推杆的运动规律

1. 第五章 凸轮机构及其设计 5.4 5.2 5.1 5.3 凸轮机构的应用和分类 推杆的运动规律 凸轮轮廓曲线的设计 凸轮机构基本尺寸的确定

2. §5－1 凸轮机构的应用和分类 结构特点：三个构件、盘（柱）状曲线轮廓、从动件呈杆状。 作用：将凸轮的连续回转转变为从动件直线移动或摆动。 优点：可精确实现任意运动规律，简单紧凑。 R字机构 缺点：高副，线接触，易磨损，传力不大。 应用：内燃机 、牙膏生产等自动线、补鞋机、配钥匙机等。 分类： 1)按凸轮形状分：盘形、 移动、圆柱凸轮 (端面) 。 2)按推杆形状分：尖顶、 滚子、平底从动件。 特点：尖顶－－构造简单、易磨损、用于仪表机构； 滚子――磨损小，应用广； 平底――受力好、润滑好，用于高速传动。 3).按推杆运动分：直动(对心、偏置)、 摆动 4).按保持接触方式分：力封闭（重力、弹簧等） 几何形状封闭(凹槽、等宽、等径、主回凸轮)

3. 刀架 o 2 1 机床进给机构 几何形状封闭 内燃机气门机构 靠弹簧力封闭

4. W r1 r2 等宽凸轮 凹槽凸轮 等径凸轮 主回凸轮 r1+r2 =const

5. s B’ h t A o δ δ02 δ0 δ01 δ’0 δ02 D r0 δ0 ω δ’0 δ01 B C §5－2 推杆的运动规律 凸轮机构设计的基本任务是根据工作要求选定凸轮机构的形式、推杆运动规律、合理确定结构尺寸、设计轮廓曲线。而根据工作要求选定推杆运动规律，是设计凸轮轮廓曲线的前提。 一、推杆的常用运动规律 名词术语： 基圆、 基圆半径、 推程、 推程运动角、 远休止角、 回程、 回程运动角、 近休止角、 行程。一个循环 运动规律：推杆在推程或回程时，其位移S、速度V、和加速度a 随时间t 的变化规律。 S=S(t) V=V(t) a=a(t) 分类：多项式、三角函数。

6. s h δ0 δ v δ a +∞ δ －∞ 1.多项式运动规律 一般表达式：s=C0+ C1δ+ C2δ2+…+Cnδn (1) 求一阶导数得速度方程：v=ds/dt = C1ω+ 2C2ωδ+…+nCnωδn-1 • 求二阶导数得加速度方程： • a =dv/dt =2 C2ω2+ 6C3ω2δ…+n(n-1)Cnω2δn-2 其中：δ－凸轮转角，dδ/dt=ω－凸轮角速度, Ci－待定系数。 边界条件： 凸轮转过推程运动角δ0－从动件上升h 凸轮转过回程运动角δ’0－从动件下降h a)一次多项式（等速运动）运动规律 在推程起始点：δ=0， s=0 在推程终止点：δ=δ0，s=h 代入得：C0＝0， C1＝h/δ0 推程运动方程： s＝hδ/δ0 v＝hω/δ0 a=0 刚性冲击

7. s h/2 h/2 3 1 2 3 4 5 6 δ δ0 v 2hω/δ0 δ a 4hω2/δ02 δ 同理得回程运动方程：s＝h(1-δ/δ’ 0 ) v＝-hω/δ’0 a＝0 b)二次多项式（等加等减速）运动规律 位移曲线为一抛物线。加、减速各占一半。 推程加速上升段边界条件： 起始点：δ=0， s=0，v＝0 中间点：δ=δ0/2，s=h/2 求得：C0＝0， C1＝0，C2＝2h/δ02 加速段推程运动方程为： s ＝2hδ2/δ02 v ＝4hωδ/δ02 a ＝4hω2/δ02 推程减速上升段边界条件： 中间点：δ=δ0/2，s=h/2 终止点：δ=δ0， s=h，v＝0 求得：C0＝－h， C1＝4h/δ0，C2＝-2h/δ02 减速段推程运动方程为： s ＝h-2h(δ-δ0)2/δ02 v ＝-4hω(δ-δ0)/δ02 柔性冲击 50分 a ＝-4hω2/δ02

