Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

1. SAYISAL YÖNTEMLER SAYISAL YÖNTEMLER Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü 3.HAFTA İÇERİĞİ -Newton-Raphson Yöntemi -İkiye Bölme Yöntemi -Örnekler

2. Newton Raphson Yöntemi y Eğim= f |(x) Po yo y=f(x) yo- 0 α 0 x x1 kök xo xo- x1 SAYISAL YÖNTEMLER Eğer kökün ilk tahmini xo ise, [xo, f(xo)] noktasındaki teğet uzatılabilir. Uzatılan teğetin x eksenini kestiği nokta genellikle kökün daha iyi bir tahminini verir. y= f(x) fks.nun xo değeri yo= f(x)’dır. Po noktasından çizilen teğetin eğimi tg(α) ’dır. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

3. y Eğim= f |(x) Po yo y=f(x) yo- 0 α 0 x x1 kök xo xo- x1 SAYISAL YÖNTEMLER Aynı zamanda xo noktasındaki eğim bu noktadaki fonksiyonun türevine eşit olacağından : Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Buradan x1 değeri ; Bir sonraki adımdaki değer: En genel şekilde:

4. iterasyona son verme SAYISAL YÖNTEMLER • Newton-Raphson yönteminde iterasyona iki şekilde son verilir. • Bulunan x değeri için f(x) fks.nun değerinin 0’a yaklaşımına bakarak, • x değerinin bir önceki hesaplanan değerine εk kadar yaklaşmasına bakarak; • İterasyona son verilir. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

5. SAYISAL YÖNTEMLER ÖRNEK: f(x) = x4 – 2x – 5 fks.nun bir kökünü, xo=2 alarak Newton-Raphson yöntemiyle çözünüz. εk=0.00001 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü ol.dan iterasyona devam

6. SAYISAL YÖNTEMLER Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü ol.dan işleme devam

7. SAYISAL YÖNTEMLER Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü ol.dan işleme devam

8. SAYISAL YÖNTEMLER Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Eğer iterasyona son verme koşulu x değeri için f(x) fonksiyon değerinin sıfıra yaklaşması olsaydı iterasyona devam edilirdi. ol.dan iterasyona son verilir. Kök x4=1.702706

9. SAYISAL YÖNTEMLER Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü f(x)’in değeri 0’a gittiği için iterasyona son verilir. Kök x5=1.702706

10. SAYISAL YÖNTEMLER ÖRNEK: f(x)= x2-Sinx-2 dekleminin kökünü xo=2.25 için Newton-Rapshon yöntemiyle εk = 0.0001 hassasiyetle bulunuz. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü olduğu için işleme devam

11. SAYISAL YÖNTEMLER Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü | εt |< εk olduğu için iterasyona son verilir. Kök x4= 1.728466

12. SAYISAL YÖNTEMLER • ÖDEV: • f(x)= Sinx + 3cosx -3x fks.nun bir kökünü xo=0 için εk = 0.0001 hassasiyetle Newton-Rapshon yöntemini kullanarak bulunuz. • f(x)= x3 -5 fks.nun bir kökünü xo=1 alarak εk = 0.00001 hassasiyetle Newton-Rapshon yöntemini kullanarak bulunuz. Sonucu basit iterasyon yöntemiyle bulunan sonuçla karşılaştırınız. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

13. İkiye Bölme Yöntemi SAYISAL YÖNTEMLER Kökün bulunduğu bölgede fks.nun işaret değiştirdiği Teorem 1’ de belirtilmişti. Genel olarak xa ve xü aralığında fks sürekli ve f(xa) ile f(xü)’nün işaretleri ters ise yani f(xa).f(xü) < 0 ise bu aralıkta bir kök vardır. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü y İkiye bölme yönteminde kökün bulunduğu aralık adım adım daraltılarak gerçek köke ulaşılmaya çalışılır. f(xü) y=f(x) xa x xü kök f(xa)

14. y y=f(x) xa x xü kök xo SAYISAL YÖNTEMLER f(x) = 0 ’ı sağlayan kökün içinde bulunduğu aralığın altve üst değeri biliniyorsa bu iki değerin orta noktası için değeri bulunabilir. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

15. SAYISAL YÖNTEMLER • İşlem adımları • Kökün bulunduğu aralık için xa ve xüdeğerleri tahmin edilir ve f(xa).f(xü) < 0 şartı aranır. • Üst ve alt değerlerle orta değer (xo) hesaplanır. • f(xo) değeri hesaplanır • Eğer f(xo) =0 ise kökxo’dır. • Eğer f(xo) ≠ 0 ise işleme devam edilir • 4) f(xa) hesaplanır Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

16. y y f(xü) f(xü) xa xo xa x x kök xü xü kök xo f(xa) f(xa) SAYISAL YÖNTEMLER • a) • f(xa).f(xo) > 0 ise • xayerine xo yazılarak işleme devam edilir • b) • f(xa).f(xo) < 0 ise • xü yerine xoyazılarak işleme devam edilir. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

17. SAYISAL YÖNTEMLER İşleme son verme f(xo)=0 olunca işleme son verilir Kök xo’dır. 1) 2) | εt |< εkise işleme son verilir. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

18. y x 1.0 0.5 1.5 2.0 kök SAYISAL YÖNTEMLER ÖRNEK: xa’nın 0.5, xü’nün 1.5 olduğu tahmin edilen f(x) = x3 – 6x2 +13.5x- 9 fks.nun kökünü εk=0.001 hassasiyetle ikiye bölme yöntemiyle bulunuz. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Adım 1 : f(xa).f(xü) < 0 olduğundan işleme devam edilir.

19. SAYISAL YÖNTEMLER Adım 2 : Adım 3 : • f(xo) ≠ 0 olduğu için işleme devam edilir Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Adım 4 : Adım 5 : olduğu için xa=xo yazılır ve işleme devam edilir

20. SAYISAL YÖNTEMLER II. iterasyon xa=1 ve xü= 1.5 alarak işleme devam ediyoruz Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü f(xo) ≠ 0 olduğu için işleme devam edilir old. xü=xoalınarak işleme devam edilir olduğu için işleme devam edilir.

21. SAYISAL YÖNTEMLER III. iterasyon xa=1 ve xü= 1.25 alarak işleme devam ediyoruz Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü f(xo) ≠ 0 olduğu için işleme devam edilir old. xü=xo alınarak işleme devam edilir olduğu için işleme devam edilecek

22. SAYISAL YÖNTEMLER IV. iterasyon xa=1 ve xü= 1.125 alarak işleme devam ediyoruz Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü f(xo) ≠ 0 olduğu için işleme devam edilir olduğundan xa=xo alınarak işleme devam edilir olduğu için işleme devam edilecek

23. SAYISAL YÖNTEMLER V. iterasyon xa=1,0625 ve xü= 1.125 alarak işleme devam ediyoruz Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü f(xo) ≠ 0 olduğu için işleme devam edilir olduğu için xa=xo alınarak işleme devam edilir olduğu için işleme devam edilecek

24. SAYISAL YÖNTEMLER Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü kök

25. SAYISAL YÖNTEMLER ÖDEV: f(x) = x3 – 5sin2x fonksiyonunun kökünü xa=1.2, xü= 2 için εk=0.00001 hassasiyetle ikiye bölme yöntemiyle bulunuz. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü