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Datenstrukturen, Algorithmen und Programmierung 2 (DAP2)

Datenstrukturen, Algorithmen und Programmierung 2 (DAP2). Graphalgorithmen. Single Source Shortest Path (SSSP) Startknoten s Aufgabe: Berechne kürzeste Wege von s zu allen anderen Knoten All Pairs Shortest Path (APSP) Aufgabe: Berechne kürzeste Wege zwischen allen Knotenpaaren

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Datenstrukturen, Algorithmen und Programmierung 2 (DAP2)

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  1. Datenstrukturen, Algorithmen und Programmierung 2 (DAP2)

  2. Graphalgorithmen Single Source Shortest Path (SSSP) • Startknoten s • Aufgabe: Berechne kürzeste Wege von s zu allen anderen Knoten All Pairs Shortest Path (APSP) • Aufgabe: Berechne kürzeste Wege zwischen allen Knotenpaaren SSSP in ungerichteten Graphen (Breitensuche) • Graph in Adjazenzlistendarstellung • Startknoten s • Nutze Kanten von G, um alle Knoten zu finden, die von s aus erreichbar sind • Finde kürzeste Distanz (Anzahl Kanten) zu jedem anderen Knoten

  3. Graphalgorithmen Invariante (Breitensuche) • Knoten haben 3 Farben: weiß, grau und schwarz • Zu Beginn: Alle Knoten sind weiß • Ein nicht-weißer Knoten heißt „entdeckt“ • Unterscheidung grau-schwarz dient zur Steuerung des Algorithmus • Wenn (u,v)E ist und u ist schwarz, dann sind seine adjazenten Knoten grau oder schwarz • Graue Knoten können adjazente weiße Knoten haben

  4. Graphalgorithmen Beispiel (mögl. Zustand bei einer Breitensuche) s

  5. Graphalgorithmen BFS(G,s) 1. „initialisiere BFS“ 2.while Qdo 3. u  head[Q] 4. for each vAdj[u] do 5. if color[v]=weiß then 6. color[v]  grau 7. d[v]  d[u]+1; p[v]  u 8. enqueue(Q,v) 9. dequeue(Q) 10. color[u]  schwarz

  6. Graphalgorithmen d[u]: Abstand zu s (zu Beginn ) p[u]: Vaterknoten von u (zu Beginn nil) BFS(G,s) 1. „initialisiere BFS“ 2.while Qdo 3. u  head[Q] 4. for each vAdj[u] do 5. if color[v]=weiß then 6. color[v]  grau 7. d[v]  d[u]+1; p[v]  u 8. enqueue(Q,v) 9. dequeue(Q) 10. color[u]  schwarz

  7. Graphalgorithmen • Für jeden Knoten u: • color[u] = weiß • d[u] =  • p[u] = nil BFS(G,s) 1. „initialisiere BFS“ 2.while Qdo 3. u  head[Q] 4. for each vAdj[u] do 5. if color[v]=weiß then 6. color[v]  grau 7. d[v]  d[u]+1; p[v]  u 8. enqueue(Q,v) 9. dequeue(Q) 10. color[u]  schwarz

  8. Graphalgorithmen • Für jeden Knoten u: • color[u] = weiß • d[u] =  • p[u] = nil BFS(G,s) 1. „initialisiere BFS“ 2.while Qdo 3. u  head[Q] 4. for each vAdj[u] do 5. if color[v]=weiß then 6. color[v]  grau 7. d[v]  d[u]+1; p[v]  u 8. enqueue(Q,v) 9. dequeue(Q) 10. color[u]  schwarz • Für Knoten s: • color[s] = grau • d[s]=0 • p[s]=nil • s wird in Schlange Q eingefügt

  9. Graphalgorithmen d a e h BFS(G,s) 1. „initialisiere BFS“ 2.while Qdo 3. u  head[Q] 4. for each vAdj[u] do 5. if color[v]=weiß then 6. color[v]  grau 7. d[v]  d[u]+1; p[v]  u 8. enqueue(Q,v) 9. dequeue(Q) 10. color[u]  schwarz c g s 0 f b i Q: s