8. h δ δ0 c)五次多项式运动规律 s =C0+ C1δ+ C2δ2+ C3δ3+ C4δ4+C5δ5 v =ds/dt = C1ω+ 2C2ωδ+ 3C3ωδ2+ 4C4ωδ3+ 5C5ωδ4 a =dv/dt = 2C2ω2+ 6C3ω2δ+12C4ω2δ2+20C5ω2δ3 边界条件： 起始点：δ=0，s=0，v＝0，a＝0 s v 终止点：δ=δ0，s=h,v＝0，a＝0 求得：C0＝C1＝C2＝0, C3＝10h/δ03 , C4＝15h/δ04 , C5＝6h/δ05 a 位移方程： s=10h(δ/δ0)3－15h (δ/δ0)4+6h (δ/δ0)5 无冲击，适用于高速凸轮。

9. s 6 5 4 h 3 2 δ 1 1 2 3 4 5 6 δ0 Vmax=1.57hω/δ0 v δ a δ 2.三角函数运动规律 a)余弦加速度（简谐）运动规律 推程： s＝h[1-cos(πδ/δ0)]/2 v=πhωsin(πδ/δ0)δ/2δ0 a=π2hω2 cos(πδ/δ0)/2δ02 回程： s＝h[1＋cos(πδ/δ0’)]/2 v=-πhωsin(πδ/δ0’)δ/2δ0’ a=-π2hω2 cos(πδ/δ0’)/2δ’02 在起始和终止处理论上a为有限值，产生柔性冲击。

10. s h r=h/2π δ 1 2 3 4 5 6 δ0 θ=2πδ/δ0 v vmax=2hω/δ0 δ a amax=6.28hω2/δ02 δ b)正弦加速度（摆线）运动规律 推程： s＝h[δ/δ0-sin(2πδ/δ0)/2π] v=hω[1-cos(2πδ/δ0)]/δ0 a=2πhω2 sin(2πδ/δ0)/δ02 回程： s＝h[1-δ/δ0’ +sin(2πδ/δ0’)/2π] v=hω[cos(2πδ/δ0’)-1]/δ0’ a=-2πhω2 sin(2πδ/δ0’)/δ’02 无冲击，但amax较大。

11. s s h h δ δ o o δ0 δ0 v v δ δ o o a a +∞ δ δ o o -∞ c)改进型运动规律 将几种运动规律组合，以改善运动特性。 二、选择运动规律 选择原则： 1.机器的工作过程只要求凸轮转过一角度δ0时，推杆完成一行程h（直动推杆）或φ（摆动推杆），对运动规律并无严格要求。则应选择直线或圆弧等易加工曲线作为凸轮的轮廓曲线。如夹紧凸轮。 2.机器的工作过程对推杆运动有要求，则应严格按工作要求的运动规律来设计凸轮廓线。如刀架进给凸轮。 正弦改进等速 3.对高速凸轮，要求有较好的动力特性，除了避免出现刚性或柔性冲击外，还应当考虑Vmax和 amax。

13. 从动件常用运动规律特性比较 运动规律Vmaxamax冲击 推荐应用范围 (hω/δ0)×(hω/δ02)× 等 速 1.0 ∞刚性 低速轻载 高速重载凸轮要选Vmax和amax比较小的理由： 若机构突然被卡住，则冲击力将很大 ①Vmax↑ →动量mv↑, （F=mv/t）。 对重载凸轮，则适合选用Vmax较小的运动规律。 ②amax↑ →惯性力F=-ma↑ , Pn↑ 对强度和耐磨性要求↑。 对高速凸轮，希望amax愈小愈好。 等加等减速 2.0 4.0柔性 中速轻载 五次多项式 1.88 5.77无 高速中载 余弦加速度 1.57 4.93柔性 中速中载 正弦加速度 2.0 6.28无 高速轻载 改进正弦加速度 1.76 5.53无 高速重载100分钟

14. §5－3 凸轮轮廓曲线的设计 1.凸轮廓线设计方法的基本原理 2.用作图法设计凸轮廓线 1)对心直动尖顶推杆盘形凸轮 2)对心直动滚子推杆盘形凸轮 3)对心直动平底推杆盘形凸轮 4)偏置直动尖顶推杆盘形凸轮 5)摆动尖顶推杆盘形凸轮机构 6)直动推杆圆柱凸轮机构 7)摆动推杆圆柱凸轮机构 3.用解析法设计凸轮的轮廓曲线

15. -ω ω §5－3 凸轮轮廓曲线的设计 1.凸轮廓线设计方法的基本原理 反转原理： 给整个凸轮机构施以-ω时，不影响各构件之间的相对运动，此时，凸轮将静止，而从动件尖顶复合运动的轨迹即凸轮的轮廓曲线。 依据此原理可以用几何作图的方法 设计凸轮的轮廓曲线，例如： 尖顶凸轮绘制动画 滚子凸轮绘制动画 2.用作图法设计凸轮廓线

