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7.2 分式线性变换

7.2 分式线性变换. 7.2.1 分式线性变换及其分解 7.2.2 分式线性变换的映射性质 1. 分式线性变换的保形性 2. 分式线性变换的保交比性 3. 分式线性变换的保圆周性 4. 分式线性变换的保对称性 7.2.3 分式线性变换的应用. 7.2.1 分式线性变换及其分解. 1. 定 义. (7.3). 称变换. 为 分式线性变换 . 简记为 w = L ( z ). ① 条件 ad-bc  0 是必要的。因若 ad-bc= 0, 则. 说明. ② 对 w = L ( z ) 作如下的补充定义：. c 0 时. c = 0 时.

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7.2 分式线性变换

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  1. 7.2分式线性变换 7.2.1 分式线性变换及其分解 7.2.2 分式线性变换的映射性质 1. 分式线性变换的保形性 2. 分式线性变换的保交比性 3.分式线性变换的保圆周性 4.分式线性变换的保对称性 7.2.3分式线性变换的应用

  2. 7.2.1 分式线性变换及其分解 1.定 义 (7.3) 称变换 为分式线性变换.简记为w=L(z). ①条件ad-bc0是必要的。因若ad-bc=0,则 说明 ②对w=L(z)作如下的补充定义： c0时 c=0时 ③ 约定：w=L(z)的定义域为C：

  3. 由 复合而成 ①w=L(z)将CC 结论 (7.4) ②w=L(z)的逆变换为 ③ w=L(z)在扩充z平面上是保域的 2. 分式线性变换 w=L(z)的分解 结论：分式线性变换 w=L(z)可以分解为如下简单变换的复合 旋转变换 伸缩变换 平移变换 整线性变换

  4. 关于单位圆周的对称变换 关于实轴的对称变换 反演变换 定义7.3 二曲线在无穷远点处的交角为a, 就是它们在反演变换下的象曲线在原点处交 角为a.(形如w=1/z的变换称为反演变换.) 定理7.7 线性变换(7.3)在扩充z平面上是 保形的.

  5. 定义7.4 扩充平面上顺序的四个相异点 z1,z2,z3,z4构成下面的量,称为它们的交比,记 为(z1,z2,z3,z4): 当四点中有一点为∞时,应将包含此点的项用1 代替.例如z1= ∞时,即有 亦即先视z1为有限,再令 取极限而得.

  6. 定理7.8 在线性变换下,四点的交比不变. 证 设 则 因此 (7.9)

  7. 定理7.9 设线性变换将扩充z平面上三 个相异点z1,z2,z3指定为w1,w2,w3,则此线性 比就被唯一确定,并且可以写成 (7.10) (即三对对应点唯一确定一个线性变换). 定理7.10 线性变换将平面上的圆周(直线) 变成圆周或直线. 注:在扩充平面上,直线可视为经过无穷远 点的圆周.事实上(7.11)可改写为 欲其经过∞,必须且只须A=0.因此可以说:在线

  8. 性变换(7.3)下,扩充z平面上的圆周变为扩 充w平面上的圆周,同时,圆被保形变换成圆. (这就是线性变换的保圆周(圆)性.) 定义7.5 z1,z2关于圆周 对称 是指z1,z2都在过圆心a的同一条射线上,且合 此外,还规定圆心a与点∞关于 为对称的。 (7.6)’ ( z1,z2关于圆周 对称,必须且 只须 (7.6)’ )

  9. 定理7.11 扩充z平面上两点z1,z2关于 圆周 对称的充要条件是,通过z1,z2的任意 圆周都与 正交. 定理7.12 设扩充z平面上两点z1,z2关于 圆周 对称,w=L(z)为一线性变换,则w1=L(z1) w2=L(z2)两点关于圆周 对称. 证 设 是扩充z平面上经过w1,w2的任意 圆周.此时,必然存在一个圆周 ,它经过z1,z2, 并使 ,因为z1,z2关于 对称,故由定理 7.11, 与 亦正交.这样,再由定理7.11即知 w1,w2关于 对称.

  10. 定理7.13 (黎曼存在与唯一性定理)扩充 z平面上的单连通区域D,其边界点不止一点, 则有一个在D内的单叶解析函数w=f(z),它将D 保形变换成单位圆|w|<1;且当合条件 f(a)=0,f’(a)>0 (a∈D) (7.19) 时,这种函数f(z)就只有一个. 注 (1)唯一性条件(7.19)的几何意义是:指定 a∈D变成单位圆的圆心,而在点a的旋转角 它依赖于三个实参数. (2)在将单连通区域D变成单连通区域G 的一般情形,唯一条件可表成f(z)=b, 其中a∈D,b∈G,而a为实参数.

  11. 定理7.14(边界对应定理) 设 (1)单连通区域D与G的边界分别为C和T; (2)w=f(z)将D保形变换成G; 则f(z)可以扩张成F(z),使在D内F(z)=f(z),在 上F(z)连续,并将C双方单值且双方 连续地变成T. 定理7.15(边界对应定理的逆定理,判断解析 函数单叶性的充分条件). 设单连通区域D及G,分别是两条围线C及T 的内部.且函数w=f(z)满足下列条件: (1)w=f(z)在区域D内解析,在D+C上连续, (2)w=f(z)将C双方单值地变成T.

  12. 则 (1)w=f(z)在D内单叶; (2)G=f(D)(从而w=f(z)将D保形变换成G). 证 证明的关键,在应用辅角原理来证明集合 等式G=f(D). (1) 设w0为G内任一点.我们证明w0∈f(D), 而且方程f(z)-w0=0在C内部只有一个根.根据 辅角原理 (在z沿C的正方向绕行一周的假定下).有假设 条件(2),这时w=f(z)应沿T的正向或负向绕行 一周.因此,起点在w0终点在T上的向量w-w0应 该转角 .于是

  13. 负号显示应该除去(因为N≥0).因此我们肯定 w=f(z)必须沿T的正向(T的内部在此方向的左 边)饶行,并且方程f(z)-w0=0在区域D内只有一 个根. (2)设w0位于T的外部,则必 .因为 即方程f(z)-w0=0在D内无根. (3)设w1为T上任意一点,我们来证明方程 f(z)=w1在D内无根.假定D内有一点z1使f(z1)=w1, 则可得一个以w1为中心的圆周 ,使对 内部 任意一点w’,方程f(z)=w’在D内部取一点w’位于

  14. T的外部,由(2)段证明,方程f(z)=w’在D内无根, 发生矛盾. 由以上结果,可见函数w=f(z)在D内单叶, 并将D保形变换为T的内部G.

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