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第六节 函数的连续性

第六节 函数的连续性. 一 连续函数的概念. 二 函数的间断点. 三 连续函数的运算法则. 四 闭区间上连续函数的性质. 一、函数的连续性. 1. 函数的增量. 2. 连续的定义. 例 1. 证. 由定义 2 知. 3. 单侧连续. 定理. 例 2. 解. 右连续但不左连续 ,. 4. 连续函数与连续区间. 在区间上每一点都连续的函数 , 叫做在该区间上的 连续函数 , 或者说函数在该区间上连续. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 二、函数的间断点. 例 4. 解. 例 5. 解. 三、连续函数的运算法则.

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第六节 函数的连续性

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  1. 第六节 函数的连续性 • 一 连续函数的概念 二 函数的间断点 三 连续函数的运算法则 四 闭区间上连续函数的性质

  2. 一、函数的连续性 1.函数的增量

  3. 2.连续的定义

  4. 例1 证 由定义2知

  5. 3.单侧连续 定理

  6. 例2 解 右连续但不左连续 ,

  7. 4.连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.

  8. 二、函数的间断点

  9. 例4 解

  10. 例5 解

  11. 三、连续函数的运算法则 定理1 例如,

  12. 因为 若ƒ(x)为连续函数，则有 这就是说，对于连续函数，极限符号与函数符号可以互换。 例1 解

  13. 定理5 基本初等函数在定义域内是连续的. 定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 定义区间是指包含在定义域内的区间.

  14. 注意　 1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续; 例如, 在0点的邻域内没有定义. 注意　2. 初等函数求极限的方法代入法.

  15. 例2 解 例3 解

  16. 四 闭区间上连续函数的性质 定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值. 注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.

  17. 定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界. 证

  18. 定义:

  19. 几何解释:

  20. 例1 证 由零点定理,

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