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奇 妙 的 维. 姓名：葛小川 学号： pb 05000808. 谨以此 ppt 献给令人尊敬的力学考试！！ 以及所有为力学考试而苦苦奋斗的同学们，你们辛苦了！. 目录. １ . 绪言 …… 5 ２ . 问题产生 …… .9 ３ . 猜想 …… .12 ４ . 问题的深入 …… .19
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奇 妙 的 维 姓名：葛小川 学号：pb05000808 奇妙的“维”
谨以此ppt献给令人尊敬的力学考试！！ 以及所有为力学考试而苦苦奋斗的同学们，你们辛苦了！ 奇妙的“维”
目录 • １.绪言 ……5 • ２.问题产生 …….9 • ３.猜想 …….12 • ４.问题的深入 …….19 • ５.诱人的空间 …….20 • 6.后序 ….....49 奇妙的“维”
自从文明开始，人们即不甘心将事件看作互不相干的而且不可理解的。他们渴求理解世界的根本秩序。今天我们仍然渴望知道，我们为何在此？我们从何而来？人类求知的最深切的意愿足以为我们所从事的不断探索提供正当的理由。而我们的目标恰恰正是对于我们生存其中的宇宙做出最完美的描述。自从文明开始，人们即不甘心将事件看作互不相干的而且不可理解的。他们渴求理解世界的根本秩序。今天我们仍然渴望知道，我们为何在此？我们从何而来？人类求知的最深切的意愿足以为我们所从事的不断探索提供正当的理由。而我们的目标恰恰正是对于我们生存其中的宇宙做出最完美的描述。 • ——Stephen Hawking 《果壳中的宇宙》 奇妙的“维”
绪言 正如所有古老的问题都源自一段古老的故事….. 相传很久很久以前，世上到处都是混沌一片，没有天也没有地，更别说我们人类了。这时候，一个巨人——他就是盘古——不满这种毫无生气的世界，大喝了一声，挥起了他的巨斧…… 奇妙的“维”
咔嚓！第一斧挥开之后，混沌出现了第一条裂缝，天与地便分开了，宇宙中出现了上与下；咔嚓！第一斧挥开之后，混沌出现了第一条裂缝，天与地便分开了，宇宙中出现了上与下； 咔嚓！又一声巨响之后，天地之间第二条裂隙也出现了，于是有了南北； 咔嚓！伴随着最后一道闪光，第三道裂痕也产生了，天地又多出了东西。然而我们的英雄却因不堪三次挥动神斧的重负而倒下了，永远地倒下了。眼睛化作日月，骨骼化作山河，须发化作树木 …….. 奇妙的“维”
千百年，不，亿万年过去了，大地几经沧海桑田，生命也几经更替，终于来到了文明的时代。然而除了牺牲于开天辟地之时的盘古谁也不会知道，即使是万能的神付出了生命的代价也只不过勉强能够挥动神斧三下。疑问也因此自然而然地产生了，在当初开天之时，盘古为何不多挥几斧，为我们如今的世界创造更多的空间？千百年，不，亿万年过去了，大地几经沧海桑田，生命也几经更替，终于来到了文明的时代。然而除了牺牲于开天辟地之时的盘古谁也不会知道，即使是万能的神付出了生命的代价也只不过勉强能够挥动神斧三下。疑问也因此自然而然地产生了，在当初开天之时，盘古为何不多挥几斧，为我们如今的世界创造更多的空间？ 奇妙的“维”
问题产生 • 十分有趣的是关于此问题的灵感竟然来自于一道微积分的算题： 如图，一个密度为 的均匀截锥面 z= ,(0<a≤z≤b),求它对于处在锥顶的质量为m的质点的引力。 奇妙的“维”
任何学过微积分初等知识的人都会立即给出这个简单曲面积分的结果为：任何学过微积分初等知识的人都会立即给出这个简单曲面积分的结果为： 奇妙的“维”
