« CIRCUIT » ou début d’ automatique , appliqué à des circuits électriques

1. « CIRCUIT »ou début d’automatique, appliqué à des circuits électriques • Enseignement pour public ayant déjà eu la remise à niveau • Sur chaque thème, ou chapitre : rapides rappels, applications dans le domaine e.e.a. • Balayage rapide, (4 séances d’1 heure 30) • en cohérence avec le contenu des T.D. et T.P. • Objectifs : • remettre à niveau pour une exploitation immédiate (TD, TP) et ultérieure (ERII3, ERII4…), • - identifier ce qui fondamental et qui doit être connu sans aucune lacune ni ambiguïté

2. « CIRCUIT  » Avis aux utilisateurs de ce document power point : - Lancer le diaporama (touche F5) • Lire attentivement les pages progressivement, • par action de la touche -> • (ou de la touche flèche vers le bas) - A chaque point d’interrogation tournant : une question, ou une application numérique, est demandée. Alors, marquer un temps d’arrêt pour répondre… Et continuer après la réflexion

3. « CIRCUIT » Transformées de Laplace Analyse harmonique Quadripôles

4. TRANSFORMEES DE LAPLACE Définition, propriétés Application à l’électronique

5. TRANSFORMEES DE LAPLACE Définition, propriétés Application à l’électronique

6. La transformée de Laplace consiste à étudier le comportement des systèmes par une représentation symbolique. La variable n'est plus le temps t mais p. A une fonction f(t) dans le monde réel correspond une fonction F(p) dans le monde symbolique. Cette fonction est appelée : image de f(t). Inversement f(t) est appelée : originale de F(p). Ce passage du monde réel au monde symbolique est défini par la transformée de Laplace suivante: Sous réserve de convergence Remarque : il existe des conditions d’existence de F(p). Toutes les fonctions f(t) n’ont pas une transformée de Laplace. Et réciproquement, toutes les fonctions F(p) ne sont pas des transformées de Laplace de f(t).

7. Transformées de Laplace des principaux signaux Fonction de Heavyside appelée échelon unité, qui s’écrit usuellement u(t) ou = 1 si t > 0 = 0 si t < 0 Г(t) Définition :

8. Rampe unitaire = t si t > 0 = 0 si t < 0 Par définition Par ∫ u dv = [ u v ] – ∫ v du Intégration par parties : u = t dv = exp (-pt) dt du = dt v = -(1/p) exp (-pt) 1 = p2 [0 – 0] [0 – 1]

9. Fonction Exponentielle = exp (at) si t > 0 = 0 si t < 0 Par définition = Il faut que (a-p) soit < 0 pour que lim exp(a-p)t converge t->∞ 1 1 [0 – 1] Dans ces conditions, F(p) = = p-a (a-p)

10. Fonction sinus = sin (ωt) si t > 0 = 0 si t < 0 Par définition Par ∫ u dv = [ u v ] – ∫ v du Intégration par parties : u = sin (ωt) dv = exp (-pt) dt du = ω cos (ωt) dt v = -(1/p) exp (-pt) [0 – 0]

11. Fonction sinus, suite F(p) = Par ∫ u dv = [ u v ] – ∫ v du Intégration par parties : u = cos (ωt) dv = exp (-pt) dt du = - ω sin (ωt) dt v = -(1/p) exp (-pt) = F(p) ω 1 [0 – 1] - = p p -p ( ω ) ω ω2 1 1 - F(p) = ω F(p) = - F(p) On arrive à : p p p p2 p2 ω D’où : F(p) = p2 + ω2

12. Autre calcul, bien plus rapide : 1 On a vu que : L { exp –at } = p+a Reprenons cette écriture en remplaçant a par jω, avec ω constante : 1 p-jω p jω L { exp -jωt } = = = - p+jω p2+ω2 p2+ω2 p2+ω2 Or : exp -jωt = cos ωt – j sin ωt L { exp -jωt } = L { cos ωt - j sin ωt } Et, par linéarité : L {exp -jωt} ) = L{cos ωt} – j L{sin ωt} p L{cos ωt} = p2+ω2 Par identification : ω L{sin ωt} = déjà vu p2+ω2