  10. Graphalgorithmen d a e h BFS(G,s) 1. „initialisiere BFS“ 2.while Qdo 3. u  head[Q] 4. for each vAdj[u] do 5. if color[v]=weiß then 6. color[v]  grau 7. d[v]  d[u]+1; p[v]  u 8. enqueue(Q,v) 9. dequeue(Q) 10. color[u]  schwarz c g s 0 u f b i Q: s

  11. Graphalgorithmen d v=a e h BFS(G,s) 1. „initialisiere BFS“ 2.while Qdo 3. u  head[Q] 4. for each vAdj[u] do 5. if color[v]=weiß then 6. color[v]  grau 7. d[v]  d[u]+1; p[v]  u 8. enqueue(Q,v) 9. dequeue(Q) 10. color[u]  schwarz c g s 0 u f b i Q: s

  12. Graphalgorithmen d v=a e h BFS(G,s) 1. „initialisiere BFS“ 2.while Qdo 3. u  head[Q] 4. for each vAdj[u] do 5. if color[v]=weiß then 6. color[v]  grau 7. d[v]  d[u]+1; p[v]  u 8. enqueue(Q,v) 9. dequeue(Q) 10. color[u]  schwarz c g s 0 u f b i Q: s

  13. Graphalgorithmen d v=a e h BFS(G,s) 1. „initialisiere BFS“ 2.while Qdo 3. u  head[Q] 4. for each vAdj[u] do 5. if color[v]=weiß then 6. color[v]  grau 7. d[v]  d[u]+1; p[v]  u 8. enqueue(Q,v) 9. dequeue(Q) 10. color[u]  schwarz c g s 0 u f b i Q: s

  14. Graphalgorithmen d v=a e h BFS(G,s) 1. „initialisiere BFS“ 2.while Qdo 3. u  head[Q] 4. for each vAdj[u] do 5. if color[v]=weiß then 6. color[v]  grau 7. d[v]  d[u]+1; p[v]  u 8. enqueue(Q,v) 9. dequeue(Q) 10. color[u]  schwarz 1 c g s 0 u f b i Q: s

  15. Graphalgorithmen d v=a e h BFS(G,s) 1. „initialisiere BFS“ 2.while Qdo 3. u  head[Q] 4. for each vAdj[u] do 5. if color[v]=weiß then 6. color[v]  grau 7. d[v]  d[u]+1; p[v]  u 8. enqueue(Q,v) 9. dequeue(Q) 10. color[u]  schwarz 1 c g s 0 u f b i Q: s, a

  16. Graphalgorithmen d a e h BFS(G,s) 1. „initialisiere BFS“ 2.while Qdo 3. u  head[Q] 4. for each vAdj[u] do 5. if color[v]=weiß then 6. color[v]  grau 7. d[v]  d[u]+1; p[v]  u 8. enqueue(Q,v) 9. dequeue(Q) 10. color[u]  schwarz 1 c g s 0 u v=b f i Q: s, a

  17. Graphalgorithmen d a e h BFS(G,s) 1. „initialisiere BFS“ 2.while Qdo 3. u  head[Q] 4. for each vAdj[u] do 5. if color[v]=weiß then 6. color[v]  grau 7. d[v]  d[u]+1; p[v]  u 8. enqueue(Q,v) 9. dequeue(Q) 10. color[u]  schwarz 1 c g s 0 u v=b f i Q: s, a

  18. Graphalgorithmen d a e h BFS(G,s) 1. „initialisiere BFS“ 2.while Qdo 3. u  head[Q] 4. for each vAdj[u] do 5. if color[v]=weiß then 6. color[v]  grau 7. d[v]  d[u]+1; p[v]  u 8. enqueue(Q,v) 9. dequeue(Q) 10. color[u]  schwarz 1 c g s 0 u v=b f i Q: s, a