然而仔细分析结果我们不难发现题目中将积分范围限定在了a>0的范围内，也就是说，当a趋近于0的时候，我们得到的引力是一个发散的结果！然而仔细分析结果我们不难发现题目中将积分范围限定在了a>0的范围内，也就是说，当a趋近于0的时候，我们得到的引力是一个发散的结果！ 发散，这是任何一种物理模型所不愿意见到的，理论计算的结果确实又告诉我们这种发散存在的可能性，然而在日常对天体引力的计算中我们并没有遇见这种发散的情形。这让我们不得不思考，问题究竟处在哪儿呢，是牛顿的理论？还是我们看待问题的方式？ 奇妙的“维”
猜想 • 解铃还须系铃人，这是一个关于万有引力的问题，我们就需要搞清楚引力究竟是什么。 引力究竟是什么呢？爱因斯坦的广义相对论告诉我们，质量引起时空的扭曲，造成物体轨迹在三维空间中的投影发生偏折，这种偏折在三维空间中看来，物体似乎是被一种“力”作用着在运动，这种“力”我们便称之为万有引力。 奇妙的“维”
图中，当星球ｃ企图从ｂ点运动到ｄ点时，由于星球ａ造成了时空的扭曲，使得ｃ的运动轨迹在三维空间中的投影“似乎”改变了方向。 图中，当星球ｃ企图从ｂ点运动到ｄ点时，由于星球ａ造成了时空的扭曲，使得ｃ的运动轨迹在三维空间中的投影“似乎”改变了方向。 奇妙的“维”
既然引力是时空形态的一种性质，那时空的属性对万有引力的影响也似乎变成自然而然的事情了。可是，这种影响究竟是什么，它又如何作用于整个时空？既然引力是时空形态的一种性质，那时空的属性对万有引力的影响也似乎变成自然而然的事情了。可是，这种影响究竟是什么，它又如何作用于整个时空？ 奇妙的“维”
众所周知，传统意义上的万有引力公式，是在一个三维空间中引起效果，那如果我们将其放在其他维数的空间中，结论会有怎样的变化呢？ 众所周知，传统意义上的万有引力公式，是在一个三维空间中引起效果，那如果我们将其放在其他维数的空间中，结论会有怎样的变化呢？ 奇妙的“维”
这是一个甚至小学生都耳熟能详的公式，其中 分别是相作用物体的质量， 为某一物体的位置向量， 是一个常数。 有趣的地方出在 的指数上。 奇妙的“维”
我们的自然存在着如此一种让人心旷神怡的对称美，很多自然规律中都透露着一种和谐，这是大多数自然哲学家所希望看到的。所以我们自然地将指数3与空间的维数联系在一起。既然万有引力中 的指数与空间存在着如此奇妙的联系，我们是否可以推想，在4维的空间中指数应当为4，那五维，六维的情况呢？我们不妨大胆做出假设： 其中n 空间的维数。 奇妙的“维”
如果这种假设是正确的话，那道微积分的答案应该修改为： 如果这种假设是正确的话，那道微积分的答案应该修改为： 在这种情况下即使 趋近于0也不会出现发散的结果。问题也就得到了合理的解释。 奇妙的“维”
问题的深入 • 有了这样一个假设，对于解释开始所提的问题似乎找到了途径。 基于一种叫做弱人择原理的逻辑方法，我们可以这样认为：事实上并非不存在其他维数的宇宙（姑且不管它是如何定义的），但只有在我们所处的三维空间一维时间的时空中（或者是其他但为数不多的几种空间，这样根据概率我们被有幸放置在这样的一个空间中也就可以从情感上接受了）才会存在智慧生命，并能够发出“我为何存在，为何如此存在”这样疑问的。 奇妙的“维”
用人择方法来解释开头的问题难免会被以为钻了逻辑的空挡，然而它又确有它的道理。 用人择方法来解释开头的问题难免会被以为钻了逻辑的空挡，然而它又确有它的道理。 我们应当感受到人择原理的强大：我们之所以存在于这样的世界，只是因为只有这样的世界才能有我们。 奇妙的“维”
