9.1 小波变换的定义

1. 小波变换的定义 给定一个基本函数，令 (9.1.1) 若a,b不断地变化，我们可得 到一族函数 。给定平 方可积的信号 ，即 则小x(t)的小波变换（Wavelet Transform，WT）： （9.1.2） 9.1 小波变换的定义

2. 信号 的小波变换 是a和b的函数，b是时移，a是尺度因子。 又称为基本小波，或母小波。是母小波经移位和伸缩所产生的一族函数，称之为小波基函数，或简称小波基。 式中,b的作用是确定对x(t)分析的时间位置，也即时间中心。尺度因子a的作用是把基本小波 作伸缩。 式中的因子 是为了保证在不同的尺度时，始终能和 母函数有着相同的能量，即

3. 令的傅里叶变换为，的傅里叶变换为，由傅里叶变换的性质，的傅里叶变换为：令的傅里叶变换为，的傅里叶变换为，由傅里叶变换的性质，的傅里叶变换为： （9.1.3） 由Parsevals定理，（9.1.2）式可重新表为： （9.1.4） 此式即为小波变换的频域表达式。

4. 小波变换的恒Q性 由小波变换的两个定义可以看出，如果 在 时域是有限支撑的，那么它和 作内积后将保证 在时域也是有限支撑的，从而实现所希望的时域定位 功能，也即 反映的是 在b附近的性质； 若 具有带通性质，即 围绕着中心频率 是有限支撑的，那么 和 作内积后也将 反映在中频率处的局部性质，而实现好的频率定 位性质。 9.2 小波变换的特点

5. 若 的时间中心是 ,时宽是 ， 的频率中心 是 ,带宽是 ，那么 的时间中心仍是 ，但时 宽变成 ， 的频谱 的频率中心变为 带宽变成 。这样, 的时宽－带宽积仍是 , 与a无关。 定义： 为小波 的品质因数，对 ，其 =带宽/中心频率 带宽/中心频率＝

7. 不同尺度下小波变换所分析的时宽、带宽、时间中心和频率中心的关系不同尺度下小波变换所分析的时宽、带宽、时间中心和频率中心的关系 图9.2.2 a取不同值时小波变换对信号分析的时－频区间

8. 由于小波变换的恒Q性质，因此在不同尺度下，图9.2.2由于小波变换的恒Q性质，因此在不同尺度下，图9.2.2 中三个时、频分析区间（即三个矩形）的面积保持不变。由 此，小波变换提供了一个在时、频平面上可调的分析窗口， 该分析窗口在高频端（图中 处）的频率分辨率不好（矩 形窗的频率边变长），但时域的分辨率变好（矩形的时间边 变短）；反之，在低频端（图中 处），频率分辨率变 好，而时域分辨率变差。但在不同的值下，图9.2.2中分析 窗的面积保持不变，也即时、频分辨率可以随分析任务的要 作出调整。 • 小波变换的时域及频率分辨率

9. 信号中的高频成份往往对应时域中的快变成份。对信号中的高频成份往往对应时域中的快变成份。对 这一类信号分析时则要求时域分辨率要好以适应快变成 份间隔短的需要，对频域的分辨率则可以放宽，当然， 时、频分析窗也应处在高频端的位置。低频信号往往是 信号中的慢变成份，对这类信号分析时一般希望频率的 分辨率要好，而时间的分辨率可以放宽，同时分析的中 心频率也应移到低频处。显然，小波变换的特点可以自 动满足这些客观实际的需要。

10. 用较小的a对信号作高频分析时，实际上是用高用较小的a对信号作高频分析时，实际上是用高 频小波对信号作细致观察，用较大的a对信号作低 频分析时，实际上是用低频小波对信号作概貌观 察。小波变换的这一特点即既符合对信号作实际分 析时的规律，也符合人们的视觉特点。

11. 小波变换和其它信号分析方法的区别 傅里叶变换 傅里叶变换的基函数是复正弦。这一基函数在频 域有着最佳的定位功能（频域的 函数），但在时 域所对应的范围是 -- ，完全不具备定位功能。 这是FT的一个严重的缺点。 第9章 小波变换的基础

12. 短时傅里叶变换 重写（2.1.1）式，即 (9.2.6) STFT不具备恒Q性质，当然也不具备随着分辨率 变化而自动调节分析带宽的能力，如图9.2.3所示。

13. 图9.2.3 STFT的时－频分析区间

14. 定义 (9.2.7) 为信号的“尺度图（scalogram）”。它也是一种能量 分布，但它是随位移和尺度的能量分布，而不是简单 的随的能量分布。但由于尺度间接对应频率（小对应 高频，大对应低频），因此，尺度图实质上也是一种 时－频分布。

