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INTERPOLAZIONE Si parla di processo di interpolazione quando, conoscendo una serie di dati, sperimentali o statistici, riguardo ad un evento, si vuole determinare una funzione che sia in grado di descrivere la relazione che lega le variabili, e che possa essere utilizzata per determinare altri dati non compresi nella serie che si ha a disposizione. MATEMATICA L’interpolazione può essere: STATISTICA
INTERPOLAZIONE MATEMATICA Problema: Un istituto agrario sta effettuando delle sperimentazioni sulla crescita di una pianta.La tabella registra l'altezza raggiunta dalla pianta in epoche diverse, a partire dal momento in cui è stata interrata. Si vuole conoscere l'altezza della pianta alla fine del secondo e terzo mese, e prevedere quella che sarà raggiunta alla fine del quinto mese. I dati che abbiamo a disposizione sono quelli riportati nella tabella. Con essi facciamo un’ipotesi, di tipo probabilistico, sull’andamento della crescita della pianta, e cerchiamo i dati mancanti utilizzando l’ipotesi fatta.
Rappresentiamo i dati che abbiamo con un grafico a dispersione, per osservare come sono distribuiti (mettendo in ascissa i mesi e in ordinata le altezze corrispondenti) Ora cerchiamo una funzione che passi esattamente per i tre punti che abbiamo. Ci sono infinite funzioni che passano esattamente per tre punti dati. La scelta spetta a noi. Usualmente si cercano funzioni razionali intere (polinomi: retta, parabola, cubica…) perché sono più facili da manipolare. Guardando il grafico, i tre punti possono sembrare allineati.
Cerchiamo la retta che passa per due di essi e verifichiamo se passa anche per il terzo punto (i calcoli si possono fare a mano – retta per due punti- , con un foglio elettronico o con Derive – meglio!): I tre punti non sono allineati. Occorre cercare un’altra funzione interpolante.
Cerchiamo di interpolare con una parabola: per tre punti distinti del piano passa sempre una sola parabola (infatti i coefficienti da determinare sono tre – a, b, c – e le tre condizioni da porre per determinare i coefficienti sono il passaggio del grafico per i tre punti) L’ equazione della parabola si trova risolvendo un sistema di tre equazioni nelle tre incognite a, b, c (i coeff. dell’eq. della parabola), ottenute sostituendo ad x e y le coordinate dei tre punti. Facendo i conti (a mano, con un foglio elettronico o con Derive) si ottiene: y= 5/6 x2 + 79/6 x + 32 cfr. dalla dia n.7
Ora, avendo a disposizione l’equazione della parabola interpolante, possiamo rispondere alle domande del problema: qual era (presumibilmente / approssimativamente) l’altezza della pianta dopo due e tre mesi dall’interramento, e quale sarà dopo cinque mesi? y= 5/6 x2 + 79/6 x + 32
RICERCA DELLA PARABOLA INTERPOLANTE CON DERIVE Apriamo un foglio di lavoro algebra di Derive, e scriviamo l’equazione della parabola generica e la matrice dei tre punti che conosciamo, per avere le coordinate a portata di “vista”: Scriviamo le tre equazioni del sistema (che avrà come incognite a, b, c), copiando per tre volte nella barra di inserimento l’equazione della parabola (posizionarsi nella barra, avendo selezionato l’equazione da copiare e premere F3)
e sostituendo ad x e y le coordinate dei tre punti noti: Inviamo le tre equazioni nella finestra di algebra: Risolvi sistema ottenendo così le equazioni che formeranno il sistema. Risolviamo il sistema
Tre equazioni Le tre equazioni copiate dalla finestra algebra Nelle tre incognite a, b, c risolvi
Otteniamo i valori dei coefficienti a, b, c E quindi possiamo scrivere l’equazione della parabola cercata:
INTERPOLAZIONE CON POLINOMI DI GRADO SUPERIORE A seconda del numero di dati a disposizione, si può decidere di interpolare con funzioni razionali intere di grado maggiore. Più alto è il grado del polinomio, migliore è l’approssimazione. Per esempio, supponendo di avere a disposizione quattro coppie di dati, si può cercare la cubica (polinomio di terzo grado=quattro coefficienti da determinare) interpolante.
compito 1.Un parcheggio dispone dei seguenti dati relativi al numero di vetture parcheggiate relativamente ai giorni di una settimana. Mediante interpolazione quadratica determina il dato intermedio mancante e formula una previsione sui dati successivi. Ha senso, dal punto di vista statistico, questo problema? 2. Trova il polinomio interpolante, di quarto grado, passante per i punti: (-2, 1), (-1,-3), (0,1), (1,1), (2,9)