首先在让我们低维的情形下来讨论这种方法的合理性： 首先在让我们低维的情形下来讨论这种方法的合理性： 在一维的情形下我们很容易遇到许多困难 １．首先就是两点之间不能交换位置，也就意味着信息在空间中无法传递。 奇妙的“维”
２．我们所发现的牛顿运动定律是一个理想模型中思辩的产物，其实根本不存在这样的一个不受任何外力作用的物体。对于地球在太阳系中的运动，由于其他恒星距离地球的距离很远，所受他们的引力太小以至于可以忽略不记。于是我们便得到了牛顿第一、第二这样美丽的定律。然而在一维空间中情形就大不一样了，由于 的指数仅为1， 正比于 ，因此 的大小并不随着距离的增加而减小，在整个空间中引力场没有任何衰减，因此即使再远的星体对地球的引力都可以忽略不记，哈哈，这就造成了一个结果，一维的生命（如果存在的话）甚至发现不了运动的基本规律！ • ３．而且由于引力不随距离衰减，整个系统会以越来越快的收缩，进而在很短的时间内坍缩成黑洞。我想任何一个有智慧的生命都不会亲睐这样一种充满危险且无发展前景的时空。 奇妙的“维”
图中是三维空间中恒星探索的几种临界结果。然而对于一维甚至二维德宇宙来说，星体的最终演变结果只有——黑洞。 图中是三维空间中恒星探索的几种临界结果。然而对于一维甚至二维德宇宙来说，星体的最终演变结果只有——黑洞。 奇妙的“维”
在二维里的情况同样也好不到哪去，计算出对于质量为 的引力场中质量为 的物体的引力势能，发现结果仍然是发散的。这就说明不管在宇宙爆炸初期给与了物体多大的动能，宇宙还是会在有限的时间内坍缩成一团。这还不用考虑二维空间中复杂度太低以及所谓的进食问题，单就这种空间的高度不稳定性就使得生命的存在几乎成为不可能。 奇妙的“维”
各种宇宙的发展方向 奇妙的“维”
让我们再来看高维的情况。 • 由于引力随距离衰减的太快，以至于极为微小的扰动都会使得天体的运行大尺度地脱离原先轨道。于是地球不免有两种下场：以螺旋方式落到太阳上，或是永远地飞离了太阳系。 奇妙的“维”
图ａ 高维空间中地球两种难免的结局。 ａ）螺旋地撞向太阳 ｂ）脱离了太阳的引力 图ｂ 奇妙的“维”
对于小尺度如原子的结构因同样的道理而变得极为不稳定。不仅如此，在高维中由于引力随时间衰减得过快（且在近距时引力极大，而远距时又变得极小）导致物体的两端所受引力存在很大差别。在这种差别之下生命大分子会被扯成原子。试想我们的一位无畏的宇航员到一个28维的空间里探险。当他发现一颗美丽的星球而准备降落时，可怕的事情发生了。他的脚部受到了比头部大得多的拉力，这种巨大的拉力差将我们可敬的宇航员施撕成碎片。因此在过高的维度空间里也不太适合生命存在。 对于小尺度如原子的结构因同样的道理而变得极为不稳定。不仅如此，在高维中由于引力随时间衰减得过快（且在近距时引力极大，而远距时又变得极小）导致物体的两端所受引力存在很大差别。在这种差别之下生命大分子会被扯成原子。试想我们的一位无畏的宇航员到一个28维的空间里探险。当他发现一颗美丽的星球而准备降落时，可怕的事情发生了。他的脚部受到了比头部大得多的拉力，这种巨大的拉力差将我们可敬的宇航员施撕成碎片。因此在过高的维度空间里也不太适合生命存在。 奇妙的“维”
无畏的宇航员最终难逃厄运 奇妙的“维”