13. Il existe des formulaires de transformées de Laplace.

15. Principales Propriétés des Transformées de Laplace Linéarité : Il suffit de se rappeler de la définition… Par développement et l’intégrale d’une somme est la somme des intégrales. Très utilisée lors des calculs des transformées

16. Principales Propriétés des Transformées de Laplace Transformées de Laplace d’une dérivée Intégration par parties : Par ∫ u dv = [ u v ] – ∫ v du u = exp (-pt) dv = f’(t) dt du = (-p) exp (-pt) dt v = f(t) Appliquons à notre calcul = F(p) L {f’(t)} = p F(p) – f(0+)

17. Principales Propriétés des Transformées de Laplace Transformées de Laplace d’une dérivée, suite £ {f(t)} = F(p) £ {f’(t)} = p F(p) – f(0+) £ {f’’(t)} = p [ p F(p) – f(0+) ] – f’(0+) £ {f’’’(t)} = p {p [p F(p) – f(0+) ] – f’(0+)} – f’’(0+)

18. Principales Propriétés des Transformées de Laplace Transformées de Laplace d’une intégration u variable d’intégration Posons : soit : =0 Par la page précédente : D’où : or : F(p) L {∫f(t)} = p

19. Principales Propriétés des Transformées de Laplace Théorème du retard f(t) u(t) f(t-) u(t-) La transformée de Laplace de la fonction retardée est : Posons x = t- t = x + dx = dt Quand t parcours  à l’infini, x parcours de 0 à l’infini Changement de variable La transformée s’écrit : = = x : variable d’intégration

20. Principales Propriétés des Transformées de Laplace Théorème de l’amortissement, ou multiplication par l’exponentielle Ecriture de F(p) dans laquelle on a remplacé p par p+k

21. Principales Propriétés des Transformées de Laplace Théorème de la valeur initiale Théorème de la valeur finale Si elle existe,

22. Principales Propriétés des Transformées de Laplace Transformée de Laplace d’une fonction périodique une fonction f(t) périodique de période T, faite de motifs g(t) G(p) est la transformée de Laplace de g(t), alors F(p) la transformée de f(t) s’écrit :

23. Principales Propriétés des Transformées de Laplace Théorème de convolution La convolution de deux fonctions f(t) et g(t), est la fonction h(t) définie par  que l’on note h(t) = f * g . Cette opération est commutative, c’est-à-dire que On a : Rappel : la transformée de Laplace d’un produit n’est pas le produit des transformées de Laplace !

24. Transformées inverses de Laplace Rappel : A une fonction f(t) dans le monde réel correspond une fonction F(p) dans le monde symbolique. Cette fonction est appelée : image de f(t). Inversement f(t) est appelée : originale de F(p). Comment retrouver f(t) à partir de F(p) ? 1) Par lecture des tables de transformées 2) et/ou par exploitation des propriétés 3) et/ou par décomposition en éléments simples (dans le cas de F(p) en fractions rationnelles) 4) par la méthode des résidus (vue plus tard)

25. TRANSFORMEES DE LAPLACE Définition, propriétés Application à l’électronique

26. Application 1 : Circuit LR attaqué par un échelon de tension

27. E(p) = L{e(t)} S(p) = L{s(t)} I(p) = L{i(t)} On pose : Ecrire les équations qui régissent le circuit, sous forme temporelle, et sous forme de Laplace. e(t) = uL(t) + uR(t) uL(t) = L di/dt uR = R i(t) E(p) = UL(p) + UR(p) UL(p) = L p I(p) UR(p) = R I(p) E(p) = (R + L p) I(p) On applique en e(t), un échelon de tension, d’amplitude Eo. Condition initiale nulle. Déterminer l’expression de I(p). En déduire i(t). E(p) = Eo/p i(t) = ?