15. 综上所述，由于小波变换具有恒Q性质及自动调综上所述，由于小波变换具有恒Q性质及自动调 节对信号分析的时宽/带宽等一系列突出优点，因此 被人们称为信号分析的“数学显微镜”。小波变换是 八十年代后期发展起来的应用数学分支。

16. 时移性质 若 的CWT是 ,那么 的CWT 是 。记 ， (9.3.1) 9.3 连续小波变换的计算性质

17. 尺度转换性质 如果x(t)的CWT是 ，令 ，则 (9.3.2) 证明: 令 则 该性质指出，当信号的时间轴按 作伸缩时，其小波变换在a 和b两个轴上同时要作相同比例的伸缩，但小波变换的波形不 变。这是小波变换优点的又一体现。

18. 微分性质 如果x(t)的CWT是 ，令 ， 则 （9.3.3） 证明： 由移位性质有： 即

19. 两个信号卷积的CWT 如果x(t),h(t)的CWT分别是 及 ,令 则 （9.3.4) 式中符号 表示对变量b作卷积。

20. 两个信号和的CWT 令 的CWT分别是 ， 且 ，则 （9.3.5a） 同理，如果 ，则 （9.3.5b） 即两个信号和的CWT等于各自CWT的和，也即小波变换满足 叠加原理。

21. 小波变换式所定义的CWT是“线性”变换，而WVD表小波变换式所定义的CWT是“线性”变换，而WVD表 达式Wigner分布为代表的一类时－频分布为“双线性 变换”。正因为如此，是信号能量的分布。与之相对 比，小波变换的结果不是能量分布。但小波变换的幅 平方，即（9.2.7）式的尺度图则是信号能量的一种 分布。将 代入(9.2.7)式，可得： (9.3.6) 式中 分别是 和 的幅角。

22. 上式表明在尺度图中同样也有交叉项存在，但该上式表明在尺度图中同样也有交叉项存在，但该 交叉项的行为和WVD中的交叉项稍有不同。WVD的交叉 项位于两个自项的中间，即位于 处， 分别是两个自项的时－频中心。尺度图中的交叉项出 现在 和 同时不为零的区域，也即是真 正相互交叠的区域中，这和WVD有着明显的区别。 WVD和WT之间的关系 ： （9.3.7）

23. 小波变换的内积定理 定理9.1 设 和 ， 的小 波变换分别是 和 ，则 （9.3.8） 式中 （9.3.9）

24. （9.3.8）式实际上可看作是小波变换的Parseval 定理。该式又可写成更简单的形式,即 (9.3.10) 进一步，如果令 ，由（9.3.8）式，有 (9.3.11) 傅里叶变换中的Parseval定理，即时域中的能量等于频域 中的能量。但小波变换的Parseval定理稍为复杂，它不但要有常数加权，而且以的存在 为条件。

25. 连续小波反变换的公式及反变换存在的条件 定理9.2 设 ，记 ， 为的 傅里叶变换，若 则 可由其小波变换 来恢复，即 (9.4.1) 9.4小波反变换及小波容许条件

26. 证明：设 ， ,则 将它们分别代入（9.3.8）式的两边，再令 ，于 是 于是定理得证。 在定理9.1和定理9.2中，结论的成立都是以<为前提条件 的。（9.3.9）式又称为“容许条件（admissibility condition）。

27. 容许条件含的多层的意思： 并不是时域的任一函数 都可以充当小波。其可以作为小波的必要条件 是其傅里叶变换满足该容许条件； 由（9.3.9）式可知，若 ，则必有 ，否则 必趋于无穷。这等效地告诉我们，小波函数 必然是带通函数； 由于 ，因此必有 (9.4.2) 这一结论指出， 的取值必然是有正有负，也即它是振 荡的。

28. 小波的函数所应具有的大致特征：是 一带通函 数，它的时域波形应是振荡的；从时－频定位的角 度，我们总希望 是有限支撑的，因此它应是快速 衰减的。 小波函数总结： 1.由上述讨论， 自然应和一般的窗函数一样满 足： （9.4.3）

29. 2. 由后面的讨论可知，尺度a常按 来离散 化， 。对应的傅里叶变换 ，由于需 要在不同的尺度下对信号进行分析，同时也需要在该 尺度下由 来重建 ，因此要求 是有界 的，当j由 时，应有 (9.4.4) 式中 。该式称为小波变换的稳定性条件。 满足(9.4.4）式的小波称作“二进（dyadic）”小波。

30. 重建核 定理9.3 设 是平面 上的任一点， 上 的二维函数 欲是某一函数的小波变换的充要 条件是它必须满足如下的重建核方程，即 （9.5.1） （9.5.2） 称为重建核。 9.5重建核与重建核方程

