通过设计研究解决高中数学学与教中的问题

1. 通过设计研究解决高中数学学与教中的问题 鲍建生 华东师范大学数学系 jsbao@math.ecnu.edu.cn

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3. 一、数学教育是什么东西？ ？？ 数学 教育 不要问我从哪里来？

4. 数学教育是一门设计科学 (Lesh, R. & Sriraman, B. 2005) 研究者与实践者合作分析实践中的问题 在现有设计原理的基础上探讨创新设计 在实践中对设计进行反复的试验与修正 通过反思改进设计原理并推动设计的应用 对问题、策略、途径及设计原理的调整 设计研究（Design Research）的基本流程

5. 数学课堂教学设计研究的论文体例 • 大体上可以分以下四节： • 问题的提出（阐明拟解决的问题及其教学意义。问题可大可小，应具备：现实性、普遍性和深刻性） • 策略筛选与创意设计（收集与提炼已有的教学经验与策略，形成初步的设计原理和具体的教学设计，设计方案应有创意） • 教学实施与效果评价（将设计用于课堂教学，并跟踪评价教学效果，发现设计与实施中的问题） • 反思与改进（通过深度反思从三个方面提出改进意见：原有的设计策略/原理；具体的教学设计；教师本身的教学行为）

6. . . • 目标定位 • 任务设计 • 过程与行为 • 监控与调节 • 知能结构 • 发展阶段 • 研修方式 • 行为跟进 走进课堂，解决学与教中的实际问题 课堂教学 教师专业发展 教学的有效性 案例研究 教学实验 设计研究

7. 二、数学课堂教学设计研究的基本问题 • 效率：事半功倍还是事倍功半？ • 数学主干知识：什么是核心概念与思想方法？ • 数学认知水平：发展层次，差异性 • 数学学习中的困难、错误与障碍 • 超越双基：如何培养高层次的数学认知？ • 建模与应用：类型、功能与价值 • 情境的创设：什么样的问题情境是有效的？ • 技术的介入：如何有效的运用技术？ • 区分教学：学困生和资优生怎么办？

8. 三、数学课堂教学设计的基本原理与策略 良好的认知结构在问题解决（迁移）中有重要的作用（迁移理论）； 结构化的知识需要按照知识的主干有层次的推进(教学层次论) 典型例题是数学认知结构的重要成分（样例学习）； 同化和顺应是改变认知结构的基本途径（认知冲突与心理挣扎） 保持概念理解、技能训练、问题解决之间的平衡（四基） 在较大的信息单元上工作（聚焦认知根源/核心概念和思想方法） 多向思考与变式教学 双基的精熟有助于解决复杂问题，练习是技能精熟的必要条件（精致练习）； 不同的任务需要/引发不同的认知活动。

9. 1. 良好的认知结构在知识丰富领域的问题解决中有重要的作用（迁移理论） 数学思想方法 典型例题 数学双基

10. 2. 结构化的知识需要按照知识的主干有层次的推进 大学之法，禁于未发之谓豫，当其可之谓时，不陵节而施之谓孙，相观而善之谓摩。此四者，教之所由兴也。 ————《学记》 循序渐进（东西方的差异）

11. 中学数学课程发展的九条主线 (Z. Usiskin) 整数→有理数→实数→复数和向量 数的表示→代数表达式→作为关系的函数→作为对象的函数 个别图形的性质→某一类图形的一般性质 归纳推理→演绎推理（局部的演绎）→数学系统内的演绎（整体的演绎） 数的应用→运算的应用→建立函数模型 对一次测量的估计→一组数的统计；描述性统计→推断性统计 简单几何图形的全等与相似→所有图形全等与相似以及几何变换 计算器→图形计算器→计算机代数系统 把数学看作是对一堆事实的记忆→把数学看作是可以通过不同方式得到的一些相互关联的思想

12. 3. 典型例题是数学认知结构的重要成分 • 数学思维的特征之一：划归； • 平面几何中的基本图形分析法； • 样例学习（Learning by sample）

13. 化归 化归 变式2 推出 化归 变式1 推出 已知问题 推出 问题解决的变式化归 未知问题

14. 基本图形分析法 乌鲁木齐市第十三中学胡玉社

15. 样例学习 范例对问题解决的影响： 一是影响范例的选择。在已有的产生式不能解决当前的问题时，ACT-R会搜寻先前的解决类似问题的范例。显然，在这个过程中，当前的任务及先前范例的表征方式都会对选择哪个范例产生影响。 二是范例的理解深度会影响到由类比而形成的产生式。例如，在竖式减法中，8-3=5既可以理解为“上面的数字减去下面的数字”，也可以理解为“大的数字减去小的数字”。只有前者才能形成正确的产生式。 上述两个因素都说明了样例在教学中的重要性。Chi 等人（1989）的研究表明，一个好的学习者往往更关注样例，总是努力去理解样例。

