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第二章 轨迹与方程

第二章 轨迹与方程. 主要内容：. 1 、 平面曲线的方程. 2 、曲面的方程. 3 、母线平行于坐标轴的柱面方程. 4 、空间曲线的方程. 第一节 平面曲线的方程. 一、曲线与方程： 定义：当平面上取定了标架之后，如果一个方程与一条曲线有着关系：. （ 1 ）满足方程的 (x,y) 必是曲线上某一点的坐标；. （ 2 ）曲线上任何一点的坐标 (x,y) 满足这个方程；. 则这个方程称为这条曲线的方程，这条曲线称为 方程的图形。. 曲线的方程常表示为：. F(x,y)=0 或 y=f(x). |OM|=R.

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第二章 轨迹与方程

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  1. 第二章 轨迹与方程 主要内容： 1、平面曲线的方程 2、曲面的方程 3、母线平行于坐标轴的柱面方程 4、空间曲线的方程

  2. 第一节 平面曲线的方程 一、曲线与方程： 定义：当平面上取定了标架之后，如果一个方程与一条曲线有着关系： （1）满足方程的(x,y)必是曲线上某一点的坐标； （2）曲线上任何一点的坐标(x,y)满足这个方程； 则这个方程称为这条曲线的方程，这条曲线称为 方程的图形。 曲线的方程常表示为： F(x,y)=0 或 y=f(x)

  3. |OM|=R 例2、已知两点A(-2,-2),B(2,2)，求满足条件 |MA|-|MB|=4的动点的轨迹。 y 解：矢量式方程 |MA|-|MB|=4 xy=2 o x 二、曲线的矢量式方程 例1、求圆心在原点，半径为R的圆的方程。 解：矢量式方程 普通方程 x2+y2=R2 xy=2 (x+y2) 化为普通方程为 故曲线为

  4. 1、矢性函数 当动点按某种规律运动时，与它对应的径矢也随着 时间t的不同而改变（模与方向的改变），这样的径矢 称为变矢，记为r(t)。如果变数t(atb)的每一个值 对应于变矢r的一个完全的值（模与方向）r(t)，则称 r是变数t的矢性函数，记为r=r(t) (atb). 2、矢性函数的分量表示 设平面上取定的标架为{O;e1,e2},则矢性函数可 表示为 r(t)=x(t)e1+y(t)e2(atb). （1） 其中x(t),y(t)是r(t)的分量，它们分别是变数t的函数。

  5. r(t)=x(t)e1+y(t)e2(atb). y A P(x(t),y(t)) r(a) r(t) B r(b) x O 3、矢量式参数方程 若取(atb)的一切可能值，由（1） 表示的径矢r(t) 的终点总在一条曲线上；反之，在这条曲线上的任意 点，总对应着以它为终点的径矢，而这径矢可由t的某 一值t0(at0b)通过（1）完全确定，则称表达式（1）为曲线的矢量式参数方程，其中t为参数。 4、坐标式参数方程 曲线 的参数方程常可以写成下列形式： 称为曲线的坐标式参数方程。

  6. 解：设M(x,y)为直线l上任意一点，并设OM=r，OM0=r0，解：设M(x,y)为直线l上任意一点，并设OM=r，OM0=r0， 则点M在l上的充要条件为矢量M0M与v共线，即 M0M=tv M0M=r-r0 （1）矢量式参数方程为r=r0+tv (＜t＜+) 5、直线的方程 已知直线l通过定点M0(x0,y0),且与非零矢量 v={X,Y}共线，求直线l的方程。 (t为随M而定的实数） 又因为 r-r0=tv 故得l的 所以 （2）矢量式参数方程为

  7. 事实上，|MM0|=|tv|=|t| 注1：参数t的几何意义： 当v是单位矢量时，|t|为点M与M0之间距离。 注2：直线的方向矢量： 与直线l共线的非零矢量 v 称为直线l的方向矢量。 （3）：直线的对称式方程 由直线的参数方程（2）中消去参数t可得： 对称式方程 （4）直线的一般方程和点法式方程 将对称式方程改写为 Ax+By+c=0 (3)

  8. 其中A=Y，B=-X，C=-(Yx0-Xy0),方程(3)称为直线 的一般方程。 反之，设(x0,y0)是（3）上一点，则 Ax0+By0+c=0 故（3）可改写为 A(x-x0)+B(y-y0)=0 （4） 或 可见系数A，B的几何意义是： 矢量q={B,-A}是直线（3）的一个方向矢量，而矢 量p={A,B}垂直于矢量q，从而垂直于直线（3），我 们称p={A,B}为直线（3）的法矢量，而方程（4）称 为直线的点法式方程。