28. i(t) = ? Il nous faut trouver l’original de I(p) 1) Par lecture des tables de transformées On connaît : l’original de 1/p : u(t) l’original de 1/(p+a) : u(t) exp (-at) Mais on n’a pas l’original de 1/[p(p+a)] ou du moins on suppose que l’on ne l’a pas… 2) et/ou par exploitation des propriétés 3) et/ou par décomposition en éléments simples (dans le cas de F(p) en fractions rationnelles) Eo Eo A = B = R -R/L On prend l’original  = L/R i(t) = Eo/R [ 1-exp (–t/) ] u(t) s(t) = Eo [ 1-exp (–t/) ] u(t) s(t) = R i(t) S(p) = R I(p)

29. e(t) = uL(t) + uR(t) uL(t) = L di/dt uR = R i(t) Eo E(p) = Récapitulation : Equations temporelles, Transformation en Laplace Résolution sous Laplace Retour en temporel p E(p) = (R + L p) I(p) s(t) À t -> infini, courant continu, di/dt = 0 et s = e = Eo Eo Tension s(t) = R i(t) : s(t) = Eo [ 1-exp (–t/) ] u(t) t

30. uL(t) = L di/dt uR = R i(t) Rappel : Résolution en temporel L i’ + R i = e(t) 1- On intègre d’abord l’ESSM : L i’ + R i = 0 i(t) = Io exp [-t/] avec  = L/R 2- On recherche une solution particulière : On recherche i(t) qui satisfasse : L i’ + R i = constante = Eo i(t) de la forme = constant répond à cette équation i(t) = Eo/R 3- La solution complète est : la solution de l’ESSM + solution particulière i(t) = Io exp [-t/] + Eo/R 4- La constante d’intégration Io est alors calculable par la condition initiale À t = 0, i(t) = 0, soit : 0 = Io exp [-t/] + Eo/R => Io =- Eo/R s(t) = Eo (1-exp [-t/]) pour t > 0 Il vient : i(t) = Eo/R (1-exp [-t/]) Par s(t) = R i(t) :

31. Application 2 : Circuit LR attaqué par une rampe de tension On applique en e(t), une rampe de tension, d’expression kt. Condition initiale nulle. Déterminer l’expression de I(p). En déduire i(t).

32. 1 Rappel : transformée de Laplace de la rampe unitaire : p2 k L’entrée e(t),qui est une rampe kt, a comme transformée de Laplace : E(p) = p2 Les équations de maille sont inchangées, et on conserve : Il nous faut trouver l’original de cette expression pour avoir i(t) B C A Décomposition en éléments simples + + = p R+Lp p2 B C/L A + + Supposons A, B, C calculés = p+R/L p2 p Original terme à terme i(t) = [At + B + C/L exp (-t/)] u(t) ou « pour t > 0 »

33. Décomposition en éléments simples B C A = + + p R+Lp p2 Parmi les différentes méthodes, l’identification après réduction au même dénominateur A(R+Lp) + Bp (R+Lp) + C p2 = p2 (R + Lp) D’où p2(BL+C) + p (AL + BR) + AR = k =0 =0 = k B = - A L / R A = k/R C = - B L B = - k L / R2 C = k L2/R2

34. A = k/R B = - k L / R2 C = k L2/R2  = L/R i(t) = [At + B + C/L exp (-t/)] u(t) i(t) = [ (k/R)t - k L / R2+ k L/R2 exp (-t/)] u(t) i(t) = (k/R) {t - L / R+ L/R exp (-t/) } u(t) i(t) = k/R { t -  [1- exp (-t/)] } u(t) D’où le tracé

35. i(t) = k/R { t -  [1- exp (-t/)] } u(t) R i(t) = k { t -  [1- exp (-t/)] } u(t) R i(t) R i(t) droites parallèles : pente k e(t) t  Tension R i(t) : k { t -  [ 1- exp (-t/) ] } pour t > 0 i(t) = 0 À t tendant vers 0 : k {t - } u(t) i(t) se comporte comme : À t tendant vers l’infini : R Pour t grand, la tension Ri(t) se comporte comme : k {t - } u(t)

