§1-5 矩阵的 QR 分解 —— 一种正交变换

法一 G-S正交化方法 法二 Householder变换法三 Givens变换均可实现 [A]=[Q][R] 重点讲 §1-5 矩阵的QR分解 —— 一种正交变换第5节矩阵的 QR 分解 [A]为一般非奇异方阵思想：设称为[A]的QR分解若 [Q]——正交矩阵， [R]——上三角阵其中: 第一章实现[A]的QR分解的方法：基础知识

第5节矩阵的 QR 分解 重点要求掌握两种变换方法的思想： ①Householder变换 ②Givens变换这是两种常用的正交相似变换！第一章变换的目的使原矩阵简化，便于求特征解！基础知识

第5节矩阵的 QR 分解 一、用Householder变换实现QR分解下面介绍： 1、Householder变换（简称H变换）的定义和性质 “指定方向”上去 2、用H变换将“给定向量” （进行一次最基本的H变换） 3、用H变换将一般矩阵 [A]=[Q][R] 第一章（要通过n-1步最基本的H变换才能实现） 4、用H正交相似变换，把一般矩阵[A]约化为上Hessenherg阵基础知识

1、H变换矩阵的定义和性质 第5节矩阵的 QR 分解（可推广到复空间）定义：设称为Householder变换矩阵！其中：第一章基础知识模的平方！

第5节矩阵的 QR 分解 若引入规范化向量（单位向量）：即第一章基础知识则

性质： 第5节矩阵的 QR 分解（1）对称性：（2）正交性：即证：第一章基础知识证毕。注意：

*（3）镜面反射性：第5节矩阵的 QR 分解即：从何意义：H变换称为镜面反射变换。为直观起见，讨论 n=3的情形。设的单位向量； — 是三维空间 — 是与垂直的平面（即镜面）第一章则任何三维向量可分解为基础知识请看图示意：

S 第5节矩阵的 QR 分解 - 第一章基础知识

第5节矩阵的 QR 分解 其中：与垂直，在S平面中：即与平行，第一章可验证：基础知识

0 第5节矩阵的 QR 分解证：垂直！与因为 , 第一章证毕又从图可直观看出基础知识

又从图可直观看出 第5节矩阵的 QR 分解经H变换后的像即：向量是关于平面S的对称向量。因此，从几何角度，称H变换为镜面反射变换。 H矩阵也称为初等反射矩阵。第一章时，镜面S是一平面（二维）可以看出：基础知识时，镜面S是一超平面。

I *（4）向量模的保值性第5节矩阵的 QR 分解即变换前后二向量的模相等，只是方向改变！即模相等！第一章以上为H变换的定义以其性质。（重要！）基础知识实现H变换过程关键是要确定变换矩阵下面给出如何确定变换矩阵的思想。

如果我们给定了和 ，且满足第5节矩阵的 QR 分解（模相等）则可以找到，使要确定，就要确定向量方向。从几何图可见，显然应取在所以，单位向量第一章则基础知识下面讨论H变换的一种重要应用：用H变换将一个向量变换到指定方向。

将关键找 2、用一次H变换，将一向量变换到给定的方向上第5节矩阵的 QR 分解设方向上 ——垂直于镜面S 变换阵：第一章使是的像！基础知识变换后的模

根据H变换模的保值性质，则 第5节矩阵的 QR 分解由镜面反射性质图可见则 S 第一章下面验证，这样取是否达到基础知识

证：第5节矩阵的 QR 分解第一章基础知识因为

即第5节矩阵的 QR 分解，第一章基础知识即证毕。

H变换基本公式 第5节矩阵的 QR 分解结论：取则变换第一章即方向上，并保持模不变！基础知识变换到

注意： 第5节矩阵的 QR 分解不致于在计算时失去有效实际计算时，为了使数字（即：当两数接近时，避免相近的两数相减时，不吃掉有效数字），取符号函数表示：当为正时，当为负时，第一章即取基础知识