16. -ω 1’ 2’ 3’ 1 ω 2 4’ 9’ 8’ 3 7’ 11’ 4 5’ 5’ r0 90° 12’ 120° 5 3’ 13’ 6 6’ 1’ 14 14’ 60° 14’ 90° 7 13 9 1 7 13 15 8 3 11 5 8 13’ 12 7’ 11 120° 90° 90° 10 60° 9 12’ 8’ 11’ 10’ 9’ s δ 1)对心直动尖顶推杆盘形凸轮 对心直动尖顶推杆凸轮机构中，已知凸轮的基圆半径r0，角速度ω和推杆的运动规律，设计该凸轮轮廓曲线。 A 设计步骤小结： ①选比例尺μl作基圆r0。 ②反向等分各运动角。原则是：陡密缓疏。 ③确定反转后，从动件尖顶在各等份点的位置。 ④将各尖顶点连接成一条光滑曲线。

17. -ω A 1’ 2’ 3’ 1 ω 2 9’ 8’ 4’ 3 7’ 11’ 4 5’ 5’ 90° 12’ 120° r0 5 3’ 13’ 6 1’ 6’ 14 14’ 60° 14’ 90° 7 13 9 1 7 13 15 8 3 11 5 8 12 13’ 7’ 11 120° 90° 90° 10 60° 9 12’ 8’ 设计步骤： 11’ ①选比例尺μl作基圆r0。 10’ 9’ ②反向等分各运动角。原则是：陡密缓疏。 s ③确定反转后，从动件滚子中心在各等份点的位置。 ④将各中心点连接成一条光滑曲线。 δ 2)对心直动滚子推杆盘形凸轮 对心直动滚子推杆凸轮机构中，已知凸轮的基圆半径r0，角速度ω和推杆的运动规律，设计该凸轮轮廓曲线。 理论轮廓 实际轮廓 ⑤作各位置滚子圆的内(外)包络线(中心轨迹的等距曲线)。

18. 1’ 2’ 3’ 1 2 4’ 3 4 5’ 9’ 8’ 5 7’ 11’ 6’ 5’ 6 12’ 15 3’ 7 14’ 13’ 1’ 14 7’ 8 14’ 13 13’ 9 1 7 13 15 8 3 11 5 12 8’ 11 10 9 12’ 120° 90° 90° 60° 11’ 设计步骤： 10’ 9’ ①选比例尺μl作基圆r0。 ②反向等分各运动角。原则是：陡密缓疏。 s ③确定反转后，从动件平底直线在各等份点的位置。 δ 3)对心直动平底推杆盘形凸轮 对心直动平底推杆凸轮机构中，已知凸轮的基圆半径r0，角速度ω和推杆的运动规律，设计该凸轮轮廓曲线。 ④作平底直线族的内包络线。

19. 4)偏置直动尖顶推杆盘形凸轮 e -ω ω A 9’ 8’ 7’ 11’ 5’ 12’ 3’ 13’ O 1’ 14’ 1’ 2’ 1 9 1 7 13 15 8 3 11 5 3’ 15’ 2 15 k15 k14 k13 120° 90° 90° 60° 4’ 14’ k12 14 3 k11 k10 13 4 5’ k1 13’ k9 12 k2 5 k3 11 6’ k8 k4 6 k7 k5 12’ 10 k6 9 7 7’ 8 s 11’ 8’ 10’ 9’ δ 偏置直动尖顶推杆凸轮机构中，已知凸轮的基圆半径r0，角速度ω和推杆的运动规律和偏心距e，设计该凸轮轮廓曲线。

20. 5)摆动尖顶推杆盘形凸轮机构 A -ω A1 φ1 l d B’2 φ2 A2 B’1 B’3 B1 B2 B B3 B’4 φ3 ω 120° r0 120° B4 90° 90° 60° A8 A3 90 ° 60 ° φ4 B5 B8 B7 B6 B’5 B’7 A7 φ7 A4 5’ 4’ φ B’6 6’ 3’ 2’ 1’ 7’ φ6 φ5 A6 8’ δ 2 8 3 4 6 7 1 5 A5 摆动尖顶推杆凸轮机构中，已知凸轮的基圆半径r0，角速度ω，摆动推杆长度l以及摆杆回转中心与凸轮回转中心的距离d，摆杆角位移方程，设计该凸轮轮廓曲线。