31. 证明：由（9.1.2）式小波变换的定义，有 将（9.4.1）式代入该式，有 此即（9.5.1）和（9.5.2）式。

32. 公式说明： 若 是 的小波变换，那么在平面 上 某一点 处小波变换的值 可由半平面 上的值 来表示，也即， 是 半平面上 的总贡献。因此这些点上的值是相关 的，也即（9.4.1）式对 的重建是存在信息冗余 的。这一结论告诉我们可以用 平面上离散栅格上 的 来重建 ，以消除重建过程中的信息冗 余。

33. 若a,b连续取值，要想找到这样的母小波 使 两两正交，那将是非常困难地。因此，连续 小波变换的 必然存在信息冗余。然而，当 a,b离散取值时，则有可能得到一族正交小波基

34. 第一类:是所谓地“经典小波”，在MATLAB中又称作“原始（Crude）小波”。第一类:是所谓地“经典小波”，在MATLAB中又称作“原始（Crude）小波”。 第二类：是Daubecheis构造的正交小波 第三类：是由Cohen，Daubechies构造的双正交小波 9.6小波的分类

35. Haar小波 Haar小波来自于数学家Haar于1910年提出的 Haar正交函数集，其定义是： （9.6.1） 其波形如图9.6.1（a）所示。 的傅里叶变换是： （9.6.2） 9.6.1经典类小波

36. 图9.6.1 Harr小波 (a) ，(b) ，(c)

37. Haar小波的优点 Haar小波在时域是紧支撑的，即其非零区间为（0，1） Haar小波属正交小波。若取 ，那么 Haar波是对称的。系统的单位抽样响应若具有对称性，则该系统具有线性相位，这对于去除相位失真是非常有利的。Haar小波是目前唯一一个既具有对称性又是有限支撑的正交小波； Haar小波仅取＋1和－1，计算简单。

38. Haar小波缺点 Haar小波是不连续小波，由于 ，因此处 只有一阶零点 ，这就使得Haar小波在实际的信号分析与处理中受到了限制。

39. Morlet小波 Morlet小波定义为 (9.6.3) 其傅里叶变换 （9.6.4） 它是一个具有高斯包络的单频率复正弦函数。考虑到 待分析的信号一般是实信号。 Morlet小波不是正交的，也不是双正交的，可用 于连续小波变换。但该小波是对称的，是应用较为广 泛的一种小波。

40. MATLAB中将（9.6.3）式改造为： （9.6.5） 并取 。该小波不是紧支撑的，理论上讲t可取 。但是当 ，或再取更大的值时， 和 在时域和频域都具有很好的集中，如图9.6.2所 示。

41. 图9.6.2 Morlet小波， (a)时域波形， (b)频谱

42. Mexican hat小波 该小波的中文名字为“墨西哥草帽”小波，又称 Marr小波。它定义为: (9.6.6) 式中 ，其傅里叶变换为 (9.6.7) 该小波是由一高斯函数的二阶导数所得到的,其波形 和其频谱如图9.6.3所示。

43. 图9.6.3 墨西哥草帽小波，(a)时域波形，(b)频谱

44. Mexican hat小波不是紧支撑的，不是正交的，也不是双正交的，但它是对称的，可用于连续小波变换。由于该小波在 处有二阶零点，因此它满足容许条件，且该小波比较接近人眼视觉的空间响应特征。

45. Gaussian小波 高斯小波是由一基本高斯函数分别求导而得到 的，定义为： ， (9.6.8) 式中定标常数是保证 。 该小波不是正交的，也不是双正交的，也不是紧 支撑的。当k取偶数时 正对称，当k取奇数时， 反对称。图9.6.4给出了k=4时的 的时域波形及对 应的频谱。

46. 图9.6.4 高斯小波，取k=4,(a)时域波形，(b)频谱

47. 目前提出的正交小波大致可分为四种，即 Daubechies小波，对称小波，Coiflets小波和 Meyer小波。这些正交小波和前面所讨论的“经典 小波”不同，它们一般不能由一个简洁的表达式给 出 ，而是通过一个叫做“尺度函数（Scalling function）”的 的加权组合来产生的。 9.6.2正交小波

48. Daubechies小波 Daubechies小波简称db小波。它是由法国女学者Ingrid Dauechies于90年代初提出并构造。Daubechies对小波变换的理论做出了突出的贡献，特别是在尺度a取2的整数次幂时的小波理论及正交小波的构造方面进行了深入的研究，其代表作《Ten Lectures on Wavelet（小波十讲）》

49. dbN中的表示db小波的阶次， ， 。当时，db1即是Haar小波。因此，前述的Haar小波应归于“正交小波”类。Daubechies计算出了 时的 及 。 db小波是正交小波，也是双正交小波，并是紧支撑的。 的支撑范围在 ， 的支撑范围在 。小波 具有阶消失矩， 在 处具有阶零点。但db小波是非对称的，其相应的滤波器组属共轭正交镜像滤波器组（CQMFB）。 ，

50. 图9.6.5 时db小波 (a) ，(b) ，(c) ，(d)