ganancia) Cij es asociado al trabajador i que realizara el trabajo j. * Minimizar el costo total ( o maximizar la ganancia total) de la asignación de trabajadores a sus respectivos empleos que le corresponde a cada uno, tratando de que esta asignación sea la óptima posible.

  26. Electrónica Ballston • Existen 5 diferentes proyectos eléctricos sobre 5 líneas de producción que necesitan ser inspeccionadas. • El tiempo para realizar una buena inspección de un área de pende de la línea de producción y del área de inspección. • La gerencia desea asignar diferentes áreas de inspección a inspectores de productos tal que el tiempo total utilizado sea mínimo.

  27. Datos * Tiempo de inspección en minutos para la línea de ensamble de cada área de inspección.

  28. S1=1 S2=1 S3=1 S4=1 S5=1 RED QUE REPRESENTA EL PROBLEMA Línea de ensamble Área de Inspección D1=1 1 A 2 B D2=1 3 C D3=1 D4=1 4 D D5=1 5 E

  29. Supuestos restricciones * El número de trabajadores es igual al número de empleos. * Dado a que el problema esta balanceado, cada trabajador es asignado sólo una vez y cada trabajo tiene exactamente un solo trabajador. * Para un problema desbalanceado se debe agregar un trabajador “ficticio” (en el caso de que existan más trabajos que trabajadores) o un empleo “ficticio” (en el caso de que existan más trabajadores que trabajos), quedando así el problema balanceado.

  30. Solución mediante el método Húngaro • Problema: El profesor Michell ha terminado 4 capítulos de su libro y esta pensando en pedir ayuda para terminarlo. El ha elegido a 4 secretarias que podrían tipearle cada uno de sus capítulos. El costo asociado refleja la velocidad de la secretaria y la exactitud con la que realiza el trabajo. Además los capítulo difieren en la cantidad de hojas y en la complejidad. ¿Qué puede hacer el profesor si conoce la siguiente tabla: Capítulos Secretaría 13 14 15 16 Juana 96 99 105 108 María 116 109 107 96 Jackeline 120 102 113 111 Edith 114 105 118 115

  31. Restricciones del Método * Solo problemas de minimización. * Número de personas a asignar m es igual al número de lugares m. * Todas las asignaciones son posibles * Una asignación por persona y una persona por asignación • Matriz de Costos Capítulos Secretaría 13 14 15 16 Juana 96 99 105 108 María 116 109 107 96 Jackeline 120 102 113 111 Edith 114 105 118 115

  32. Restar el Menor valor de cada fila Capítulos Secretaría 13 14 15 16 Juana 0 3 9 12 María 20 13 11 0 Jackeline 18 0 11 9 Edith 9 0 13 10 • Restar el menor valor de cada columna en la matriz anterior Capítulos Secretaría 13 14 15 16 Juana 0 3 0 12 María 20 13 2 0 Jackeline 18 0 2 9 Edith 9 0 4 10

  33. Trazar el mínimo número de líneas que cubran los ceros de la matriz obtenida en el punto anterior. Capítulos Secretaría 13 14 15 16 Juana 0 3 0 12 María 20 13 2 0 Jackeline 18 0 2 9 Edith 9 0 4 10 • Si el número de líneas es igual al número de filas se esta en la solución óptima, sino identificar el menor valor no rayado restarselo a los demás números no rayados y sumarlo en las intersecciones. Pare este caso corresponde al valor 2

  34. Capítulos Secretaría 13 14 15 16 Juana 0 5 0 14 María 18 13 0 0 Jackeline 16 0 0 9 Edith 7 0 2 10 • Las asignaciones corresponde a los valores donde existen 0 Juana Cap. 13 María Cap. 16 Jackeline Cap. 15 Edith Cap. 14 *Costo Asignación: 96 + 96 +113 +105 =410

  35. Casos especiales * Cuando un trabajador no puede realizar un empleo en particular * Cuando un trabajador puede ser asignado a más de un trabajo. * Un problema de maximización.

