第 5 章 最短路问题 (Shortest Path Problem)

1. 第5章 最短路问题(Shortest Path Problem) 网络优化 Network Optimization http://www.csiam.edu.cn/netopt 清华大学课号：70420133 清华大学数学科学系谢金星 办公室：理科楼2206# （电话：62787812） Email:jxie@math.tsinghua.edu.cn http://faculty.math.tsinghua.edu.cn/~jxie/courses/netopt

2. 最短路问题的例子和意义 S T • 许多实际问题都可以转化为最短路问题 • 其有效算法经常在其它网络优化问题中作为子算法调用

3. 假设费用均非负，则在最优解中 ，即 可以证明：一定存在满足条件 的最优解. 可以只考虑 最短路问题的例子 - 单产品、无能力限制的批量问题 例5.1 （Single-level Uncapacitated Lotsizing） 某工厂生产某种产品用以满足市场需求,且已知在时段t中的市场需求为dt . 在某时段t, 如果开工生产, 则生产开工所需的生产准备费为st , 单件产品的生产费为ct .在某时段t期末, 如果有产品库存, 单件产品的库存费为ht . 假设初始库存为0, 不考虑能力限制, 工厂应如何安排生产, 可以保证按时满足生产, 且使总费用最小? （Wagner – Whitin，1958） 假设在时段t, 产品的生产量为xt , 期末产品的库存为It (I0 =0); 用二进制变量yt表示在时段t工厂是否进行生产准备.

4. w12 w23 w34 w11 w22 w33 w44 1 3 2 4 5 w24 w13 w14 单产品、无能力限制的批量问题 记wij为第i时段生产量为 时所导致的费用(包括生产准备费、生产费和库存费), 即 其中 网络：从所有节点i到j (> i)连一条弧, 弧上的权为wi,j-1 , 如T=4时：

5. 6 B D 6 5 4 (开始) A 4 F (结束) 7 5 1 C E 3 例5.3 计划评审技术, 即PERT(Project Evaluation & Review Technique), 又称网络计划技术或统筹法) 大型复杂工程项目(Project)往往被分成许多子项目,子项目之间有一定的先后顺序(偏序)要求, 每一子项目需要一定的时间完成. PERT网络的每条弧表示一个子项目,如果以弧长表示每一子项目需要的时间,则最早完工时间对应于网络中的最长路 (关键路线). 工程上所谓的关键路线法(CPM: Critical Path Method)基本上也是计划评审技术的一部分. 项目网络不含圈, 其最长路问题和最短路问题都是可解的.

6. 最短路问题 s t 给定有向网络N，弧（i，j）对应的权又称为弧长（或费用）. 对于其中的两个顶点s，t，以s为起点和t为终点的有向路称为s-t有向路，其所经过的所有弧上的权（或弧长、费用）之和称为该有向路的权（或弧长、费用）. 所有s-t有向路中权(或弧长、费用)最小的一条称为s-t最短路. 对于有向网络中的一个圈，定义它的权为圈上所有前向弧上的权的和, 减去圈上所有反向弧上的权. 权为正的圈称为正圈; 权为负的圈称为负圈; 权为0的圈称为零圈. 对一个有向圈，它的权就是圈上所有弧上的权的和. 本章的圈一般都是指有向圈, 我们直接将正有向圈简称为“正圈”，负有向圈简称为“负圈”，零有向圈简称为“零圈”, 而“无圈”指的是不存在有向圈.

7. 最短路问题 –两点说明 • 最长路问题可以转化为最短路问题，把弧上的费用反号即可. • 必须指出：目前为止，一切最短路算法都只对不含负有向圈的网络有效. 对于含负有向圈的网络，最短路问题是NP困难的. • 因此，本章中除非特别说明，一律假定网络不包含负有向圈. 无向网络上的最短路问题一般可以转化为有向网络上的问题. • 如果所有弧上的权全为非负（或非正）数，只需将无向图的一条边代之以两条对称的有向弧即可. • 如果弧上的权有负有正，一般来说问题要复杂得多。

8. 最短路问题的数学描述 xij表示弧（i，j）是否位于s-t路上：当xij =1时，表示弧（i，j）位于s-t路上，当xij =0时，表示弧（i，j）不在s-t路上. 思考：为什么xij 可以不限定为{0，1}？ 关联矩阵是全么模矩阵，因此0-1变量可以松弛为区间[0,1]中的实数 不含负圈，变量直接松弛为所有非负实数