三维的问题要比两维或是一维的复杂的太多，这在我们制作物理模型时体会的非常深刻，然而实际问题中这种复杂度随维数增加的程度更大。因此我们可以想象四维或是五维空间中物理规律的复杂程度。复杂度高对于生命来说意味着更多的生命种类，更高级的生命形式。我们几乎可以断言，在这样的空间中，如果有生命存在的话，其文明程度一定远远超出三维空间的生物。然而问题在于复杂度的提高也同样给生命的产生造成了巨大的挑战。自由度的提高，显见不稳定程度提高。也就是说在自然选择的过程中随机出现的符合生命形式要求的个体所占比例大大减少，从进化论的角度来看进化的速度降低了。 三维的问题要比两维或是一维的复杂的太多，这在我们制作物理模型时体会的非常深刻，然而实际问题中这种复杂度随维数增加的程度更大。因此我们可以想象四维或是五维空间中物理规律的复杂程度。复杂度高对于生命来说意味着更多的生命种类，更高级的生命形式。我们几乎可以断言，在这样的空间中，如果有生命存在的话，其文明程度一定远远超出三维空间的生物。然而问题在于复杂度的提高也同样给生命的产生造成了巨大的挑战。自由度的提高，显见不稳定程度提高。也就是说在自然选择的过程中随机出现的符合生命形式要求的个体所占比例大大减少，从进化论的角度来看进化的速度降低了。 奇妙的“维”
然而更为落井下石的是，上帝留给他们的时间却变少了。上面提到过在低维空间内时间很快会达到尽头，那为何高维的空间中上帝还是显得那样地匆忙呢？我们知道，宇宙有两个极端，一种是大爆炸初期能量无限集中，与之相对应的是宇宙达到热寂那种能量极端地分散，这两种无论哪一种都绝对不是和生命的存在。在低维的空间中；宇宙会很快趋于第一种情况，而在高维的时候，宇宙又会很快走向另一个极端。也许漫长的进化时间已远远超过了宇宙达到热寂的时间。 然而更为落井下石的是，上帝留给他们的时间却变少了。上面提到过在低维空间内时间很快会达到尽头，那为何高维的空间中上帝还是显得那样地匆忙呢？我们知道，宇宙有两个极端，一种是大爆炸初期能量无限集中，与之相对应的是宇宙达到热寂那种能量极端地分散，这两种无论哪一种都绝对不是和生命的存在。在低维的空间中；宇宙会很快趋于第一种情况，而在高维的时候，宇宙又会很快走向另一个极端。也许漫长的进化时间已远远超过了宇宙达到热寂的时间。 奇妙的“维”
在各种维数的宇宙中，绝大多数要么会在短时间内坍缩成黑洞，要么会很快达到热寂，而在这些宇宙中，都不存在智慧生命赖以生存的环境。 在各种维数的宇宙中，绝大多数要么会在短时间内坍缩成黑洞，要么会很快达到热寂，而在这些宇宙中，都不存在智慧生命赖以生存的环境。 奇妙的“维”
提到空间的性质，我们又联想到了光速不变理论。既然光的传播速度与参考系无关，它决定于时空的性质，那么我们料想光速也会随着空间维数的不同而改变。限于知识的有限，我只能以类比的方法通过对称性用自然哲学的思维方式来猜测我们的结论。我们由引力随维度衰减率增加得知空间维度的增加会加大距离对时空的扰动效果，我们说，距离的效力增强了。那么在同一时间内（虽然我尚不清楚在不同维数空间内时间具体如何定义及如何比较）光所走的距离减小了。于是我们得出结论，光速在高维空间中变慢了！尽管尚不清楚这种变慢的机制以及它们之间量化的关系。 提到空间的性质，我们又联想到了光速不变理论。既然光的传播速度与参考系无关，它决定于时空的性质，那么我们料想光速也会随着空间维数的不同而改变。限于知识的有限，我只能以类比的方法通过对称性用自然哲学的思维方式来猜测我们的结论。我们由引力随维度衰减率增加得知空间维度的增加会加大距离对时空的扰动效果，我们说，距离的效力增强了。那么在同一时间内（虽然我尚不清楚在不同维数空间内时间具体如何定义及如何比较）光所走的距离减小了。于是我们得出结论，光速在高维空间中变慢了！尽管尚不清楚这种变慢的机制以及它们之间量化的关系。 奇妙的“维”
