Лекция № 2

1. Сегодня: __________________ 2009 г. Лекция №2 Содержание лекции: 1. Обследование объекта моделирования 2. Концептуальная и математическая постановка Задачи. 3. Выбор и обоснование выбора методов решения задачи. 4. Разработка алгоритма и компьютерная реализация модели 5. Проверка адекватности модели. 6. Практическое использование модели. Тема: Этапы построения моделей

2. Этапы построения модели

3. Выбор и обоснование выбора метода решения задачи

4. Математическая постановка А) Векторная форма Найти зависимости от времени для векторных параметров r(t)и v(t) из решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений: m(dv/dt) = mg, v = dr/dt (2.1) при следующих начальных условиях: r(0) =0 , v(0) = v0(2.2) Вычислить параметр  как  = r(tk) - rxk , (2.3) где tk определить из следующих условий tk > 0, vy(tk) < 0, y(tk) = yk.(2.4)

5. Математическая постановка Б) Координатная форма Найти зависимости x(t), y(t)и vx(t), vy(t)из решения системы дифференциальных уравнений: m(dvx/dt) = 0, vx = dx/dt, m(dvy/dt) = - mg, vy= dy/dt (2.5) при следующих начальных условиях: х(0) = х0, у(0) = у0, vx(0)= v0cos0, vy(0) = v0sin 0. (2.6)  Вычислить параметр  как  = r(tk) - xk , (2.7) где tkопределить из следующих условий tk > 0, vy(tk) < 0, y(tk) = yk. (2.8)

6. Аналитическое решение задачи Проинтегрировав соотношения (2.5) по времени, получим х(t) = С2 + С1t, y(t) = C4 + C3t – gt2/2, vx(t) = C1, vy(t) = C3- gt (2.9) Константы интегрирования найдем из начальных условий (2.6). Тогда решение задачи можно записать следующим образом x(t) = х0 + v0t cos0 , y(t) = у0 + v0t sin0 - gt2/2, vx(t) = v0 cos 0, vy(t) = v0sin - gt. (2.10) Примем для простоты, что в момент броска мяч находится в началекоординат и на одном уровне с корзиной (т.е. х0 = у0= уk = 0).

7. Аналитическое решение задачи Под дальностьюL броска будем понимать расстояние, которое пролетит мяч от точки броска до пересечения с горизонтальной плоскостью, проходящей через кольцо корзины. Из соотношений (2.10) для координат дальность броска выразится следующим образом: L = (v02/g) sin 20(2.11) Тогда точность броска с учетом (2.7) будет равна  = L – xk (2.12) Например, при броске мяча со штрафной линии можно принять следующие исходные данные: х0 = у0 = ук = 0; хк = 4,225 м; v0= 6,44 м/с; = 45°. Тогда из (2.11) и (2.12) имеем L = 4,225 м; = 0 м.

8. Реализация программы на компьютере Компьютеры бесподобны: за несколько минут они могут совершить такую ошибку, которую не в состоянии сделать множество людей за многие месяцы. (Лоуренс Дж. Питер) Процесс создания программного обеспечения можно разбить на ряд этапов: 1. разработка технического задания; 2. проектирование структуры программного комплекса; 3. кодирование алгоритма; 4. тестирование и отладка; 5. сопровождение и эксплуатация.

9. Реализация модели на компьютере Техническое задание на разработку программного обеспечения оформляют в виде спецификации. Примерная форма спецификации включает следующие 7 разделов: 1) Название задачи 2) Описание 3) Управление режимами работы программы 4) Входные данные 5) Выходные данные 6) Ошибки 7) Тестовые задачи

10. Спецификация задачи о баскетболисте 1) Название задачи Название программы Basketball С Система программирования Delphi Компьютер IBM PC Pentium Операционная система Windows-XP 2) Описание Приводится математическая постановка задачи и описание метода ее решения. 3) Управление режимами работы программы 4) Входные данные Входными данными являются радиус и масса мяча, его начальные координаты и скорость, угол бросания, координаты корзины.