21. ω －V v v B 2πR V=ωR R 6)直动推杆圆柱凸轮机构 思路：将圆柱外表面展开，得一长度为2πR的平面移动凸轮机构， 其移动速度为V=ωR，以－V反向移动平面凸轮，相对运动不变， 滚子反向移动后其中心点的轨迹即为理论轮廓，其内外包络线为实际轮廓。

22. s 4’ 3’ 5’ 6’ 2’ 7’ 1’ δ ω 8 1 6 7 2 3 4 5 －V v s 1 2 3 4 5 6 7 8 2πR V=ωR R 6)直动推杆圆柱凸轮机构 已知：圆柱凸轮的半径R，从动件的运动规律，设计该圆柱凸轮机构。 4’ 3’ 5’ 6’ 2’ 7’ 1’ β' β β"

23. φ δ 6 8 4 0 7 0 1 2 5 9 3 ω 2rr 2πR -V 2πR 4” 5” 6” 4’,5’,6’ 7’ φ φ 3’ A6 A 8’ 2’ A2 A9 A7 A0 A1 A5 A8 A0 A3 A4 1’ 9’ 0” 0’ 0” R V=ωR 7)摆动推杆圆柱凸轮机构 已知：圆柱凸轮的半径R，滚子 半径rr从动件的运动规律，设计该凸轮机构。 7” A 中线 3” 8” 2” 9” 1” 50分钟

24. 3.用解析法设计凸轮的轮廓曲线 y -ω e δ B0 n rr x s0 θ r0 y (1) x δ s n δ e s0 ω (x’,y’) n θ rr 可得： sinθ= ( dx/dδ) / ( dx/dδ)2+( dy/dδ)2 (x, y) cosθ= -( dy/dδ) / ( dx/dδ)2+( dy/dδ)2 θ (x’,y’) n 原理：反转法。 设计结果：轮廓的参数方程。 3.1 偏置直动滚子推杆盘形凸轮机构 由图可知：s0＝(r02-e2)1/2 r0 + ecosδ x= (s0+s)sinδ - esinδ (s0+s)cosδ y= 实际轮廓线－为理论轮廓的等距线。 曲线任意点切线与法线斜率互为负倒数： =sinθ/cosθ tgθ= -dx/dy =(dx/dδ)/(- dy/dδ) (1)求导得：dx/dδ＝(ds/dδ- e)sinδ+(s0+s)cosδ dy/dδ＝(ds/dδ- e)cosδ-(s0+s)sinδ 实际轮廓为B’点的坐标： x’= y’= x - rrcosθ y - rrsinθ 式中“－”对应于内等距线，“＋”对应于外等距线。

25. y -ω δ B0 v s0 r0 B ω O x (x, y) δ δ P ds/dδ s s0 3.2 对心直动平底推杆盘形凸轮 建立坐标系如图：反转δ后，推杆移动距离为S， P点为相对瞬心， 推杆移动速度为： v=vp=OPω OP= v/ω =(ds/dt)/(dδ/dt) = ds/dδ x= (r0+s)sinδ +(ds/dδ)cosδ y= (r0+s)cosδ －ds/dδ)sinδ 100分钟

26. l sin (δ+φ+φ0 ) y δ -ω A0 φ0 l A φ x B B0 φ0 • 对应点B’的坐标为： • x’=x rrcosθ • y’=yrrsinθ δ acosδ y r0 a x ω O asinδ 3.3 摆动滚子推杆盘形凸轮机构 理论廓线方程： x= asinδ－l sin (δ+φ+φ0 ) y= acosδ－l cos (δ+φ+φ0 ) 式中：a－中心距， l－摆杆长度 实际轮廓方程的求法同前。

27. §5－4 凸轮机构基本尺寸的确定 上述设计廓线时的凸轮结构参数r0、e、rr等，是预先给定的。 实际上，这些参数也是根据机构的受力情况是否良好、动作 是否灵活、尺寸是否紧凑等因素由设计者确定的。 1.凸轮机构的压力角 2.凸轮基圆半径的确定 3.滚子半径的确定 4.平底尺寸l的确定

28. Q R2 φ2 d l v R1 φ2 b n Q t P= B cos(α+φ1 )－(1+2b/l) sin(α+φ1)tgφ2 P t α φ1 ω n 1.凸轮机构的压力角 正压力方向与推杆上B点速度方向之间的夹角α 受力图中，由∑Fx=0，∑Fy=0，∑MB=0有： -Psin(α+φ1)+(R1－R2 )cosφ2=0 －Q+Pcos(α+φ1)－ (R1+R2 )sinφ2=0 R2cosφ2 (l+b)－R1cosφ2b=0 由以上三式消去R1、R2得： α↑ 若α大到使分母趋于0， →P↑， →分母↓ 机构发生自锁。 则P→∞,

