第七章矩阵法

第七章矩阵法

§7-1 基本概念 一、新术语及概念： • 离散（discretize) 在矩阵法或有限元法，将杆系拆为杆件称为将结构“离散”。离散出来的杆件两端应理解为刚性固定，但此刚性固定端通常不画出来，此外力在集中力作用的地方也常进行离散。

（2）杆元与节点 每一个离散出来的杆件称为“杆元”或“单元”（element），杆件两端的点是“节点”（node）。杆件与节点都要编号（3）坐标系统局部坐标系统总坐标系统或结构坐标系统

（4）自由度 位移法的未知数是位移，即杆元两端的位移。它就是节点的位移。节点具有的位移数称为“自由度数”。对于某一杆元 i-j，其两端的位移常用矩阵：表示，叫做“杆端位移矩阵”。

（5）杆元端点力 杆元端点仅因两端位移（节点位移）发生的力叫做端点力，即位移法中的等，常用矩阵{Fi},{Fj}表示，杆元的端点力与端点位移总是一一对应的。

（6）杆元刚度矩阵 杆元端点力与节点位移之间的关系用杆元刚度矩阵关系，即式中称为“刚度矩阵”（stiffness matrix）`

矩阵法内容主要包括以下部分： （1）将杆系离散为杆元与节点；（2）建立杆元刚度矩阵；（3）以各节点为对象建立平衡方程式；（4）求解平衡方程式得节点位移即杆端位移；（5）由杆端位移求出杆元的内力与变形

§7-2 杆元的基本类型 • 一般来说，一个空间杆元的节点有六个位移，即有六个自由度，相应有六个端点力。现不考虑一般情况，仅就平面杆系中可能遇到的情况先作介绍。 • 分析杆元时，局部坐标采用右手坐标系 oxyz ，并暂时省去 oxyz 上的横线，即用oxyz;

并规定杆端的位移及力均用矢量（力矩用双箭头矢量）沿坐标轴的正向表示出。并规定杆端的位移及力均用矢量（力矩用双箭头矢量）沿坐标轴的正向表示出。 • 于是有以下几种基本类型的杆元节点位移与端点力表。

§7-3 杆元的刚度矩阵 1.基本杆元的刚度矩阵（1）拉（压）杆元

设两端点力为， 按正向表示在图上；节点位移为，按正向画出。

杆元的伸长为 ，于是有应变：

从而得 （2）扭转杆元

设两端之扭矩为， 扭角为，均按正向表示在图上。则有及

从而得 故

（3） xoy平面内的弯曲杆元

此种杆元的两端力与节点位移关系可直接利用第五章的结果此种杆元的两端力与节点位移关系可直接利用第五章的结果式中4 ×4的方阵即为xoy平面内弯曲杆元的刚度矩阵。

（4） xoz平面内的弯曲杆元 同样应用第五章的结果，在本章的符号规定下，有

式中4 ×4的方阵即为xoz平面内弯曲杆元的刚度矩阵。

求得了上述四种基本杆元的刚度矩阵后，不难得到求得了上述四种基本杆元的刚度矩阵后，不难得到（5）平面桁架杆元的刚度矩阵

（6）平面刚架杆元的刚度矩阵（1+3） 式中6 ×6的方阵即为刚度矩阵。如在刚架计算中不计杆元的轴向变形，则A=∞ 。

（7）平面板架杆元的刚度矩阵（2+4）

式中6 ×6的方阵即为刚度矩阵。 μ为泊桑比 G=E/2（1+μ）。如在通常的板架计算中不计扭转力矩，则Jx=0。

2 杆元刚度矩阵的性质与分块子矩阵 杆元刚度矩阵是对称矩阵，且对角线上的元素为正值。为了建立结构平衡方程式的需要，下面将杆元刚度矩阵分为四个子矩阵。为此，将改写为

式中分别为杆端 的端点力矩阵；分别为节点的位移矩阵；分别为杆元刚度矩阵的子矩阵；

对于节点自由度为n的杆元，子矩阵为n× n方阵，并且由于杆元刚度矩阵的对称性质，子矩阵与转置阵间有如下关系；

3. 虚功原理的应用 杆元的刚度矩阵亦可用虚功能原理导出，现以下图中的拉（压）力为例来说明推导方法先将杆元的应变ε用节点位移{δij }表示，因为有可简记为

式中[B]称为“几何矩阵”。 再利用虎克定律：或记为式中[D]称为“弹性矩阵”。

现设杆元节点发生虚位移 ，则外力对虚位移的虚功为式中为虚应变，于是虚应变能为

根据虚功原理有，再考虑到 及与杆的尺度无关，故可将它们移到中的积分号之外，这样有由于的任意性，则

上式具有一定的普遍性，适用于一切杆元。 对于目前讨论的拉（压）杆元。将代入后，得

§7-4 结构刚度矩阵 1. 节点力在上节中求得杆元ij的端点力与节点位移间的关系为或式中

由于节点力与杆端力互为作用力与反作用力，故因节点位移引起的节点力为-由于节点力与杆端力互为作用力与反作用力，故因节点位移引起的节点力为- 如果杆元上还有分布荷重，则杆元的杆端力应为加上相应的固端力例如对于在xoy平面内的弯曲杆元，有固端力此时节点力为

2. 节点力平衡方程式 以下图为例：设杆元1-2为① ，2-3为② ，3-4为③ ，分别有

节点1的平衡方程式为 或式中

式中支座1的支反力， 及分别为杆元 ①在1端的固端剪力与固端弯矩。节点2因汇交杆元①和② ，故其平衡方程式为

式中节点3汇交杆元②和③ ，故平衡方程式为或式中

节点4的平衡方程式为 或式中整理上面的方程，得到整个结构的全部节点的平衡方程式为

或可简记为 式中[K]称为“结构刚度矩阵”或“总刚度矩阵”，它联系了节点位移{δ }与节点外力{P}间的关系。

3. 结构刚度矩阵的性质

通过以上分析，可知总刚度矩阵有如下性质： （1）结构总刚度矩阵是对称方阵——由于杆元刚度矩阵具有以下性质，子矩阵与其转置矩阵相等，并且子矩阵又总是进入总刚度矩阵的对称位置，所以结构总刚度矩阵是对称矩阵，并且总刚度矩阵主对角线上的元素必为正值。（这个性质可用来检查总刚度矩阵是否正确）

（2）结构总刚度矩阵是带状稀疏方阵——总刚度矩阵中的元素总是集中在矩 阵主对角线的两旁，从而形成了一个带状区域，带状区域的最大宽度叫做“带宽”。带状区域以外的元素以及带状区域中的一些元素均为零，因此矩阵中有大量的零元素，即形成了稀疏矩阵。

为了节约计算机内存，总刚度矩阵的带状宽度将越小越好，这就需要合 • 理地编排节点的号码。 • 为了说明这一情况，参考图中的刚架结构，它有十个节点，12个杆元。当 • 节点号按a图所示排列时，总刚度矩阵带状宽度远比节点号按b图排列时要 • 小。因此取a的节点号是有利的。

§7-5 约束处理及例题 一、约束处理 • 根据上节得到的方程式，将 • {δ1 }……{δ4 }，{Ρ1}……{Ρ4} • 中的元素代入后，将有如下的形式

第七章 矩阵法