11. Спецификация задачи о баскетболисте 5) Выходные данные Траектория центра мяча, расчетная величина дальности и точность броска. 6) Ошибки При вводе исходных данных предусмотреть контроль: • все вводимые значения должны быть положительны; • угол бросания лежит в пределах от 5 до 85 градусов; • начальная скорость мяча лежит в пределах от 0 до 30 м/с; • горизонтальная координата центра корзины больше начальной горизонтальной координаты мяча. 7) Тестовые примеры При х0 = у0 = уk = 0; хk = 4,225; u0 = 6,44; a = 45; Получаем: L = 4,225;  = 0.

12. Проверка адекватности модели Под адекватностью модели будет пониматься степень соответствия результатов, полученных по разработанной модели, данным эксперимента или тестовой задачи. Проверка адекватности модели преследует две цели: • Убедиться в справедливости совокупности гипотез, сформулированных на этапах концептуальной и математической постановок. • Убедиться, что точность полученных результатов соответствует точности, оговоренной в техническом задании.

13. Примеры Модель движения лодки Рассмотрим поэтапное построение модели движения лодки Содержательная постановка Лодку оттолкнули от берега и, разогнав, отпустили при некоторой начальной скорости. Необходимо исследовать движение лодки. Полученные результаты представить в графическом виде.

14. Концептуальная постановка Рассматривается движение лодки в воде с начальнойгоризонтальной скоростьюu0 под действием силы тяжести mg, архимедовой выталкивающей силы NA и силы сопротивления движению Fc, приложенных к центру масс. Так как лодка держится на плаву (движение по вертикали отсутствует), то архимедова выталкивающая сила NA уравновешивает силу тяжести mg. Разработку модели будем выполнять при следующих предположениях: • Объектом исследования является лодка, совершающая поступательное движение в горизонтальной плоскости. • Лодку принимаем за материальную точку массы m, положение которой совпадает с центром масс.

15. Концептуальная постановка 3.Движение лодки под действием приложенной системы сил подчиняется основному уравнению динамики (второму закону Ньютона). 4. Величина силы сопротивления воды Fc прямо пропорциональна скорости лодки и противоположна по направлению: Fc = - mu, где m - коэффициент пропорциональности (величина постоянная). Требуется определить скорость лодки как функцию времени и графическиотобразить эту зависимость.

16. Этапы построения модели

17. I этап 1.1. Постановка задачи моделирования системы; 1.2. Анализ задачи моделирования системы; 1.3. Определение требований к исходной информации об объекте моделирования и организация его сбора. 1.4. Выдвижение гипотез и принятие предположений; 1.5. Определение параметров и переменных модели; 1.6. Установление основного содержания модели; 1.7. Обоснование критериев оценки эффективности системы; 1.8. Определение процедур аппроксимации; 1.9. Описание концептуальной схемы модели; 1.10. Проверка достоверности концептуальной модели; 1.11. Составление технической документации по первому этапу.

18. II этап 2.1. Построение логической схемы модели; 2.2. Получение математических соотношений; 2.3. Проверка достоверности модели системы 2.4. Выбор инструментальных средств для моделирования; 2.5. Составление плана выполнения работ по моделированию; 2.6. Спецификация и построение схемы программы; 2.7. Верификация и проверка достоверности программы; 2.8. Проведение программирования модели; 2.9. Проверка достоверности программы; 2.10. Составление технической документации по второму этапу.

19. III этап 3.1. Планирование машинного эксперимента с моделью системы; 3.2. Определение требований к вычислительным средствам; 3.3. Проведение рабочих расчетов; 3.4. Анализ результатов моделирования системы; 3.5. Представление результатов моделирования; 3.6. Интерпретация результатов моделирования; 3.7. Подведение итогов моделирования и выдача рекомендаций; 3.8. Составление технической документации по третьему этапу.

20. Примеры моделирования • Информационное моделирование • Компьютерное моделирование • Математическое моделирование • Математико-картографическое моделирование • Молекулярное моделирование • Цифровое моделирование • Логическое моделирование • Педагогическое моделирование • Психологическое моделирование • Статистическое моделирование • Структурное моделирование • Физическое моделирование • Экономико-математическое моделирование • Имитационное моделирование • Эволюционное моделирование • и т. д.