36. e(t) = uL(t) + uR(t) uL(t) = L di/dt uR = R i(t) k E(p) = Récapitulation : Equations temporelles, Transformation en Laplace Résolution sous Laplace Retour en temporel p2 E(p) = (R + L p) I(p) Tension s(t) = R i(t) : k { t -  [ 1- exp (-t/) ] } pour t > 0

37. Application 3 : Circuit RC attaqué par une impulsion de courant Io de durée T Forme du courant i(t) montage

38. Forme du courant i(t) montage Utiliser le formalisme de Laplace pour exprimer I(p), transformée de Laplace de i(t). Io Io i(t) = - exp (-Tp) I(p) = p p Transformées de Laplace terme à terme Io Io u(t) p - Io exp (-Tp) Io u(t) retardé de T p Io u(t-T) soit Théorème du retard

39. Remarque intéressante : Pour cet exemple simple, I(p) peut aussi se déterminer par la définition :

40. Io Io - exp (-Tp) I(p) = Nous avons calculé p p Il nous faut maintenant uc(t) Par loi d’Ohm aux bornes d’un condensateur 1 Uc(p) = I(p) Cp Sans C.I. Io Io - Uc(p) = exp (-Tp) Cp2 Cp2

41. On finit en recherchant l’original de UC(p) Io Io exp (-Tp) Uc(p) = - Cp2 Cp2 D’où terme à terme : Io Io uc(t) = t u(t) - (t-T) u(t-T) C C Io Io t (t-T) Ce qui signifie : C C pour t > 0, nul ailleurs Pour t > T, nul ailleurs

42. Io Io uc(t) = t u(t) - (t-T) u(t-T) C C Construction de uc(t) : Io t C pour t > 0, nul ailleurs Io (t-T) C pour t > T, nul ailleurs Io T C Courant nul, le condensateur reste chargé Charge à courant constant

43. Récapitulation : Equations temporelles, Transformation en Laplace Résolution sous Laplace Retour en temporel i(t) = Io u(t) - Io u(t-T) Io Io - exp (-Tp) I(p) = p p Io Io - Uc(p) = exp (-Tp) Cp2 Cp2 Io Io uc(t) = t u(t) - (t-T) u(t-T) C C

44. Décomposition en éléments simples N(p) D(p) degré de D(p) > degré de N(p) Cas 1 : toutes les racines de D(p) sont réelles et différentes (« pôles simples ») D(p) peut s’écrire sous une forme comme (p+a) (p+b) (p+c)… a, b, c, réels N(p) D(p) B C A = + Alors : + [il y a autant de termes que le degré de D(p)] p+a p+b p+c Cas 2 : des racines de D(p) sont réelles et égales (« pôles multiples, de mutiplicité n ») D(p) peut s’écrire sous une forme comme (p+a)n (p+b) (p+c)… a, b, c, réels A1 A2 A3 An Alors : N(p) D(p) B C = + +… + + + + p+a p+b p+c (p+a)2 (p+a)3 (p+a)n Cas 3 : des racines de D(p) sont complexes (pôles « complexes ») D(p) peut s’écrire sous une forme comme (p2+ap+b) (p+c)… Tel que le discriminant Δ est < 0 Alors : Ap+B C N(p) D(p) = + p+c p2+ap+b Cas 4 : des racines de D(p) sont complexes et multiples D(p) peut s’écrire sous une forme comme (p2+ap+b)n (p+c)… A1p+B1 A2p+B2 Anp+Bn C N(p) D(p) Alors : + +..+ + = p+c p2+ap+b (p2+ap+b)2 (p2+ap+b)n

45. Application 4 : Circuit d’ordre 2 1) Interrupteurs dans cette position, donner courants, tensions d’équilibre (régime permanent) Cela permet de placer des conditions initiales pour la question suivante ;+) iL1 = iL2 = 0 (branches ouvertes) uC = 1 V 2) On commute les 2 interrupteurs simultanément. Calculer i(t) circulant dans L1.

