怎样建立数学模型

1. 怎样建立数学模型 石家庄经济学院数理学院 康 娜 2009年6月2日

2. 一、 现代科技人员应具有的数学能力 现代数学： 在理论上更抽象； 在方法上更加综合； 在应用上更为广泛。 * 数学很重要的一方面在于数学知识与数学方法的应用. *更重要的方面是数学的思维方式的确立.

3. 21世纪科技人才应具备的数学素质与能力 使用数学软件能力 更新数学知识能力 抽象思维能力 逻辑推理能力 数学运算能力 空间想象能力 数学建模能力 数据处理能力

4. 二、建模范例 问题 森林失火后，要确定派出消防队员的数量。 队员多，森林损失小，救援费用大； 队员少，森林损失大，救援费用小。 综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。 问题分析 记队员人数x, 失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 时刻t森林烧毁面积B(t). • 损失费f1(x)是x的减函数, 由烧毁面积B(t2)决定. • 救援费f2(x)是x的增函数, 由队员人数和救火时间决定. 存在恰当的x，使f1(x), f2(x)之和最小

5. 森林救火 问题 森林失火后，要确定派出消防队员的数量。 队员多，森林损失小，救援费用大； 队员少，森林损失大，救援费用小。 综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。 问题分析 记队员人数x, 失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 时刻t森林烧毁面积B(t). • 损失费f1(x)是x的减函数, 由烧毁面积B(t2)决定. • 救援费f2(x)是x的增函数, 由队员人数和救火时间决定. 存在恰当的x，使f1(x), f2(x)之和最小

6. B B(t2) 0 t1 t2 t 问题分析 • 关键是对B(t)作出合理的简化假设. 失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 画出时刻 t 森林烧毁面积B(t)的大致图形 分析B(t)比较困难,转而讨论森林烧毁速度dB/dt.

7. r B 面积 B与 t2成正比， dB/dt与 t成正比. 模型假设 1）0tt1, dB/dt与 t成正比，系数(火势蔓延速度） 2）t1tt2, 降为-x(为队员的平均灭火速度） 3）f1(x)与B(t2)成正比，系数c1 (烧毁单位面积损失费） 4）每个队员的单位时间灭火费用c2, 一次性费用c3 火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，半径 r与 t 成正比 假设1）的解释 

8. 假设2） 假设1） b t1 t 0 t2 假设3）4） 模型建立 目标函数——总费用

9. b t1 t2 t 0 模型建立 目标函数——总费用 其中 c1,c2,c3, t1,  ,为已知参数 模型求解 求 x使 C(x)最小 结果解释 •  /是火势不继续蔓延的最少队员数

10. 结果解释 c1~烧毁单位面积损失费, c2~每个队员单位时间灭火费, c3~每个队员一次性费用, t1~开始救火时刻, ~火势蔓延速度, ~每个队员平均灭火速度. c1, t1,  x c3 ,   x  模型应用 c1,c2,c3已知, t1可估计,  ,可设置一系列数值 由模型决定队员数量x

11. 例2 选课策略 课号 课名 学分 所属类别 先修课要求 1 微积分 5 数学 2 线性代数 4 数学 3 最优化方法 4 数学；运筹学 微积分；线性代数 4 数据结构 3 数学；计算机 计算机编程 5 应用统计 4 数学；运筹学 微积分；线性代数 6 计算机模拟 3 计算机；运筹学 计算机编程 7 计算机编程 2 计算机 8 预测理论 2 运筹学 应用统计 9 数学实验 3 运筹学；计算机 微积分；线性代数 要求至少选两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课 为了选修课程门数最少，应学习哪些课程 ？ 选修课程最少，且学分尽量多，应学习哪些课程 ？

12. 课号 课名 所属类别 1 微积分 数学 2 线性代数 数学 3 最优化方法 数学；运筹学 4 数据结构 数学；计算机 5 应用统计 数学；运筹学 6 计算机模拟 计算机；运筹学 7 计算机编程 计算机 8 预测理论 运筹学 9 数学实验 运筹学；计算机 0-1规划模型 决策变量 xi=1 ~选修课号i 的课程（xi=0 ~不选） 目标函数 选修课程总数最少 最少2门数学课，3门运筹学课， 2门计算机课。 约束条件