  19. Graphalgorithmen d a e h BFS(G,s) 1. „initialisiere BFS“ 2.while Qdo 3. u  head[Q] 4. for each vAdj[u] do 5. if color[v]=weiß then 6. color[v]  grau 7. d[v]  d[u]+1; p[v]  u 8. enqueue(Q,v) 9. dequeue(Q) 10. color[u]  schwarz 1 c g s 0 u v=b f i 1 Q: s, a

  20. Graphalgorithmen d a e h BFS(G,s) 1. „initialisiere BFS“ 2.while Qdo 3. u  head[Q] 4. for each vAdj[u] do 5. if color[v]=weiß then 6. color[v]  grau 7. d[v]  d[u]+1; p[v]  u 8. enqueue(Q,v) 9. dequeue(Q) 10. color[u]  schwarz 1 c g s 0 u v=b f i 1 Q: s, a, b

  21. Graphalgorithmen d a e h BFS(G,s) 1. „initialisiere BFS“ 2.while Qdo 3. u  head[Q] 4. for each vAdj[u] do 5. if color[v]=weiß then 6. color[v]  grau 7. d[v]  d[u]+1; p[v]  u 8. enqueue(Q,v) 9. dequeue(Q) 10. color[u]  schwarz 1 c g s 0 u b f i 1 Q: a, b

  22. Graphalgorithmen d a e h BFS(G,s) 1. „initialisiere BFS“ 2.while Qdo 3. u  head[Q] 4. for each vAdj[u] do 5. if color[v]=weiß then 6. color[v]  grau 7. d[v]  d[u]+1; p[v]  u 8. enqueue(Q,v) 9. dequeue(Q) 10. color[u]  schwarz 1 c g s 0 u b f i 1 Q: a, b

  23. Graphalgorithmen d u=a e h BFS(G,s) 1. „initialisiere BFS“ 2.while Qdo 3. u  head[Q] 4. for each vAdj[u] do 5. if color[v]=weiß then 6. color[v]  grau 7. d[v]  d[u]+1; p[v]  u 8. enqueue(Q,v) 9. dequeue(Q) 10. color[u]  schwarz 1 c g s 0 u b f i 1 Q: a, b

  24. Graphalgorithmen d u=a e h BFS(G,s) 1. „initialisiere BFS“ 2.while Qdo 3. u  head[Q] 4. for each vAdj[u] do 5. if color[v]=weiß then 6. color[v]  grau 7. d[v]  d[u]+1; p[v]  u 8. enqueue(Q,v) 9. dequeue(Q) 10. color[u]  schwarz 1 v=c g s 0 u b f i 1 Q: a, b

  25. Graphalgorithmen d u=a e h BFS(G,s) 1. „initialisiere BFS“ 2.while Qdo 3. u  head[Q] 4. for each vAdj[u] do 5. if color[v]=weiß then 6. color[v]  grau 7. d[v]  d[u]+1; p[v]  u 8. enqueue(Q,v) 9. dequeue(Q) 10. color[u]  schwarz 1 v=c g s 0 2 u b f i 1 Q: a, b, c

  26. Graphalgorithmen v=d u=a e h BFS(G,s) 1. „initialisiere BFS“ 2.while Qdo 3. u  head[Q] 4. for each vAdj[u] do 5. if color[v]=weiß then 6. color[v]  grau 7. d[v]  d[u]+1; p[v]  u 8. enqueue(Q,v) 9. dequeue(Q) 10. color[u]  schwarz 1 c g s 0 2 u b f i 1 Q: a, b, c

  27. Graphalgorithmen v=d u=a e 2 h BFS(G,s) 1. „initialisiere BFS“ 2.while Qdo 3. u  head[Q] 4. for each vAdj[u] do 5. if color[v]=weiß then 6. color[v]  grau 7. d[v]  d[u]+1; p[v]  u 8. enqueue(Q,v) 9. dequeue(Q) 10. color[u]  schwarz 1 c g s 0 2 u b f i 1 Q: a, b, c, d