9. 5.2.1 Bellman方程 对偶问题为 根据互补松弛条件, 当x和u分别为原问题和对偶问题的最优解时:

10. Bellman方程 当某弧(i,j)位于最短路上时，即变量xij>0时, 一定有 如果u为对偶问题最优解,易知u+c (c为任意实数)仍为最优解. 不妨令 us=0，则u的具体数值就可以唯一确定了. 相当于对节点j赋予的一个实数值uj（通常称为 “标号”），在us=0时表示的正好是节点s到节点j的最短路的长度. Bellman方程(最短路方程、动态规划基本方程 ) 一般情况下直接求解最短路方程是相当困难的.

11. 最短路树（树形图） 6 B D 6 5 4 A 4 F 7 5 1 C E 3 定理5.1 对于只含正有向圈的连通有向网络，从起点s到任一顶点j都存在最短路，它们构成以起点s为根的树形图（称为最短路树（Tree of Shortest Paths）或最短路树形图（Shortest Path Arborescence）），最短路的长度可以由Bellman方程唯一确定. 前一部分实际上是Bellman最优化原理的直接结果； 后一部分中Bellman方程解的唯一性可以用反证法证明（略）

12. 10 1 s 1 2 3 -1 最短路树（树形图） • 如果将定理中的条件“只含正有向圈”改为“不含负有向圈”： • 上述最短路仍然存在； • Bellman方程的解的唯一性可能不成立. 起点s到顶点的最短路长度分别是us=u1=0， u2=10， u3=11 但此时只要u3 =u2+1  11 (us=u1=0)就可以满足Bellman方程. 如 us=u1=0， u2=8， u3=9 等 对于一般的网络，Bellman方程只是最短路长度必须满足的必要条件，而不是充分条件； 对于只含正有向圈(或无圈)的连通有向网络，它才是充要条件.

13. 5.2.2 无圈网络 引理5.1 (拓扑排序, Topological Ordering) 设有向图D不含有向圈,则D的顶点总可以重新编号,使得 . 最短路算法 - 如果采用邻接矩阵表示法，可首先计算各节点的入度； 然后找入度为零者编号； 去掉已编号节点及相关弧，同时修改相邻节点入度（只需扫描该去掉的节点的对应行） ； 依次类推。 如果采用邻接表表示法，可首先计算各节点的入度； 然后找入度为零者编号； 去掉已编号节点及相关弧，同时修改相邻节点入度（只需扫描该去掉的节点的出弧）； 依次类推。 该算法自然可以用来判断有向图是否无圈图.

14. 最短路算法 - 5.2.2 无圈网络 当采用递推计算求解上述方程时, 每个顶点和每条弧均被考虑一次 . 当网络是无圈时，这一最短路算法的复杂度为 这是求解最短路问题可能达到的最小的复杂度, 因为任何算法都至少必须对每条弧考虑一次

15. E 2 E -2 -2 1 1 5 5 A D 1 4 -1 3 3 -1 4 -1 4 1 1 B C 3 5 计算过程: =0, =min{0+1}=1, =min{0+(-1)}=-1, =min{0+5,1+(-2),-1+3}=-1, =min{-1+1, -1+4}=0. E -2 1 A D -1 1 B C 最短路算法 –例 例5.4 计算如下网络(图5.4 (a))中从节点A到所有其它节点的最短路.

16. 5.2.3 正费用网络(Dijkstra,1959) 最短路算法 - 基本思想：对于V 中每一个顶点j，赋予两个数值（通常称为“标号”）： 一个是距离标号uj，记录的是从起点到该顶点的最短路长度的上界； 另一个是前趋标号pred（j），记录的是当起点s到该顶点j 的一条路长取到该上界时，该条路中顶点j 前面的那个直接前趋（节点）. 算法通过不断修改这些标号，进行迭代计算. 当算法结束时，距离标号表示的是从起点到该顶点的最短路长度. 迭代进行计算的过程中，所有顶点实际上被分成了两类： 一类是离起点 s 较近的顶点，它们的距离标号表示的是从点s到该顶点的最短路长度，因此其标号不会在以后的迭代中再被改变（称为永久标号）； 一类是离起点 s 较远的顶点，它们的距离标号表示的只是从点到该顶点的最短路长度的上界，因此其标号还可能会在以后的迭代中再被改变（称为临时标号）.