第5节矩阵的 QR 分解 取第一章基础知识下面举一例。

举例 H变换将第5节矩阵的 QR 分解求解：第一章基础知识

第5节矩阵的 QR 分解 可以验证：第一章显然有：基础知识下面再请大家做1个作业：

第5节矩阵的 QR 分解 作业: 对任意，试确定使得镜像变换矩阵把变换为：第一章基础知识请写出具体的变换公式。

第5节矩阵的 QR 分解 答案：，第一章基础知识

使[A] 即形成[P]—正交矩阵第5节矩阵的 QR 分解 3、用Householder变换来实现一般实矩阵[A]的QR分解基本思想：，[A]为一般实矩阵，满阵。对[A]做一系列的H变换（n-1次）上三角阵第一章基础知识即：

（正交矩阵乘积仍为正交矩阵） 其中第5节矩阵的 QR 分解或正交阵[P]：具体实现过程：（1）消去[A]的第一列对角元下方元素。即第一章记基础知识指定方向

第5节矩阵的 QR 分解 ，它的第一列向量记：记则变换矩阵其中第一章则有基础知识

第5节矩阵的 QR 分解 于是的作用下成为在H变换矩阵（2）一般地，经过步H变换后，有第一章基础知识

第5节矩阵的 QR 分解 其中： — 阶上三角方阵； — 阶矩阵 — 阶方阵第一章基础知识

第5节矩阵的 QR 分解 的第一列为 (3）记构造H变换矩阵即第一章基础知识

第5节矩阵的 QR 分解 则第一章阶方阵！基础知识

第5节矩阵的 QR 分解 为了获得则把扩充为 n维 n-j+1 维 j-1 则n 阶变换矩阵第一章基础知识阶方阵！

第5节矩阵的 QR 分解 ③第j步H变换: 第一章基础知识

第5节矩阵的 QR 分解 阶上三角阵阶矩阵阶方阵第一章 ④如此进行n-1步H变换后可得：基础知识

第5节矩阵的 QR 分解 这样就化成为上三角阵。 ⑤用统一式子表示上述n-1步H变换，即第一章基础知识

n-1个正交矩阵乘积 H变换性质！第5节矩阵的 QR 分解令即第一章两边左乘基础知识

第5节矩阵的 QR 分解 令则这就是实矩阵[A]的QR分解！综上所述：分解为一通过n-1步H变换，可把个正交矩阵[Q]和一个上三角阵[R]的乘积，这就是矩阵的QR分解过程（即n-1次H变换过程）。第一章实践证明：基础知识用H变换实现QR分解比G-S正交化方法更节约计算量，且数值稳定性好！

第5节矩阵的 QR 分解 二、用H正交相似变换把实矩阵约化为上 Hessenberg矩阵或三对角阵基本思想：第一章上Hessenberg矩阵对称三对角阵基础知识

1、基本约化公式： 记第5节矩阵的 QR 分解，第一章基础知识

× × × × × × 第5节矩阵的 QR 分解 2、以为例，对约化过程图示说明：第①次结果：第一章基础知识

× × × × × × × × × × × × × × × 第5节矩阵的 QR 分解第②次结果：第③次结果：第一章基础知识

——表示变换中不变的元素。 ——若[A]对称时为对称元素。图中 × 第5节矩阵的 QR 分解即：经过5-2=3次H变换，使上三角阵 3、具体变换过程（或约化过程）第①步：记第一章将写成分块基础知识

第5节矩阵的 QR 分解 这里：第一章基础知识

第5节矩阵的 QR 分解 ①步结果得到第一章基础知识

第5节矩阵的 QR 分解 第②步：不变了，再选择使第一章 ②步结果得到基础知识

行行第5节矩阵的 QR 分解第（k-1）步结果是得到第一章第K步变换：基础知识得

第5节矩阵的 QR 分解 第一章基础知识

第5节矩阵的 QR 分解 可见：的左上角阶上Hessenberg阵，而左下角又多了一列零元素。如此进行下去，经过n-2次H相似变换，就可以使第一章化为完全上Hessenberg阵形式。基础知识

即第5节矩阵的 QR 分解上Hessenberg阵形式若记正交矩阵第一章仍为正交矩阵基础知识正交相似变换！

若[A]是对称阵，由于正交相似变换 不改变[A]的对称性，第5节矩阵的 QR 分解则都是对称阵！所以其中： ——k阶对称三对角阵 ——（n-k）阶对称阵第一章所以[A]经过n-2次变换最终变换结果将得到一个对称三角阵。基础知识

§1-5 矩阵的 QR 分解 —— 一种正交变换

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