  28. Graphalgorithmen v=d u=a e 2 h BFS(G,s) 1. „initialisiere BFS“ 2.while Qdo 3. u  head[Q] 4. for each vAdj[u] do 5. if color[v]=weiß then 6. color[v]  grau 7. d[v]  d[u]+1; p[v]  u 8. enqueue(Q,v) 9. dequeue(Q) 10. color[u]  schwarz 1 c g s 0 2 u b f i 1 Q: b, c, d

  29. Graphalgorithmen d a e 2 h BFS(G,s) 1. „initialisiere BFS“ 2.while Qdo 3. u  head[Q] 4. for each vAdj[u] do 5. if color[v]=weiß then 6. color[v]  grau 7. d[v]  d[u]+1; p[v]  u 8. enqueue(Q,v) 9. dequeue(Q) 10. color[u]  schwarz 1 c g s 0 2 u u=b f i 1 Q: b, c, d

  30. Graphalgorithmen d a e 2 h BFS(G,s) 1. „initialisiere BFS“ 2.while Qdo 3. u  head[Q] 4. for each vAdj[u] do 5. if color[v]=weiß then 6. color[v]  grau 7. d[v]  d[u]+1; p[v]  u 8. enqueue(Q,v) 9. dequeue(Q) 10. color[u]  schwarz 1 c g s 0 2 u u=b f i 1 Q: b, c, d

  31. Graphalgorithmen d a e 2 h BFS(G,s) 1. „initialisiere BFS“ 2.while Qdo 3. u  head[Q] 4. for each vAdj[u] do 5. if color[v]=weiß then 6. color[v]  grau 7. d[v]  d[u]+1; p[v]  u 8. enqueue(Q,v) 9. dequeue(Q) 10. color[u]  schwarz 1 c g s 0 2 u b f i 1 Q: c, d

  32. Graphalgorithmen d a e 2 h BFS(G,s) 1. „initialisiere BFS“ 2.while Qdo 3. u  head[Q] 4. for each vAdj[u] do 5. if color[v]=weiß then 6. color[v]  grau 7. d[v]  d[u]+1; p[v]  u 8. enqueue(Q,v) 9. dequeue(Q) 10. color[u]  schwarz 1 u=c g s 0 2 u b f i 1 Q: c, d

  33. Graphalgorithmen d a e 2 h BFS(G,s) 1. „initialisiere BFS“ 2.while Qdo 3. u  head[Q] 4. for each vAdj[u] do 5. if color[v]=weiß then 6. color[v]  grau 7. d[v]  d[u]+1; p[v]  u 8. enqueue(Q,v) 9. dequeue(Q) 10. color[u]  schwarz 1 u=c g s 0 2 u b f i 3 1 Q: c, d, f

  34. Graphalgorithmen d a e 2 h BFS(G,s) 1. „initialisiere BFS“ 2.while Qdo 3. u  head[Q] 4. for each vAdj[u] do 5. if color[v]=weiß then 6. color[v]  grau 7. d[v]  d[u]+1; p[v]  u 8. enqueue(Q,v) 9. dequeue(Q) 10. color[u]  schwarz 1 c g s 0 2 u b f i 3 1 Q: d, f

  35. Graphalgorithmen u=d a e 2 h BFS(G,s) 1. „initialisiere BFS“ 2.while Qdo 3. u  head[Q] 4. for each vAdj[u] do 5. if color[v]=weiß then 6. color[v]  grau 7. d[v]  d[u]+1; p[v]  u 8. enqueue(Q,v) 9. dequeue(Q) 10. color[u]  schwarz 1 c g s 0 2 u b f i 3 1 Q: d, f