21. Алгоритмы компьютерного моделирования • Метод конечных элементов • Метод конечных разностей • Метод контрольных объёмов

22. Метод конечных элементов Метод конечных элементов (МКЭ) — численный метод решения задач прикладной механики. Широко используется для решения задач механики деформируемого твёрдого тела, теплообмена, гидродинамики и электромагнитных полей. С точки зрения вычислительной математики, идея метода конечных элементов заключается в том, что минимизация функционала вариационной задачи осуществляется на совокупности функций, каждая из которых определена на своей подобласти, для численного анализа системы позволяет рассматривать его как одну из конкретных ветвей диакоптики — общего метода исследования систем путём их расчленения.

23. Метод конечных элементов Метод конечных элементов: триангуляция

24. Метод конечных элементов Наиболее распространенные системы КЭ анализа: ANSYS - универсальная система КЭ анализа с встроенным пре-/постпроцессором; MSC.Nastran - универсальная система КЭ анализа с пре-/постпроцессором MSC.Patran; ABAQUS - универсальная система КЭ анализа с встроенным пре-/постпроцессором; Impact - универсальная система КЭ анализа с встроенным пре-/постпроцессором; SAMCEF - универсальная система КЭ анализа с пре-/постпроцессором SAMCEF Field. Temper-3D - система КЭ анализа для расчёта температурных полей в трёхмерных конструкциях (теплотехнический расчёт). COMSOL Multiphysics - универсальная система КЭ анализа с пре-/постпроцессором.

25. Метод конечных элементов Програмное обеспечение, в основе которого лежит метод конечных элементов: • ПК Лира • ANSYS • Nastran • SCAD • MatLab • FemLab

26. Метод конечных разностей Метод конечных разностей - широко известный и простейший метод интерполяции. Его суть заключается в замене дифференциальных коэффициентов уравнения на разностные коэффициенты, что позволяет свести решение дифференциального уравнения к решению его разностного аналога, т.е. построить его конечно-разностную схему.

27. Метод конечных разностей Так, заменив производную в обыкновенном дифференциальном уравнении u'(x) = 3u(x) + 2 на конечную разность получаем аппроксимированную форму (конечно-разностную схему) Последнее выражение носит название конечно-разностного уравнения, а его решение соответствует приближённому решению первоначального дифференциального уравнения.

28. Классификация моделей Классификация моделей делится на: • Содержательную • Формальную

29. Классификация моделей Тип 1: Гипотеза (такое могло бы быть) Эти модели «представляют собой пробное описание явления, причем автор либо верит в его возможность, либо считает даже его истинным». По Р. Пайерлсу это, например, модель Солнечной системы по Птолемею и модель Коперника (усовершенствованная Кеплером), модель атома Резерфорда и модель Большого Взрыва.

30. Естествознание в Европе

31. Естествознание в Европе

32. Иоган КЕПЛЕР (1571-1630) установил законы движения планет Модель Коперника Сферы Аристотеля

33. Модель атома Резерфорда Опираясь на классические представления о движении микро-частиц, Резерфорд предложил планетарную модель атома. Согласно этой модели, в центре атома располагается положительно заряженное ядро, в котором сосредоточена почти вся масса атома. Атом в целом нейтрален. Вокруг ядра, подобно планетам, вращаются под действием кулоновских сил со стороны ядра электроны. Находиться в состоянии покоя электроны не могут, так как они упали бы на ядро. Планетарная модель атома Резерфорда. Показаны круговые орбиты четырех электронов

34. ускоренное расширение вселенной! Варианты будущего ВСЕЛЕННОЙ W >1 W =1 W < 1

35. Гипотеза будущего "разрыва" вселенной (2003 г.) Ускорение соответствует ∆Н=15 км/с за 1 млн лет При сохранении такого темпа через 22 млрд лет может произойти "разрыв" вселенной!

36. Гипотеза Большого взрыва прошлое будущее < BIG RIP > настоящее

37. (1904 - 1968) Гипотеза Большого взрыва < BIG BANG >

38. Классификация моделей Никакая гипотеза в науке не бывает доказана раз и навсегда. Очень чётко это сформулировал Ричард Фейнман: «У нас всегда есть возможность опровергнуть теорию, но, обратите внимание, мы никогда не можем доказать, что она правильна. Предположим, что вы выдвинули удачную гипотезу, рассчитали, к чему это ведет, и выяснили, что все ее следствия подтверждаются экспериментально. Значит ли это, что ваша теория правильна? Нет, просто-напросто это значит, что вам не удалось ее опровергнуть».