17. STEP0. (初始化) 令S= ，=V， ；对V 中的顶点j(j s)令初始距离标号 . STEP2. 从 中找到距离标号最小的节点i，把它从 删除，加入S. 对于所有从i出发的弧 , 若 ，则令 . 转STEP1. 正费用网络（Dijkstra算法） STEP1. 如果S=V, 则uj为节点s到节点j的最短路路长(最短路可以通过数组pred所记录的信息反向追踪获得), 结束. 否则继续STEP2.

18. 引理5.2 在上述Dijkstra 算法中, （1）对于S中的任一顶点j，其距离标号uj是从起点s到该顶点j 的最短路路长； （2）对于 中的任一顶点j，其距离标号uj是从起点s出发，只经过S中的顶点到达顶点j 的最短路路长. 中具有最小标号的顶点 i 可以移入S中，这不会破坏结论（1）. S pred(i) i s pred(j) P2 j P1 对于 中的其它顶点k， 修改标号，不会破坏结论（2）. 正费用网络（Dijkstra算法） 归纳法. 算法开始时结论成立. 设直到迭代的第k步，上述结论(1)(2)成立.

19. 该算法的主要计算量在于STEP2循环（最多执行n次），它包括两个过程：节点寻找过程（从 中找到距离标号最小的节点i）和距离修改过程（修改与节点i相邻的节点的距离标号）. 对于距离修改过程，注意到一个顶点只有当它与顶点i相邻时，其标号才可能变更，才需要修改标号. 每次循环所需要修改标号的顶点个数最多为 这一过程的整体效应相当于对每条弧进行一次检查，所以该过程的总计算复杂度为O（m）. 对于稠密网络，这是求解最短路问题可能达到的最小的复杂度,因为任何算法都至少必须对每条弧考虑一次. 对于稀疏网络，利用各种形式的堆（Heap），其复杂度可以降为 或 等 Dijkstra算法 - 计算复杂性分析 对于节点寻找过程，第一次循环时需要n次比较操作，第二次循环时需要n-1次比较操作，…，依次类推. 因此，节点寻找过程的复杂度为 综上所述，该算法的复杂度为

20. 标号算法（Labeling Algorithm） 标号算法：目的就是在算法结束时将所有临时标号转变为永久标号. 无圈网络的最短路算法，也可以看成是一种标号算法. 标号设定算法（Label-Setting Algorithm） ：在通过迭代过程对标号进行逐步修正的过程中，每次迭代将一个顶点从临时标号集合中移入永久标号集合中. 一般只能用来求解无圈网络和正费用网络的最短路问题. 标号修正算法（Label-Correcting Algorithm）：每次迭代时并不一定将任何顶点标号从临时标号转变为永久标号，只是对临时标号进行一次修正，所有顶点标号仍然都是临时标号； 只有在所有迭代终止时，所有顶点标号同时转变为永久标号. 标号设定算法可以看成是标号修正算法的特例，因为在算法终止之前，任何永久标号都可以看成是一种特殊的临时标号. 对于一般费用网络的最短路问题采用.

21. 5.3.1 Bellman - Ford算法(Ford,1956) 引理5.3 在（5.11）~(5.13)中, 临时标号 是从起点 s =1到顶点 j 且所经过的弧数不超过 k 条时的最短路路长. 一般费用网络：标号修正算法(逐次逼近法，Successive Approximation) 计算从起点到所有其它顶点的最短路: 相当于迭代法解Bellman方程 归纳法 k=1显然成立. 假设对k成立,下面考虑k+1的情况. • 从起点 s =1到顶点j 且所经过的弧数不超过k+1条时的最短路有两种可能： • 只含有不超过k条弧； • 含有k+1条弧。

22. 如果迭代不收敛，即存在某个节点 j 使得 < ,则说明网络本来就含有负有向圈. • 因此本算法也可以用于判断网络是否含有负有向圈，复杂度为O（mn）. Bellman - Ford算法的复杂度 • 对于不含负有向圈的网络，最短路中弧的条数不超过n-1条. • 算法一定在n-1步迭代后收敛 算法的主要工作量是(5.13)式的循环迭代，对给定的 k 和 j ，只需检查节点 j 的所有入弧即可. 所以，对给定的k，正好需要对网络中的每条弧检查一次. 因此，算法的总复杂度为O（mn）.