46. Fléchons courants, tensions : uR1 uL1 uL2 i(t) i2 i-i2 ve uR2 uC Etablissons les lois des mailles, lois des noeuds ve = uR1 + uL1 + uc uL1 = L1 di/dt uR1 = R1 i uc = 1/C ∫ (i-i2) dt uC = uR2 + uL2 uR2 = R2 i2 uL2 = L2 di2/dt (1) ve = R1 i + L1 di/dt + uC duC/dt = (1/C) (i-i2) (2) (3) uC = R2 i2 + L2 di2/dt

47. L {f’(t)} = p F(p)– f(0+) Transformées de Laplace Rappel : (1) ve = R1 i + L1 di/dt + uC Ve(p) = R1 I(p) + L1[ p I(p) – i(0) ] + UC(p) p UC(p) – uC(0) = (1/C) [I(p) – I2(p)] (2) duC/dt = (1/C) (i-i2) (3) uC = R2 i2 + L2 di2/dt UC(p) = R2 I2(p) + L2[ p I2(p) – i2(0) ] Avec, d’après la question précédente : i(0) = 0 A , i2(0) = 0 A , uC(0) = 1 V Éliminons I2 : UC(p) UC(p) Par (3) : I2 = Mis dans (2) : p UC(p) – 1 = (1/C) [ I(p) - ] R2+L2p R2+L2p On trouve alors une expression de UC(p) : ( R2+L2p ) ( I(p)/C + 1) C UC(p) = p2 L2 C + R2 C p + 1 Que l’on place dans (1), pour aboutir à : Transformée de Laplace de i(L1) Ve(p) [ p2 L2 C + R2 C p + 1 ] - ( R2+L2p ) C Conséquence de la C.I. I(p) = ( R1 + L1p ) [p2 L2 C + R2 C p + 1] + R2 + L2p

48. Application numérique Ve(p) = 1/p (l’interrupteur crée un échelon de 1 V) (1/p) [ p2/2 + 2p + 1 ] – (4 + p) (1/2) I(p) = [ p2/2 + 2p + 1 ] + 4 + p (4+p) 1 I(p) = Soit, après simplification : p [ p3/2 + 4p2 + 10 p + 8 ] On remarque que : Soit, après identification : a = 2, b = 2, c = 4 1 [ p3/2 + 4p2 + 10 p + 8 ] = (p+a) (p+b) (p+c) 2 2 d’où I(p) = A B C D p (p+2)2 (p+4) + + + I(p) = p (p+2) (p+2)2 (p+4) qui se décompose en éléments simples : Avec : A = 1/8, B = 0 , C = -1/2 , D = -1/8 1 1 1 - - I(p) = 8 p D’où, l’original, terme à terme : 2(p+2)2 8(p+4) i(t) pour t > 0 1 – 1 t exp (-2t) – 1 exp (-4t) i(t) = 8 2 8

49. 1 – 1 t exp (-2t) – 1 exp (-4t) pour t > 0 i(t) = 8 2 8 Exploitons Matlab pour tracer cette équation Script : t = (0 : 1e-3 : 5) ; i = 0.125 – 0.5*t.*exp(-2*t)- 0.125*exp(-4*t); figure(1) ; plot(t,i) ; title('courant') xlabel('temps') Rem : pour t → , i(t) → 0,125 A Au voisinage de 0… exp(-2t) ≈ 1 - 2t + 2t2 +… d’où t exp(-2t) ≈ t - 2t2 + 2t3 +… exp(-4t) ≈ 1 - 4t + 8t2 - (64/6) t3 +... i(t) ≈ t3/3

50. Exploitons Pspice pour vérifier le comportement de ce circuit evolution du courant dans circuit R1L1CL2R2 * fichier ordre2.cir Ve 1 0 DC=1 R1 1 2 4 L1 2 3 1 IC=0 C 3 0 0.5 IC=1 L2 3 4 1 IC=0 R2 4 0 4 .tran 1m 5 0 1m UIC .probe .end i(t) Valeur finale : 0,125 A En DC, la source 1 V est connectée à 4 + 4 = 8 , d’où i = 1/8 = 0,125 A Valeur du courant à t = 0 : 0 A On retrouve la condition initiale