  36. Graphalgorithmen u=d a e 2 h BFS(G,s) 1. „initialisiere BFS“ 2.while Qdo 3. u  head[Q] 4. for each vAdj[u] do 5. if color[v]=weiß then 6. color[v]  grau 7. d[v]  d[u]+1; p[v]  u 8. enqueue(Q,v) 9. dequeue(Q) 10. color[u]  schwarz 3 1 c g s 0 2 u b f i 3 1 Q: d, f, e

  37. Graphalgorithmen u=d a e 2 h BFS(G,s) 1. „initialisiere BFS“ 2.while Qdo 3. u  head[Q] 4. for each vAdj[u] do 5. if color[v]=weiß then 6. color[v]  grau 7. d[v]  d[u]+1; p[v]  u 8. enqueue(Q,v) 9. dequeue(Q) 10. color[u]  schwarz 3 1 c g s 0 2 u b f i 3 1 Q: f, e

  38. Graphalgorithmen u=d a e 2 h BFS(G,s) 1. „initialisiere BFS“ 2.while Qdo 3. u  head[Q] 4. for each vAdj[u] do 5. if color[v]=weiß then 6. color[v]  grau 7. d[v]  d[u]+1; p[v]  u 8. enqueue(Q,v) 9. dequeue(Q) 10. color[u]  schwarz 3 1 c g s 0 2 u u=f b i 3 1 Q: f, e

  39. Graphalgorithmen u=d a e 2 h BFS(G,s) 1. „initialisiere BFS“ 2.while Qdo 3. u  head[Q] 4. for each vAdj[u] do 5. if color[v]=weiß then 6. color[v]  grau 7. d[v]  d[u]+1; p[v]  u 8. enqueue(Q,v) 9. dequeue(Q) 10. color[u]  schwarz 3 1 c g s 0 2 u 4 u=f b i 4 3 1 Q: f, e, g, i

  40. Graphalgorithmen u=d a e 2 h BFS(G,s) 1. „initialisiere BFS“ 2.while Qdo 3. u  head[Q] 4. for each vAdj[u] do 5. if color[v]=weiß then 6. color[v]  grau 7. d[v]  d[u]+1; p[v]  u 8. enqueue(Q,v) 9. dequeue(Q) 10. color[u]  schwarz 3 1 c g s 0 2 u 4 u=f b i 4 3 1 Q: e, g, i

  41. Graphalgorithmen u=d a u=e 2 h BFS(G,s) 1. „initialisiere BFS“ 2.while Qdo 3. u  head[Q] 4. for each vAdj[u] do 5. if color[v]=weiß then 6. color[v]  grau 7. d[v]  d[u]+1; p[v]  u 8. enqueue(Q,v) 9. dequeue(Q) 10. color[u]  schwarz 3 1 c g s 0 2 u 4 f b i 4 3 1 Q: g, i

  42. Graphalgorithmen u=d a e 2 h BFS(G,s) 1. „initialisiere BFS“ 2.while Qdo 3. u  head[Q] 4. for each vAdj[u] do 5. if color[v]=weiß then 6. color[v]  grau 7. d[v]  d[u]+1; p[v]  u 8. enqueue(Q,v) 9. dequeue(Q) 10. color[u]  schwarz 3 1 c 5 u=g s 0 2 u 4 f b i 4 3 1 Q: i, h

  43. Graphalgorithmen u=d a e 2 h BFS(G,s) 1. „initialisiere BFS“ 2.while Qdo 3. u  head[Q] 4. for each vAdj[u] do 5. if color[v]=weiß then 6. color[v]  grau 7. d[v]  d[u]+1; p[v]  u 8. enqueue(Q,v) 9. dequeue(Q) 10. color[u]  schwarz 3 1 c 5 g s 0 2 u 4 f b u=i 4 3 1 Q: h