  9. 6、两条直线相关位置的判定 给定两条直线 l1: A1x+B1y+C1=0 l2: A2x+B2y+C2=0 则 （4）两直线的交角

  10. y C a P θ r a x O r=OP=OA+AC+CP 设θ=(CP,CA),于是矢量CP对x轴所成的有向角为 例3、一个圆在一直线上无滑动滚动，求圆周上一点 P的轨迹。 解： 取直角坐标系，设 半径为 a的圆在x轴上滚 动，开始时点 P 恰在原 点， 经过一段时间的滚 动， 圆与直线的切点移 到 A 点，圆心的位置移 到C点，这时有

  11. ︵ |OA|=AP=aθ， OA=aθi, AC=aj y x O 则 所以 又因为 从而点P的矢量式参数方程为 r=a(θ-sinθ)i+a(1-cosθ) （＜θ＜+） 其坐标式参数方程为 这种曲线称为旋轮线或摆线。

  12. 例5 已知大圆的半径为a，小圆的半径为大圆半径的 四分之一，若大圆不动，而小圆在大圆内无滑动地滚 动，动圆上某一定点P的轨迹称为四尖星形线，求四尖 星形线的方程。 解（略） 参数方程为

  13. 例6 把椭圆的普通方程式 化为参数方程。 七 曲线的参数方程 法一 设y=tx+b,代入原方程得 法二 解得 在第二式中取t=0,得x=0，所以舍去第一式，取 从而

  14. 在法二中，若令u=-t，则得椭圆的另一种表示式为在法二中，若令u=-t，则得椭圆的另一种表示式为 注：第二种解法中，设y=tx+b，实际上是在椭圆上取 一定点(0,b),作以(0,b)为中心的直线束，而这时的椭圆 的参数方程恰为直线束中的直线与椭圆交点的一般表 达式。由于这时过点(0,b)的y轴的斜率不存在，因此需 补上点(0,-b)，或把它看成当t→时的交点。

  15. 例7 化方程 y2(2a-x)=x3 (a>0) 为参数方程。 解：设y=tx，代入可得参数方程 注1：有些曲线只能用参数方和表示而不能用普通方程 表示，即不能用x,y的初等函数来表示，如 注2：在曲线的普通方程与参数方程的互化时，必须注 意两种形式的方程的等价性，即考虑参数的取值范围。

  16. z F (x, y, z) = 0 S o x y 第二节 曲面的方程 一、. 定义: 若曲面S与三元方程F (x, y, z) =0有如下关系: (1) S上任一点的坐标满足方程F (x, y, z) =0; (2) 不在S上点的坐标都不满足方程F (x, y, z) =0; 那末, 方程F (x, y, z) =0叫做曲面S的方程, 而曲面S叫做方程F (x, y, z) =0的图形.

  17. |AM|=|BM| 例1、求连结两点A(1,2,3),B(2,-1,4)的线段的垂直平分 面的方程。 解：垂直平分面可以看成到两定点A和B等距离的动点 M(x,y,z)的轨迹，故点M的特征为 用两点间的距离公式代入并化简可得： 2x-6y+2z-7=0 例2 求两坐标面xOz和yOz所成二面角的平分面的方程。 解：因为所求平分面是与两坐标面xOz和yOz有等距离 的点的轨迹，因此M(x,y,z)在平分面上的充要条件是 |y|=|x| 即 X+y=0 与 x-y=0

  18. M R M0 例3、求球心为M0(x0, y0,z0), 半径为R的球面的方程. 解：对于球面上任一点M(x, y, z), 都有|MM0|2 =R2.即 (x x0)2 + (y  y0)2 + (z  z0)2 = R2 (1) 称方程(1)为球面的标准方程. 特别: 当球心在原点O(0, 0, 0)时, 球面方程: x2 + y2 + z2= R2

  19. 解 根据题意有 所求方程为

  20. 故: 原方程表示球心在M0(1, 2, 0), 半径为 的球面. 例5: 方程 x2 + y2 + z22x + 4y = 0表示怎样的曲面? 解: 原方程可改写为 (x 1)2 + (y + 2)2 + z2 = 5