23. 2 2 2 3 2 2 3 5 -4 4 -4 4 1 1 3 3 3 1 5 1 5 Bellman-Ford算法 （例）

24. 5.3.2 一般的标号修正算法 基本思想：逐步逼近，迭代求解最短路方程 STEP0: 令距离标号us=0, 前趋标号pred(s)=0;对所有其它节点j令uj为无穷大. STEP1: 如果对所有的弧（i，j）有uj ui+ wij，则结束， uj就是从起点s到节点j的最短路长，最短路可以通过前趋标号（pred）获得. 否则进行下一步. • 整数权，每次迭代使得一个节点的距离标号至少减少1 • 对每个节点的距离标号的修正次数不超过2nC次 • 总迭代次数不会超过2n2C 次 • 每次迭代都对所有弧进行检查和判断,需要m次操作（不指明具体寻找弧的方法时） 算法的总复杂度为O( mn2C).

25. Bellman-Ford算法是（一般）标号修正算法的特例 在一般标号修正算法中，可以首先对所有弧给定一个顺序，然后依次检查每条弧（i，j）并且在必要时对uj进行修正(减少)；当所有弧均被检查一遍以后，再从第一条弧开始下一遍检查. 经过k遍检查以后，节点j所获得的距离标号uj表示从起点s=1到顶点j 且所经过的弧数不超过k条时的最短路路长. 这正是Bellman-Ford算法

26. 改进的（一般）标号修正算法 基本思想：用链表记录可能满足uj> ui + wij的弧的起点 STEP0: 令LIST={s},距离标号us=0, 前趋标号pred(s)=0;对所有其它节点j令uj为无穷大。 STEP1. 如果LIST= ，则结束， uj 就是从起点s到节点j的最短路长，最短路可以通过前趋标号（pred）回溯获得. 否则进行下一步. STEP2：从LIST中删去一个节点i, 对从i出发的每条弧（i，j）判断是否满足 uj> ui + wij.如果是,则令uj= ui + wij, pred(j)=i, 并令LIST=LIST{j}. 当从i出发的所有弧都检查完以后,转STEP1. 这一算法的总复杂度为

27. 5.3.3 Floyd-Warshall算法（1962) 引理5.4 在（5.14）~(5.16)中, 临时标号 是不通过k，k+1，…,n 节点(i,j 除外)时从节点i到节点j的最短路路长. 计算网络中所有节点之间的最短路： • Bellman-Ford：O(nmn) = O(mn2) • Floyd-Warshall算法基本思想：逐步逼近，迭代求解最短路方程: O(n3) 归纳法 k=1显然成立. 假设对k成立,下面考虑k+1的情况. 从起点i到j 且不通过k+1,…, n 节点的最短路有两种可能： (1)不经过k节点 ； (2)经过k节点 。

28. 如果迭代不收敛，即存在节点 i,j 使得 < ,则说明网络本来就含有负有向圈. • 在某次迭代k发现某个节点i使得 <0, 则说明网络本来就含有负有向圈. Floyd-Warshall算法的复杂度 • 对于不含负有向圈的网络，最短路中弧的条数不超过n-1条. • 算法一定在n步迭代后收敛 算法的主要工作量是(5.16)式的循环迭代(三重循环),算法的总复杂度为O（n3）. • 因此本算法也可以用于判断网络是否含有负有向圈，复杂度为O（n3）.

29. STEP0: k=0. 对于所有节点i和j: 令 ， , ( ，若节点i和j之间没有弧, 认为 ) . STEP1: k=k+1. 对于所有节点i和j: 若 , 令 , ; 否则令 , . Floyd-Warshall算法的具体实现 由于要记录所有节点之间最短路的信息, 所以这里我们要用一个二维数组P； 可以依据二维数组P, 采用“正向追踪”的方式得到最短路. STEP2：如果k=n, 结束; 否则转STEP1.

30. 4 1 2 -3 -3 6 5 -7 3 10 4 3 6 Floyd-Warshall算法的例

31. Floyd-Warshall算法的例

32. 终点 1 2 3 4 Floyd-Warshall算法的例 起点 1 (1,2) (1,3) (1,3), (3,4) 2 (2,1) (2,3) (2,3), (3,4) 3 (3,4),(4,2),(2,1) (3,4),(4,2) (3,4) 4 (4,2),(2,1) (4,2) (4,2)(2,3)

33. 布 置 作 业 目的 掌握最短路的基本算法及复杂性分析 思考 1 ； （不交） 《网络优化》第140-143页 2；13；14；16 内容 内容