13. 课号 课名 先修课要求 1 微积分    2 线性代数 3 最优化方法 微积分；线性代数 4 数据结构 计算机编程   5 应用统计 微积分；线性代数 6 计算机模拟 计算机编程  7 计算机编程 8 预测理论 应用统计 9 数学实验 微积分；线性代数 0-1规划模型 约束条件 先修课程要求 x3=1必有x1 = x2 =1 模型求解（LINGO） 最优解：x1 = x2 = x3 = x6 = x7 = x9 =1, 其它为0；6门课程，总学分21

14. 最优解如上，6门课程，总学分21 。 最优解显然是选修所有9门课程 。 讨论：选修课程最少，学分尽量多，应学习哪些课程？ 课程最少 学分最多 两目标(多目标)规划 多目标优化的处理方法：化成单目标优化。 • 以课程最少为目标，不管学分多少。 • 以学分最多为目标，不管课程多少。

15. 课号 课名 学分 1 微积分 5 增加约束 ， 以学分最多为目标求解。 2 线性代数 4 3 最优化方法 4 4 数据结构 3       5 应用统计 4 6 计算机模拟 3  7 计算机编程 2    8 预测理论 2 9 数学实验 3   多目标规划 • 在课程最少的前提下以学分最多为目标。 最优解：x1 = x2 = x3 = x5 = x7 = x9 =1, 其它为0；总学分由21增至22。 注意：最优解不唯一！ 可将x9 =1 易为x6 =1 LINGO无法告诉优化问题的解是否唯一。

16. 课号 课名 学分 1 微积分 5 2 线性代数 4 3 最优化方法 4 4 数据结构 3    5 应用统计 4 6 计算机模拟 3  7 计算机编程    2 8 预测理论 2 9 数学实验 3  多目标规划 • 对学分数和课程数加权形成一个目标，如三七开。 最优解：x1 = x2 = x3 = x4 = x5 = x6 = x7 = x9 =1， 其它为0；总学分28。

17. 一场笔墨官司（放射性废物的处理问题） 美国原子能委员会（现为核管理委员会）处理浓缩放射性废物，是将废物放入密封性能很好的圆桶中，然后扔到水深300英尺的海里.他们这种做法安全吗？ 联想：安全 、危险 分析：可从各个角度去分析造成危险的因素，这里仅考虑圆桶泄露的可能.

18. 问题的关键 *圆桶至多能承受多大的冲撞速度？(40英尺/秒); *圆桶和海底碰撞时的速度有多大？ 新问题：求这一种桶沉入300英尺的海底时的末速度.（原问题是什么?）

19. 可利用的数据条件： 圆桶的总重量 W=527.327（磅） 圆桶受到的浮力 B =470.327（磅） 圆桶下沉时受到的海水阻力 D=Cv，C=0.08 可利用牛顿第二定律，建立圆桶下沉位移满足的微分方程：

20. 方程的解为

21. 原问题得到解决了吗? 计算碰撞速度，需确定圆桶和海底的碰撞时间t0 ? 分析：考虑圆桶的极限速度 ≈713.86（英尺/秒）＞＞40（英尺/秒）

22. 代入（1）得 极限速度与圆桶的承受速度相差巨大！ 结论：解决问题的方向是正确的. 解决思路：避开求t0的难点 令v(t)=v(y(t)), 其中 y=y(t) 是圆桶下沉深度.

23. 两边积分得函数方程： 若能求出函数v=v(y),就可求出碰撞速度v(300).(试一试)

24. * 用数值方法求出v(300)的近似值为 v(300)≈45.41(英尺/秒)＞40(英尺/秒) * 分析v=v(y)是一个单调上升函数，而v增大,y也增大,可求出函数 y = y(v) 令 v=40(英尺/秒)，g=32.2(英尺/秒),算出 y= 238.4 (英尺)＜300(英尺)

25. 问题的实际解答： 美国原子能委员会处理放射性废物的做法是极其危险的，必须改变.