  21. 例6方程 的图形是怎样的？ 解 根据题意有 图形上不封顶，下封底．

  22. z x y M S OM= r(u,v) =x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3 o 二、曲面的参数方程 1、双参数矢函数 在两个变数u,v的变动区域内定义的函数 r=r(u,v) 或 r(u,v)=x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3(2) 称为双参数矢函数，其中x(u,v),y(u,v),z(u,v)是变矢 r(u,v)的分量，它们都是变数u，v的函数。 当u,v取遍变动区域的一切 值时，径矢 的终点M(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) 所画的轨迹一般为一张曲面。

  23. 2、曲面的矢量式参数方程 定义：若取u,v(aub,cvd)的一切可能值，由（2） 表示的径矢r(u,v)的终点M总在一个曲面上，反之，在 这个曲面上的任意点M总对应着以它为终点的径矢， 而这径矢可由u,v的值(aub,cvd)通过（2）完全决 定，则称（2）式为曲面的矢量式参数方程，其中u,v为 参数。 3、曲面的坐标式参数方程 因为径矢r(u,v)的分量为{x(u,v),y(u,v)z(u,v)},所以曲面 的参数方程也常写成 表达式（3）称为曲面的坐标式参数方程。

  24. 解：设M(x,y,z)是球面上任一点， M在xOy 坐标面上的射影为P，而 P在x轴上的射影为Q，又设在坐标 面上的有向角(i,OP)=,Oz轴与 OM的交角zOM=θ，则 z M θ r=OM=OQ+QP+PM R y Q  且 PM=(rcosθ)k P QP=(|OP|sin)j=(rsinθsin )j x OQ=(|OP|cos )i=(rsinθcos )i 例5 求中心在原点，半径为r的球面的参数方程。 所以 r=(rsinθcos )i+(rsinθsin  )j+ (rcosθ)k (4) 此即为中心在原点，半径为r的球面的矢量式参数方程。

  25. 中心在原点，半径为r的球面的坐标式参数方程为中心在原点，半径为r的球面的坐标式参数方程为 （4），（5）中的θ，为参数，其取值范围分别是 0θ与-＜。

  26. r=OM=OQ+QP+PM z 而OQ=(Rcos)i, QP(Rsin )j, PM=uk r M Q o o y  P x 例7 求以z轴为对称轴，半径为R的圆柱面的参数方程。 解：如图,有 所以 r=(Rcos)i+ (Rsin )j+uk （6） 此即为圆柱面的矢量式参数方程。 其坐标式参数方程为 （6）（7）式中的，u为参数，其取值范围是 -＜，-＜u＜+ 

  27. z l o o y M(x, y, 0) x 第三节 母线平行于坐标轴的柱面 1、引例: 考虑方程x2 + y2 = R2所表示的曲面. 在xoy面上, x2 + y2 = R2 表示以原点O为圆心, 半径为R的圆. 曲面可以看作是由平行于 z 轴的直线L沿xoy面上的圆x2 + y2 = R2 移动而形成, 称该曲面为圆柱面. xoy面上的圆 x2 + y2 = R2 叫做柱面的准线. 平行于 z 轴的直线 L 叫做柱面的母线.

  28. 2、 定义: 平行于定直线并沿定曲线C移动直线 L 形成的轨迹叫做柱面. 定曲线C叫做柱面的准线. 动直线 L 叫做柱面的母线.

  29. 例1: 方程 y2 =2x 表示.母线平行于 z 轴的柱面, 它的准线是xoy面上的抛物线y2 =2x, 该柱面叫做抛物柱面. z y y2 =2x x o

  30. z o y xy= 0 x 例2:方程 xy= 0表示. 母线平行于 z 轴的柱面, 它的准线是xoy面上的直线xy = 0, 所以它是过z轴 的平面.

  31. 3、 母线平行于坐标轴的柱面方程. 1 方程F (x, y) =0 表示: 母线平行于 z 轴的柱面, 准线为xoy面上的曲线 C: F (x, y) = 0 . 2 方程F (x, z) =0 表示: 母线平行于 y 轴的柱面, 准线为xoz面上的曲线 C: F (x, z) = 0 . 3 方程F (y, z) =0 表示: 母线平行于 x 轴的柱面, 准线为yoz面上的曲线 C: F (y, z) = 0 .

  32. 例3、下列方程各表示什么曲面？ （母线平行于z轴的椭圆柱面） （母线平行于x轴的双曲柱面） （母线平行于y轴的抛物柱面） 注：上述柱面的方程都是二次的，都称为二次柱面。

  33. 第四节 空间曲线及其方程 • 空间曲线的一般方程 • 空间曲线的参数方程 （1）矢量式参数方程 （2）坐标式参数方程

  34. 一、空间曲线的一般方程 空间曲线C可看作空间两曲面的交线. 空间曲线的一般方程 特点： 曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.