  44. Graphalgorithmen u=d a e 2 u=h BFS(G,s) 1. „initialisiere BFS“ 2.while Qdo 3. u  head[Q] 4. for each vAdj[u] do 5. if color[v]=weiß then 6. color[v]  grau 7. d[v]  d[u]+1; p[v]  u 8. enqueue(Q,v) 9. dequeue(Q) 10. color[u]  schwarz 3 1 c 5 g s 0 2 u 4 f b i 4 3 1 Q:

  45. Graphalgorithmen u=d a e 2 h BFS(G,s) 1. „initialisiere BFS“ 2.while Qdo 3. u  head[Q] 4. for each vAdj[u] do 5. if color[v]=weiß then 6. color[v]  grau 7. d[v]  d[u]+1; p[v]  u 8. enqueue(Q,v) 9. dequeue(Q) 10. color[u]  schwarz 3 1 c 5 g s 0 2 u 4 f b i 4 3 1

  46. Graphalgorithmen Satz 47 Sei G=(V,E) ein Graph. Die Laufzeit des Algorithmus BFS beträgt O(|V|+|E|). Beweis • Laufzeit Initialisierung: O(|V|) • Nach der Initialisierung wird kein Knoten weiß gefärbt • Daher ist jeder Knoten nur einmal in der Schlange •  Zeit für Schlangenoperationen ist O(|V|) • Adjazenzliste jedes Knotens wird nur durchlaufen, wenn er aus der Schlange entfernt wird • Damit wird jede Adjazenzliste maximal einmal durchlaufen (d.h. jede Kante maximal zweimal)  Laufzeit für Liste: O(|E|) • Gesamtlaufzeit: O(|V|+|E|)

  47. Graphalgorithmen Kürzeste Wege in ungewichteten Graphen • Sei d(s,t) die minimale Anzahl Kanten in einem s-t-Weg • Ein s-t-Weg der Länge d(s,t) heißt kürzester Weg • Wollen zeigen, dass BFS korrekt kürzeste Wege berechnet

  48. Graphalgorithmen Lemma 48 Sei G=(V,E) ein gerichteter oder ungerichteter Graph und sei sV ein beliebiger Knoten. Dann gilt für jede Kante (u,v)E: d(s,v) d(s,u)+1 Beweis • Ist u erreichbar von s, dann ist es auch v • Der kürzeste Weg von s nach v kann nicht länger sein, als der kürzeste Wegvon s nach u gefolgt von der Kante (u,v). Damit gilt die Ungleichung. • Ist u nicht erreichbar von s, dann ist d(s,u)= und die Ungleichung gilt.

  49. Graphalgorithmen Lemma 49 Sei G=(V,E) ein gerichteter oder ungerichteter Graph und es laufe die Breitensuche von einem Startknoten sV. Nach Abschluss der Breitensuche gilt für jeden Knoten v, dass d[v]d(s,v) ist. Beweis • Induktion über Anzahl von Zeitpunkten, an denen ein Knoten in Q eingefügt wird • (I.A.) Nach Initialisierung gilt d[s]=0=d(s,s) und d[v]=≥d(s,v) für alle vV-{s} • (I.V.) Aussage gilt nach m Einfügeoperationen • (I.S.) Betrachte nach m Einfügeoperationen einen weißen Knoten v, der während einer Suche von u entdeckt wird. Nach (I.V.) gilt d[u]≥d(s,u). • Zeile 7: d[v] wird auf d[u]+1 gesetzt • Es gilt: d[v] = d[u]+1 ≥ d(s,u)+1 ≥ d(s,v) nach Lemma 48

  50. Graphalgorithmen Lemma 49 Sei G=(V,E) ein gerichteter oder ungerichteter Graph und es laufe die Breitensuche von einem Startknoten sV. Nach Abschluss der Breitensuche gilt für jeden Knoten v, dass d[v]d(s,v) ist. Beweis • Knoten v wird dann in die Schlange eingefügt und grau gefärbt • Damit ändert sich d[v] im Laufe des Algorithmus nicht mehr und die Aussage des Lemmas bleibt erhalten

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