39. Классификация моделей Тип 2: феноменологическая модель (ведем себя так, как если бы…) Феноменологическая модель содержит механизм для описания явления. Однако этот механизм недостаточно убедителен, не может быть достаточно подтверждён имеющимися данными или плохо согласуется с имеющимися теориями и накопленным знанием об объекте. Поэтому феноменологические модели имеют статус вре́менных решений. Считается, что ответ всё ещё неизвестен и необходимо продолжить поиск «истинных механизмов». Ко второму типу Пайерлс относит, например, модели теплорода и кварковую модель элементарных частиц.

40. Мари Гелл-Манн Джордж Цвейг (1964 г.) Предложили гипотезу трех кварков

41. u (верхний) s (странный) d (нижний)

42. t (высший) с (очарованный) b (прекрасный)

43. d u u Кварковое строение +1 протон Заряд составной частицы равен сумме зарядов кварков

44. u d d Кварковое строение нейтрон 0 Заряд составной частицы равен сумме зарядов кварков

45. Классификация моделей Тип 3: Приближение (что-то считаем очень большим или очень малым) Если можно построить уравнения, описывающие исследуемую систему, то это не значит, что их можно решить даже с помощью компьютера. Общепринятый прием в этом случае — использование приближений (моделей типа 3). Среди них модели линейного отклика. Уравнения заменяются линейными. Стандартный пример — закон Ома. Если мы используем модель идеального газа для описания достаточно разреженных газов, то это — модель типа 3 (приближение). При более высоких плотностях газа тоже полезно представлять себе более простую ситуацию с идеальным газом для качественного понимания и оценок, но тогда это уже тип 4.

46. Классификация моделей Тип 4: Упрощение (опустим для ясности некоторые детали) В модели типа 4 отбрасываются детали, которые могут заметно и не всегда контролируемо повлиять на результат. Одни и те же уравнения могут служить моделью типа 3 (приближение) или 4 (опустим для ясности некоторые детали) — это зависит от явления, для изучения которого используется модель. Примеры: применение модели идеального газа к неидеальному, уравнение состояния Ван-дер-Ваальса, большинство моделей физики твердого тела, жидкостей и ядерной физики.

47. Классификация моделей Тип 5: Эвристическая модель (количественного подтверждения нет, но модель способствует более глубокому проникновению в суть дела) Эвристическая модель сохраняет лишь качественное подобие реальности и даёт предсказания только «по порядку величины». Типичный пример — приближение средней длины свободного пробега в кинетической теории. Она даёт простые формулы для коэффициентов вязкости, диффузии, теплопроводности, согласующиеся с реальностью по порядку величины. Но при построении новой физики далеко не сразу получается модель, дающая хотя бы качественное описание объекта — модель пятого типа. В этом случае часто используют модель по аналогии, отражающую действительность хоть в какой-нибудь черте.

48. Классификация моделей Тип 6: Аналогия (учтём только некоторые особенности)

49. Классификация моделей Тип 7: Мысленный эксперимент (главное состоит в опровержении возможности) А. Эйнштейн был одним из великих мастеров мысленного эксперимента. Вот один из его экспериментов. Он был придуман в юности и, в конце концов, привел к построению специальной теории относительности. Предположим, что в классической физике мы движемся за световой волной со скоростью света. Мы будем наблюдать периодически меняющееся в пространстве и постоянное во времени электромагнитное поле. Согласно уравнениям Максвелла, этого быть не может. Отсюда юный Эйнштейн заключил: либо законы природы меняются при смене системы отсчета, либо скорость света не зависит от системы отсчета. Он выбрал второй — более красивый вариант. Другой знаменитый мысленный эксперимент Эйнштейна — Парадокс Эйнштейна — Подольского — Розена

50. Классификация моделей Тип 8: Демонстрация возможности (главное — показать внутреннюю непротиворечивость возможности) Это тоже мысленные эксперименты с воображаемыми сущностями, демонстрирующие, что предполагаемое явление согласуется с базовыми принципам и внутренне непротиворечиво. Один из самых знаменитых таких экспериментов — геометрия Лобачевского (Лобачевский называл её «воображаемой геометрией»). Другой пример — массовое производство формально — кинетических моделей химических и биологических колебаний, автоволн и др.