  35. 例1、写出Oz轴的方程。 Oz轴可看成两个平面的交线，如 解： 或 例2、求在xOy 坐标面上，半径为R，圆心为原点的 圆的方程。 解： 可见，空间曲线的一般方程的表示不是唯一的。

  36. 例3: 球面 x 2 + y 2 + z 2 = 32与平面 z = 2的交线是 一个圆, 它的一般方程是 x 2 + y 2 + z 2 = 32 z = 2

  37. 例4: 方程组 表示怎样的曲线? 解: 方程 表示球心在原点O, 半径为a的 上半球面. 方程. 表示母线平行于z 轴的圆柱面 它的准线xOy面上的圆, 圆心在点 所以方程组表示上述半球面与圆柱面的交线. （维维安尼曲线Viviani）

  38. 二、空间曲线的参数方程 将曲线C上动点的坐标x, y, z都表示成一个参数t的函数. x = x (t) y = y (t) (2) z = z (t) 当给定 t = t1时, 就得到C上一个点(x, y, z), 随着 t的变动便可得曲线C上的全部点. 方程组(2)叫做空间曲线的参数方程.

  39. 例5: 如果空间一点 M 在圆柱面 x2 + y2 = a2 上以角速度 绕 z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升(其中,v都是常数), 那末点M 构成的图形叫做圆柱螺旋线, 试建立其参数方程. 解: 取时间t为参数, 设当t = 0时, 动点位于x轴上的一点 A(a, 0, 0)处。 经过时间t,由A运动到M(x, y, z), M在xOy面上的投影为M (x, y, 0).

  40. z O M t A M y x (1) 动点在圆柱面上以角速度绕z轴旋转, 所以经过时间t, AOM =  t.从而 x = |OM | ·cosAOM = acos t y = |OM | ·sinAOM = asin t (2) 动点同时以线速度v沿 z 轴向上升. 因而 z = MM = vt 得螺旋线的参数方程 x = acos t y = asin t z = vt 注:还可以用其它变量作参数.

  41. z O M h t A M y x 例如: 令 =  t. 为参数; 螺旋线的参数方程为: x = acos  y = asin  z = b 当从0变到0 + 是, z由b0变到 b0+ b , 即M点上升的高度与OM 转过的角度成正比. 特别, 当 = 2 时, M点上升高度h = 2 b, 在工程上称 h = 2 b为螺距.

  42. z O x y 例6维维安尼曲线 一半径为a的球面与一个直径等于 球的半径的圆柱面，如果圆柱面通过球心，则球面与 圆柱面的交线称为维维安尼曲线 ，试写出其一般方程 和参数方程。 解：一般方程 参数方程

  43. 三、空间曲线在坐标面上投影 设空间曲线C的一般方程 F (x, y, z) = 0 G (x, y, z) = 0 (3) 由方程组(3)消去z后得方程 H (x, y) = 0 (4) 方程(4)表示一个母线平行于z 轴的柱面, 曲线C 一定在曲面上.

  44. 以曲线C为准线, 母线平行于z 轴(即垂直xOy面)的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面, 投影柱面与xOy面的交线叫做空间曲线在xOy面上的投影曲线, 或简称投影. 所以方程 所表示的曲线必定包含了空间曲线C在xOy面上的投影. H (x, y) = 0 z = 0 注: 同理可得曲线在yOz面或xOz面上的投影曲线方程.

  45. 例1: 已知两个球面的方程分别为: x2 + y2 + z2 = 1 和 x2 + (y 1)2 + (z1)2 = 1 求它们的交线C在xOy面上的投影曲线的方程. 解: 联立两个方程消去 z ,得 这是母线平行于z 轴的椭圆柱面,两球面的交线C在xOy面上的投影曲线方程为

  46. 例2: 设一个立体由上半球面 和锥面 所围成, 求它在xoy面上的投影. z O y x2 + y2  1 x 解: 半球面与锥面的交线为 由方程消去 z , 得 x2 + y2 = 1 这是一个母线平行于z 轴的圆柱面.于是交线C在xoy面上的投影曲线为 x2 + y2 = 1 z = 0 这是xoy面上的一个圆. 所以, 所求立体在xoy面上的投影为: x2 + y2  1

  47. 补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影. 空间立体 曲面

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