  36. 4.4 Problema del vendedor viajero • Definición del problema • Existen m nodos • Un costo unitario Cij es asociado al arco (i,j). • El objetivo es encontrar el ciclo que minimizeel costo total al visitar todos los nodos exactamente una vez. • Se trata de un tour es un recorrido que comienza en una ciudad de partida visitando cada ciudad (nodo) de una cierta red, exactamente una vez y volviendo al punto de partida. • El objetivo es minimizar el viaje, ya sea desde los puntos de vista de tiempo y distancia. -

  37. Complejidad • Escribir el modelo matemático y resolverlo resulta muchas veces incómodo, ya que un problema de 20 ciudades requiere de 500,000 restricciones. • Importancia - Diversas aplicaciones pueden ser resueltas como un problema de vendedor viajero - Ejemplo * Rutas a seguir por buses escolares * Distribución de bombas militares - El problema tiene importancia teórica porque este representa una clase de problemas llamados NP-completos.

  38. AGENCIA GUBERNAMENTAL DE EMERGENCIA • Se debe realizar una visita a cuetro oficinas locales de la AGE, partiendo de la oficina principal y volviendo a la misma, la cual esta ubicada en Northridge, Southern California. • Datos Tiempo en minutos para trasladarse de una oficina a otra

  39. 40 2 3 Red que representa el problema de vendedor viajero de AGE 25 35 50 40 50 1 4 65 45 30 80 Of. Princ

  40. Solución - Identificación de los posibles ciclos. * Existen (m-1)1 ciclos posibles * Solo problemas pequeños pueden ser resuletos. - Se utiliza una combinación de problemas de asignación con la técnica Branch and Bound. * Problemas con menos de 20 nodos pueden ser resueltos en forma eficiente por este método.

  41. EL PROBLEMA AGE - Identificación de los posibles ciclos Ciclo Costo Total 1. H-O1-O2-O3-O4-H 210 2. H-O1-O2-O4-O3-H 195 3. H-O1-O3-O2-O3-H 240 4. H-O1-O3-O4-O2-H 200 5. H-O1-O4-O2-O3-H 225 6. H-O1-O4-O3-O2-H 200 7. H-O2-O3-O1-O4-H 265 8. H-O2-O1-O3-O4-H 235 9. H-O2-O4-O1-O3-H 250 10. H-O2-O1-O4-O3-H 220 11. H-O3-O1-O2-O4-H 260 12. H-O3-O1-O2-O4-H 260

  42. Datos de entrada para el problema de vendedor viajero en WINQSB

  43. Solución de WINQSB -Una combinación de problema de asignación y la técnica Branch and Bound

  44. 40 2 3 25 35 50 40 1 50 4 65 45 30 80 Of. Princ

  45. 4.5 Problemas de la Ruta más corta • Se trata de encontrar la ruta de menor distancia, o costo ,a entre el punto de partida o nodo inicial y el destino o nodo terminal. • Definición del Problema - Se tienen n nodos, partiendo del nodo inicial 1 y terminando en el nodo final n. - Arcos bi-direccionales conectan los nodos i y j con distancias mayores que cero, dij - Se desea encontrar la ruta de mínima distancia que conecta el nodo 1 con el nodo n.

  46. Lineas Fairway Van • Determine la ruta mas corta entre Seattle y El Paso para la siguiente red de carreteras.

  47. Seattle Butte 599 1 2 497 691 Boise 180 420 3 4 Cheyenne 345 Salt Lake City 432 Portland 440 Reno 7 8 526 6 138 102 432 5 621 Sac. 291 Denver 9 Las Vegas 11 280 10 108 452 Bakersfield Kingman 155 Barstow 114 469 15 207 12 14 13 Albuque. Phoenix Los Angeles 386 403 16 118 19 17 18 San Diego 425 314 Tucson El Paso

  48. Solución - Analogía de un problema de programación lineal - Variables de decisión Xij= 1 si un transporte debe viajar por la carretra que une la ciudad i con la ciudad j. 0 En cualquier otro caso Objetivo = Minimizar S dijXij

  49. Butte Seattle 2 599 1 497 Boise 180 3 4 345 Salt Lake City 432 Portland 7 Sujeto a las siguientes restricciones • [El numero de carreteras para salir de Seattle (Nodo de inicio)] = 1X12 + X13 + X14 = 1 De una forma similar: [El número de carreteras para llegar a El Paso (Nodo final)] = 1X12,19 + X16,19 + X18,19 = 1 • [El número de carreteras para entrar a la cuidad] = [El número de carreteras para salir de la ciudad]. Por ejemplo, en Boise (Ciudad 4): • X14 + X34 +X74 = X41 + X43 + X47. Restricciones mayores que cero

  50. Solución Optima por WINQSB

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