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第六章 弯曲变形

第六章 弯曲变形. §6 - 1 工程中的弯曲变形问题 §6 - 2 挠曲线的微分方程 §6 - 3 用积分法求弯曲变形 §6 - 4 用叠加法求弯曲变形 §6 - 5 简单静不定梁 §6 - 6 提高弯曲刚度一些措施. §6-1 工程中的弯曲变形问题. 吊车梁. B. A. v. q. x. q. x. B 1. v. —— ；. §6-2 挠曲线的微分方程. 一、挠度及转角的概念. 1 ．梁的 挠曲线 ( 弹性曲线 ). 轴线变形后所形成的光滑连续的曲线. 2 ．梁变形的度量.

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第六章 弯曲变形

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Presentation Transcript

  1. 第六章 弯曲变形 • §6-1 工程中的弯曲变形问题 • §6-2 挠曲线的微分方程 • §6-3 用积分法求弯曲变形 • §6-4 用叠加法求弯曲变形 • §6-5 简单静不定梁 • §6-6 提高弯曲刚度一些措施

  2. §6-1 工程中的弯曲变形问题 吊车梁

  3. B A v q x q x B1 v —— ； §6-2 挠曲线的微分方程 一、挠度及转角的概念 1．梁的挠曲线(弹性曲线) 轴线变形后所形成的光滑连续的曲线 2．梁变形的度量 梁横截面绕中性轴转动的角度， 符号：q ， 1)转角： 正负：逆时针转动为正，反之为负； 梁横截面形心的竖向位移， 符号：v， 2)挠度： 正负：向上为正，反之为负。 挠度随轴线变化的函数 3)挠曲线方程： 4)转角方程： 转角与挠度的关系(小变形下)：

  4. B A v q 与1相比可略去 小变形，挠曲线很平坦。 x q x B1 v 二、挠曲线近似微分方程 §6-2 挠曲线的微分方程 1．力学关系： 2．数学关系： 在图示坐标下： 挠曲线下凸： 3．挠曲线近似微分方程： 挠曲线上凸：

  5. §6-3 用积分法求变形 边界条件与连续条件 1．转角、挠曲线普遍方程 ——转角方程 ——挠曲线方程 式中C、D为积分常数，由梁位移边界条件与连续条件确定。

  6. F B A C §6-3 用积分法求变形 2．位移边界条件与连续条件 1)位移边界条件 固定端 固定铰与可动铰 挠曲线是光滑连续唯一的。 2)连续条件：

  7. vmax 例6-1 图示B端作用集中力F的悬臂梁，求其挠曲线方程。 F l MA=Fl A B qmax O x FAy=F B1 四、例题 解：1)如图建立坐标系 x处弯矩方程为 2)列挠曲线微分方程并积分两次 3)由固定端边界条件 决定积分常数 5)最大转角和挠度值 4)转角和挠曲线方程

  8. 例6-2 求图示简支梁受集中载荷F作用时 的挠曲线方程。 F a b x B C x1 A x2 FBy FAy l y §6-3 用积分法求变形 解：1)列弯矩方程 支反力： 如图建立坐标系： 2)分段列出挠曲线微分方程并积分

  9. F a b B C A qA qB £ £ £ £ AC ( 0 x a ) CB ( a x l ) 段 段 1 2 §6-3 用积分法求变形 4)讨论(假设a>b) 变形连续性 a)|q |最大值及位置： 连续性条件: 边界条件: 3)转角及挠曲线方程

  10. F a b x0 B C A qA qB fmax §6-3 用积分法求变形 b)|y|最大值及位置 ∴ 由变形连续性知挠度极值发生在AC段： 当集中力作用在中点时： 当F无限接近右支座的极端情况下： 可以用中点挠度近似代替fmax：

  11. §6-4 叠加法求梁的变形 一、求梁变形的叠加法 1．使用条件 在线弹性、小变形情况下，各载荷产生的物理量之间互相独立。 2．表述 在若干个载荷共同作用下，梁任意横截面上的总变形=各载荷单独作用时在该截面引起变形的代数和。 二、例题