29. v n ω O r0 n 称αc=arctg[1/(1+2b/l)tgφ2]- φ1 为临界压力角 。 增大导轨长度l或减小悬臂尺寸b可提高αc 工程上要求：αmax≤[α] 直动推杆：[α]＝30° 摆动推杆：[α]＝35°～45° 回程：[α]’＝70°～80° 提问：平底推杆α＝？ 0

30. n v B s D α v ω s0 O C P r0 e n 2.凸轮基圆半径的确定 运动规律确定之后，凸轮机构的压力角α与基圆半径r0直接相关。 P点为相对瞬心： OP= v/ω = [ds/dt] / [dδ/dt] =[ds/dδ] 由△BCP得: tgα=(OP-e)/BC =(ds/dδ-e)/ [(r02-e2)1/2+s] 对心布置有：tgα=ds/dδ/ [(r0+s] 于是有： 设计时要求： α≤[α] ds/dδ 提问：在设计一对心凸轮机构设计时，当出现α≥[α]的情况，在不改变运动规律的前提下，可采取哪些措施来进行改进？ 1)加大基圆半径r0 2)将对心改为偏置， 3)采用平底从动件。 确定上述极值r0min不方便，工程上常根据诺模图来确定r0 见P231

31. 凸轮转角δ0 凸轮转角δ0 h/r0 等速运动 h/r0 正弦加速度运动 h/r0 余弦加速度运动 h/r0 等加等减速运动 αmax αmax 诺模图 应用实例：一对心直动滚子推杆盘形凸轮机构，δ0＝45º，h=13 mm, 推杆以正弦加速度运动，要求αmax≦30º，试确定凸轮的基圆半径r0。 作图得：h/r0＝0.26 r0＝≧50 mm

32. 内凹 rr ρ ρa rr ρ ρa ρ 轮廓失真 ρ rr rr 3.滚子半径的确定 ρa－工作轮廓的曲率半径，ρ－理论轮廓的曲率半径， rr－滚子半径 外凸 轮廓正常 轮廓正常 ρ> rr ρa＝ρ＋rr ρa＝ρ－rr 轮廓变尖 ρ＝rr ρ<rr ρa＝ρ－rr<0 ρa＝ρ－rr＝0 对于外凸轮廓，要保证正常工作，应使：ρmin> rr

33. 曲线之曲率半径：ρ＝( x2+y2)3/2/( xy-yx ) 式中：x=dx/dδ,y=dy/dδ, x=d2x/dδ2, y=d2y/dδ2 可用求极值的方法求得ρmin, 常采用上机编程求得ρmin 工程上要求ρa≥1～5, 当不满足时，应增大r0或减小rr。

34. 1’ 2’ 3’ 1 2 4’ 3 4 5’ 5 6’ 6 15 7 14’ 14 7’ 8 13 13’ 12 8’ 11 10 9 12’ 11’ 10’ 9’ lmax 4.平底尺寸l的确定 a) 作图法确定： l=2lmax+(5~7)mm

35. y δ -ω B0 v C r0 x O B v ω s ds/dδ s0 P r0 r0 O b) 计算法确定： v= OP ·ω P点为相对瞬心，有： = v/ω BC =OP = [ds/dt] / [dδ/dt] =[ds/dδ] lmax =[ds/dδ] max l=2 [ds/dδ]max+(5~7) mm 对平底推杆凸轮机构，也有失真现象。 可通过增大r0解决此问题。

36. 小结：在进行凸轮廓线设计之前，需要先确定r0,而在定r0时，应考虑结构条件（不能太小）、压力角、工作轮廓是否失真等因素。在条件允许时，应取较大的导轨长度L和较小的悬臂尺寸b。对滚子推杆，应恰当选取rr，对平底推杆，应确定合适的平底长度l。还要满足强度和工艺性要求。 ③凸轮压力角α与基圆半径r0的关系； ④掌握用图解法设计凸轮轮廓曲线的步骤与方法； ⑤掌握解析法在凸轮轮廓设计中的应用。

37. 本章重点 1.从动件运动规律、特性及作图法； 2.理论轮廓与实际轮廓的关系； 3.凸轮压力角与基圆半径的关系； 4.掌握用图解法设计凸轮轮廓曲线的方法； 5.掌握解析法在凸轮轮廓设计中的应用。

38. 本 章 结 束