如果这样的结论是正确的话，那就意味着物体以较小速度运动就会接近光速而出现相对论的效应，这就如同汤普金森先生在奇遇中所见到的世界一样。然而这种现象出现在现实之中就显然没有小说里那般美好了。由于低速的相对运动就会造成时间空间较大的不一致，新陈代谢的细胞会失去有序的规划，信息传递的时效发生混乱，更别说如果出现社会伦理道德所受的威胁，可能有一天你出去踢了一场足球赛，回来后却发现坐在沙发上看着电视的儿子年龄已经比你自己还要大了。 如果这样的结论是正确的话，那就意味着物体以较小速度运动就会接近光速而出现相对论的效应，这就如同汤普金森先生在奇遇中所见到的世界一样。然而这种现象出现在现实之中就显然没有小说里那般美好了。由于低速的相对运动就会造成时间空间较大的不一致，新陈代谢的细胞会失去有序的规划，信息传递的时效发生混乱，更别说如果出现社会伦理道德所受的威胁，可能有一天你出去踢了一场足球赛，回来后却发现坐在沙发上看着电视的儿子年龄已经比你自己还要大了。 奇妙的“维”
这样看来，三维空间之所以特殊就在于，它是非发散系统中最简单的。也就是这种简单的和谐孕育了我们人类。这就如同用彩笔画画，颜色越多，固然画出的话越发多姿多彩，然而难度却也同时增加了。也许上帝也信奉着一条格言“做男人，简约而不简单”。 这样看来，三维空间之所以特殊就在于，它是非发散系统中最简单的。也就是这种简单的和谐孕育了我们人类。这就如同用彩笔画画，颜色越多，固然画出的话越发多姿多彩，然而难度却也同时增加了。也许上帝也信奉着一条格言“做男人，简约而不简单”。 奇妙的“维”
诱人的空间 • 在M-理论中，空间有九维或是十维，可我们为何感受到的只有这有限的三个维度呢？原来空间中有六个或是七个维度被卷曲或是压缩成很小以至于我们感受不到它们的存在。然而在非常小的尺度下，这种“多余”的维度所带来的效应却又是不得不考虑的。 奇妙的“维”
这就如同一条细长的纸带上有一小点，当我们远距离地观察它时，我们要得到小点的位置只需要知道它在纸带长边上的坐标即可；可当我们缩小这种观察的尺度，并逐渐看清纸带的宽时，我们就必须另外知道小点在短边方向上的坐标；如果我们近一步缩小这种观察的尺度，那么我们甚至还要知道它在纸带厚厚度上的坐标。我们生活的空间也是如此：在大尺度上是三维的，在非常小的尺度下却是九维或是十维的。这就如同一条细长的纸带上有一小点，当我们远距离地观察它时，我们要得到小点的位置只需要知道它在纸带长边上的坐标即可；可当我们缩小这种观察的尺度，并逐渐看清纸带的宽时，我们就必须另外知道小点在短边方向上的坐标；如果我们近一步缩小这种观察的尺度，那么我们甚至还要知道它在纸带厚厚度上的坐标。我们生活的空间也是如此：在大尺度上是三维的，在非常小的尺度下却是九维或是十维的。 奇妙的“维”
如图，远距离观察时我们只需知道红点z轴上的坐标即可，而近距时需同时知道x,y,z轴的坐标才行。如图，远距离观察时我们只需知道红点z轴上的坐标即可，而近距时需同时知道x,y,z轴的坐标才行。 奇妙的“维”
既然我们的空间事实上不止三维，那么一个诱人的想法就自然地产生了：我们能否借助于其他的维度来完成在三维空间里看似不可能完成的旅行？既然我们的空间事实上不止三维，那么一个诱人的想法就自然地产生了：我们能否借助于其他的维度来完成在三维空间里看似不可能完成的旅行？ 奇妙的“维”
试想在 空间里存在着 的二维平面空间，在 的区域内是一个国家银行，里面放满了金银财宝。然而在 处却是一道坚不可摧的围墙，只能使那些想要获得银行里财产的人们望而却步。然而对一个三维时空里的人来说，进入银行内部是那样地简单，我们甚至可以直接给出这样一条不用经过围墙而直接进入的路径方程： 奇妙的“维”