16. 4. 同化和顺应是改变认知结构的基本途径 • 认知冲突被视为心理学中认知改变理论的一个关键部分，例如，认知冲突的历程实际上就是皮亚杰图式理论中的内在自我调节系统由不平衡达到平衡的历程。 • 专家通常都是在能力的边缘上工作（潜能开发） • 在教学中如何有效地运用认知冲突是一个需要研究的问题。 • 长作业的运用 • 子曰：不愤不启，不悱不发，举一隅不以三隅反，则不复也（论语）

17. 5. 保持概念理解、技能训练、问题解决之间的平衡 • 三个馒头的故事 • 数学解题属于知识丰富领域的问题解决（匈菲尔德的研究） • 美国加州的数学课程标准：这三个要素都重要，任何一个都不能缺少或者被小觑；然而，所谓的均衡并不是把时间平均分配给这三要素。有时，学生可能在某些作业或任务中专注于某一要素；其它时候则专注于两个或三个全部。

18. 6. 在较大的信息单元上工作 有利于提高工作记忆的效能； 大的信息单元的激活水平也比较高，容易产生联想； 国际象棋大师头脑中的5万张棋谱。

19. 提高工作记忆的效能 • 工作记忆（working memory）是一种对信息进行暂时性的加工和贮存的能量有限的记忆系统。大量研究表明，工作记忆对于语言理解、学习、推理、思维等认知任务的完成起关键作用。 • 在十分之一秒的时间内，大脑可接收一千个信息单元 • 工作记忆的容量有限，一般为7 ± 2个信息单元。为扩大短时记忆的容量，可采用组块的方法，即将小的记忆单位组合成大的单位来记忆，这时较大的记忆单位就叫做块。 • 工作记忆系统中的信息加工可分为三个环节： • 信息贮存（storage）过程，其中的信息一般很容易消退； • 信息维持或复述（rehearsal）过程，能重新激活贮存器中正在消退的信息，即不断地重复所贮存的信息； • 执行（executive)加工过程，负责工作记忆系统中信息的控制与协调。

20. 增加信息的激活水平 ACT-R理论：基本的信息加工步骤是触发（firing）一系列用于提取某些陈述性知识并解决问题的产生式规则。提取过程的成败与速度取决于被提取的信息块的激活水平和进行提取的产生式的强度，这影响到操作的流畅性。 三种记忆的生理过程理论： (1) 信息乃物理性地被纪录在神经元中。 (2) 信息以电子信号方式被传导与储存。 (3) 信息改变了神经元的结构。

21. 国际象棋大师

22. 7. 多向思考与变式教学 数学中的多元表征； 变式教学； 解题三部曲。

23. 多元表征

24. 标准变式 概念变式 概念性变式 非标准变式 非概念变式 精致练习 铺垫教学 过程性变式 解题三部曲 问题解决的变式化归 数学教学中的各种变式

25. 一法多用 将解法应用于多种情形 用多种方法解决同一个问题 一题多解 一题多变 通过改变条件或结论得到多种变式问题 变式三部曲 原始问题

26. 8. 精致练习 • ACT-R对教学的建议，那就是练习、练习、再练习。大量的研究都表明，高层次的能力只能通过高强度的练习。特别地，研究表明，学生花在数学上的时间与他们的数学能力有很高的相关性。 • 但是，并不是练习的次数越多越好，研究表明有一个临界值，应该在达到这个临界值时“见好就收” • Ericsson等人的研究表明，不同的练习的效果是不一样的，而只有所谓的“精致的练习”（deliberate practice）才能导致真正的学习。他们把“精致的练习”界定为具有良好的动机、接受有意义的反馈、及仔细的不断的指导与监督。

27. 9. 不同的任务需要/引发不同的认知活动 • 从目前国内外已有的研究结果来看，影响学生数学认知水平的教学因素主要有两个： • 学生所从事的数学任务，不同的数学任务需要不同的数学认知活动； • 针对高认知层次数学任务的教学策略。

28. 培养高层次数学认知能力的任务 发现并形成合适的数学问题：从各种情境中发现所包含的数学要素、关系或结构，提出合适的数学问题； 特殊化与一般化：全面结合已分解的各要素及其关系，按照模型需要对已有的数学概念、程序、性质和命题进行推广或特殊化； 解决非常规的和开放性的数学问题； 数学建模：分析出条件和结论间主要关系或重点步骤；形成假设或初步的数学模型； 严格的数学推理与证明。

29. 保持高认知水平的七个教学要素 ①给思维和推理搭“脚手架”； ②为学生提供元认知方法； ③示范高水平的操作行为； ④维持对证明、解释或意义的强调； ⑤任务建立在已有知识基础上； ⑥在概念间建立联系； ⑦适当的探索时间。 故君子之教喻也，道而弗牵，强而弗抑，开而弗达。道而弗牵则和，强而弗抑则易，开而弗达则思；和易以思，可谓善喻矣 ——（学记）

30. 四、几点建议 • 尽早确定研究问题； • 题目要小一点，实用一点； • 学会收集和分析相关文献（有条件的话，适当看一些英文文献）； • 掌握2-3个常用的研究方法，特别是实证研究的方法； • 充分利用身边的资源（校本课题，优秀教师等）； • 论文应注意规范性（如图表与参考文献）。

31. 谢 谢 ！