  12. 例6-3 如图所示悬臂梁，其抗弯刚度EI为常数，求qB和yB。 q F B C A l/2 l/2 F qBF B A yBF q yCq B C yBq A qCq §6-4 叠加法求梁的变形 解：1)在F作用下 2)在q作用下 3)在q和F共同作用下

  13. 例6-4图示外伸梁，设其抗弯刚度EI为常数，求qC和yC。例6-4图示外伸梁，设其抗弯刚度EI为常数，求qC和yC。 q B C A l a qa 0.5qa2 B C A q C B §6-4 叠加法求梁的变形 解：1)沿截面B将梁分成AB、BC段： 2)AB段成为简支梁，受截面B上的剪 力与弯矩作用，剪力作用在支点， 不产生变形，弯矩产生的变形为： 3)BC段成为悬臂梁，在均布载荷 q作用下变形： 4)梁的总变形可以看成：悬臂梁BC的变 形加上简支梁AB引起BC的刚性转动： 5)本题也可以看成先后将AB、BC段 刚化后进行求解 ，即所谓的“逐 段刚化法”

  14. 例6－6 已知: q=10kN/m ，L=3m， 试设计截面。 q 解：(1) 按强度条件设计 h B 最大弯矩发生在A截面，A截面为危险截面 A L b 代入强度条件： 强度条件

  15. (2) 按刚度条件设计 刚度条件为 综合考虑强度和刚度条件，可取

  16. §6-5 简单超静定梁的解法 一、超静定梁的概念和解法 相对于平衡而言，不需要的约束。 1．多余约束： 超静定结构除去多余约束，代以相应约束反力所得到的静定结构。 2．静定基： 为与原超静定结构等效，静定基在除去多余约束处应满足的变形条件。 3．变形协调条件： 比较变形法 4．超静定梁的解法： 过程：判断超静定次数，除去多余约束，代以约束 反力形成静定基，利用变形协调条件求解约 束反力。

  17. 例6-7 求下图所示超静定梁的支座反力。 q B A l q MA B A FBy FAy q MA A B §6-5 简单静不定梁的解法 二、例题 解：1)判断超静定次数： 1次 2)取静定基： 除去B点垂直位移约束(可动铰支座)，代以约束反力FBy 3)变形协调条件 4)利用平衡条件求 其余反力 5)静定基的选取不是唯一的 变形协调条件：

  18. §6-6 提高梁强度和刚度的措施 提高梁强度的措施 1．弯曲正应力是控制梁强度的主要因素 2．提高梁强度的措施： 1)采用合理的截面形状，提高抗弯截面系数Wz； 2)采用等强度梁或变截面梁； 3)改善梁的受力条件，降低Mmax。

  19. 提高弯曲刚度的一些措施 所谓提高梁的刚度，即尽量降低梁的最大挠度和转角。梁的最大挠度和转角，除与荷载大小有关外，还与L成正比，与EIz成反比。因此，在不改变荷载的情况下，要减小梁的变形可采用以下两方面的措施。 a. 增大梁的抗弯刚度EIz 大部分钢材的E值是相近的，因此，增大梁的抗弯刚度，主要是增大Iz值。 将截面面积布置在距中性轴较远处，可在面积不变的情况下获得较大的Iz，这样不但能降低应力，还能减小位移。

  20. q q A B l A B l q A B l b. 减小L

  21. 轴线的曲率方程与梁的挠曲线微分方程； 积分法求梁变形的边界、连续条件及积分常数； 叠加法求梁特定截面的挠度和转角； 求解简单超静定梁。 小 结 一、本章重点

  22. 小 结 二、思考题 • 从强度和刚度两方面考察圆形截面截取矩形截面的高宽比(圆木锯方问题)？ • 从强度和刚度两方面阐述梁横截面的设计原则； • 提高梁强度和刚度的措施有哪些？ • 试讨论梁挠曲线微分方程与坐标关系。

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