我们在三维空间中可以轻松地获得进入银行内部地路径，然而这在二维空间看来时无论如何也理解不了的。我们在三维空间中可以轻松地获得进入银行内部地路径，然而这在二维空间看来时无论如何也理解不了的。 奇妙的“维”
这样看来像高维空间求救几乎是不可能的事情，那在二维空间本身之中能否能够实现这种空间的“穿越”？想象将一张纸折起并让两点相遇，于是这种通路便出现了。但是在二维的空间之中是什么能让空间产生这么大的弯折？答案是质量！我们情愿相信在二维的时空内存在着这样一种质量足以使两点重合到一起，且不论它的稳定程度能否使得一个从容的小偷进入银行仓库并顺利返回。这样看来像高维空间求救几乎是不可能的事情，那在二维空间本身之中能否能够实现这种空间的“穿越”？想象将一张纸折起并让两点相遇，于是这种通路便出现了。但是在二维的空间之中是什么能让空间产生这么大的弯折？答案是质量！我们情愿相信在二维的时空内存在着这样一种质量足以使两点重合到一起，且不论它的稳定程度能否使得一个从容的小偷进入银行仓库并顺利返回。 奇妙的“维”
同样在三维的空间里，我们也没有理由相信时空是平坦的不相交的，就和我们没理由相信它是不平坦的一样有说服力。那么我们似乎可以解释百慕大船只的神秘失踪事件。（尽管事实上几乎不可能是这种原因造成的失踪，因为如果我们身边确实存在这样巨大的时空扭曲而我们在其附近却发现不了任何扭曲所带来的影响，这着实令人吃惊。）同样在三维的空间里，我们也没有理由相信时空是平坦的不相交的，就和我们没理由相信它是不平坦的一样有说服力。那么我们似乎可以解释百慕大船只的神秘失踪事件。（尽管事实上几乎不可能是这种原因造成的失踪，因为如果我们身边确实存在这样巨大的时空扭曲而我们在其附近却发现不了任何扭曲所带来的影响，这着实令人吃惊。） 奇妙的“维”
一飞船正试图通过空间扭曲形成的通路。（想象图）一飞船正试图通过空间扭曲形成的通路。（想象图） 奇妙的“维”
这种空间的扭曲究竟会给我们带来什么，以及关于空间维数的更多奇妙性质仍有待于人类孜孜不倦的探索，让我们努力吧，自然的奥妙在等着具有探索精神的人类！这种空间的扭曲究竟会给我们带来什么，以及关于空间维数的更多奇妙性质仍有待于人类孜孜不倦的探索，让我们努力吧，自然的奥妙在等着具有探索精神的人类！ 奇妙的“维”
再一次重复开头的引言: • 自从文明开始，人们即不甘心将事件看作互不相干的而且不可理解的。他们渴求理解世界的根本秩序。今天我们仍然渴望知道，我们为何在此？我们从何而来？人类求知的最深切的意愿足以为我们所从事的不断探索提供正当的理由。而我们的目标恰恰正是对于我们生存其中的宇宙做出最完美的描述。 奇妙的“维”
后序 • 参考书目： 《时间简史》 《果壳中的宇宙》 书看得比较少，有点一家之言的味道，请勿见笑，呵呵。 奇妙的“维”
鸣谢： 首先感谢杨老师给了我们这样一个自由思考的机会，感谢助教老师蜜蜂般辛勤的工作。 感谢李婷（pb05000602）同学，多亏她无私地将自己新买的笔记本借给我，我才有可能日以继夜地完成从初稿到ppt的制作。 感谢胡鹃娟（pb05000619）同学，本ppt无数珍贵的相片都时用她的相机拍摄的，尽管我技术有限导致照片质量偏差。 同样感谢徐浩（pb05000631）同学，他在我u盘已满的情况下将自己容量1G的mp3借给了我，并用它安装了word及ppt。他还曾试图用mathematic帮助我绘制抽象的几何图形，虽然最终没有成功。 同样地深深感谢那些在此期间借给我一卡通，洗衣卡，钢笔，眼药水，毛巾，牙刷……….的无名英雄们。 奇妙的“维”
