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《 近世代数 》 精品课程. 第三章 环与域. § 3 . 1. 目的与要求 : ◆ 掌握环的概念及相关例子 . ◆ 掌握几种特殊环的概念以及之间的联系. 《 近世代数 》 精品课程. §3 .1 环的定义. 预备知识：. 加群： 设 G 为一个交换群 , 若将 G 中的运算称为加法 , 则称 G 为一个加群 ,G 中的运算用” +” 来表示. 注意 : 1 加群 G 中的单位元称为零元，记为 0;G 中元 素 a 的逆元称为 a 的负元（简称负 a ） , 记为－ a. 2 加群 G 中的一些符号和运算规则也将随之发生改变.
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《近世代数》精品课程 第三章 环与域 § 3.1 目的与要求: ◆掌握环的概念及相关例子. ◆掌握几种特殊环的概念以及之间的联系.
《近世代数》精品课程 §3.1 环的定义 预备知识： 加群：设G为一个交换群,若将G中的运算称为加法,则称G为一个加群,G中的运算用”+”来表示. 注意: 1加群G中的单位元称为零元，记为0;G中元 素a的逆元称为a的负元（简称负a）,记为－a. 2加群G中的一些符号和运算规则也将随之发生改变. 3 设S加群G的一个非空子集, 则S为G一个子群
《近世代数》精品课程 定义3.1.1 设R为一个非空集合,R中带有两个运算: 加法(记为”+”)和乘法(记为”.”). 假如满足 1. R关于加法是一个加群；2. R关于乘法是一个半群；3. 两个分配律: 左分配律: 右分配律: 则称R是一个结合环，简称R是一个环, 记 (R,+,.,0)是 一个环. (1)由于环R关于加法是一个加群，故R中一定有零元0，即 R，且对 注: (2)乘法a b通常简写成ab. (3)环中的运算顺序为：有括号先算括号，无括号的先算乘法后算加法．
《近世代数》精品课程 例 1R＝{0,a ,b ,c }. 加法和乘法由以下两个表给定： 则R对于上述两种运算构成一个环． 证明 • R是一个加群①封闭性，② 结合律，③ 零元， • ④ 负元， ⑤ 交换律． (2) R是一个乘法半群：①封闭，结合律. (3) 满足左、右分配律．
《近世代数》精品课程 例 3数域F上的n阶方阵的全体关于矩阵的加法和乘法 构成一个环，称为F上的n阶方阵环，记为． （２）全体有理数（实数、复数）关于数的普通加法 和乘法构成一个环，称为有理数域，记为 （ 、 ）或简记为（、）． 例 4设R＝{模 m的剩余类}={[0],---,[n-1]}，规定运算为 ，． 可以证明R关于上述运算构成一个环，称之为模m 的剩余类环，记为，或． 例 2易证:（1）全体整数关于数的普通加法和乘法构成 一个环，称为整数环，记为 或简记为．
《近世代数》精品课程 定义 3.1.2若环R的乘法满足交换律，即 ， ，则称R是一个交换环． 例 、 、 、 、 都是交换环，而 则不是交换环． 例 、 、 、 都是含幺环，单位元就是数1， 、 是 含幺环．单位元分别是 [1]和n阶单位矩阵. 这也说明含 幺环中的单位元1并非就是普通整数1． 在交换环中，二项式定理成立,即 n为正整数. 但在一般环中二项式定理未必成立. 注: 定义3.1.3若R的乘法半群是一个乘法幺半群，则称R是 一个有单位元的环，其中乘法单位元通常记为1， 此时环R通常也称为含幺环．
《近世代数》精品课程 注: （1）并非所有的环都是含幺环 如 ＝{所有偶数}．R对于数的普通加法和乘法 作成一个环，但是R没有单位元． （2）若R是有单位元的非零环，则R中的零元与单位元 一定不相等．注意，零环 也是一个含幺环． 故约定在今后的讨论中，含幺环总是指非零环． （3）含幺环中的单位元总是惟一存在的． （4）在含幺环R中，规定 定义 3.1.4一个有单位元环的一个元 叫做元 的一个逆 元，假如 ，此时也称a是一个可逆元,记 . 注: （1）若b是a的一个逆元，则a也是b的一个逆元． （2）逆元未必存在，如非零环中的零元．但逆元 若存在，则必是惟一存在的．
（2）在非交换环中，左零因子、右零因子、零因子 的概念是不统一的. 如 在特殊矩阵环 中,元素 是一个左零因子,但不是右零因子. 《近世代数》精品课程 （3）若a可逆，则 ． （4）也有左逆、右逆的概念（见第二章）． 定义3.1.5 若是在一个环里 但 则称 是这个环的一个左零因子， 是一个右零因子． 若 a 既是一个左零因子，又是一个右零因子，则 称a是一个零因子． 注: （1）在交换环中，左零因子、右零因子、零因子 的概念是统一的. （3）乘法可逆元一定不是左、右零因子．
《近世代数》精品课程 定义3.1.6不含左、右零因子的环称为无零因子环． 注: 例 、 、 、 都是无零因子环，而 (n是合数)、 不是无零因子环． 可以证明： R是无零因子环 R中非零元素之积仍非零． 定理3.1.1环R是无零因子环R的乘法满足左、右消 去律. 推论3.1.2环R的乘法满足左消去律R是无零因子环 R的乘法满足右消去律. 定义3.1.7有单位元的无零因子的交换环叫做整环. 例 、 、 、 都是整环，而 、(n是合数) 、 不是整环．
《近世代数》精品课程 • 定义3.1.8 一个环R叫做一个除环（或体、斜域），假如 • （1）R中至少包含一个不等于零的元 • (即R中至少有两个元素)； • （2）R有单位元； • （3）R的每一个不等于零的元有一个逆元． • 交换的除环叫做域． 例 、 、 都是域. 命题3.1.3 (1) 除环是无零因子环． (2) 设R是一个非零环，记 ， 则R是除环 对于R的乘法构成一个群，称之 为除环R的乘法群． (3)在除环R中， ，方程 和 在R中都有惟一解．
《近世代数》精品课程 注: 在除环R中 ， 与未必相等． 若R是域，则 ，统一记为 ，称为b除以a的商，易知商具有与普通数相似的一些性质 例 设 是实数域 上 的四维向量空间， 为其一组基，规定基元素 之间的乘法为： 将其线性扩张为 中的元素之间的乘法．则 关于 向量的加法和上面定义的乘法构成一个除环，称之 为（Hamilton)四元数除环或四元数体． (1) (2) 定理3.1.4一个至少含有两个元素的无零因子的有限环 是除环． 推论3.1.5有限整环是除环．
是乘法半群 《近世代数》精品课程 环的定义示图 是Abel加群 左、右分配律 （含幺环） 幺半群 整环 Abel半群 交换环 无零因子环 半群 群 除环 域 Abel群
《近世代数》精品课程 例①可取偶数环 ； 环的关系图 环 例②可取数域F上的n阶方阵环 ； 有单位元的环 例③可取模n的剩余类环 (n是合数)； 无零因子环 ④ 交 换 环 ② 非交换环 例④可取四元数除环 的子环 除环⑥ 整环⑤ ③ 例⑤可取整数环 或数域F上的一元多项式环 域⑦ 例⑥可取四元数除环 例⑦可取 或 或
《近世代数》精品课程 § 3.2- § 3.3 目的与要求: ◆掌握无零因子环的特征的概念及性质． . ◆掌握子环的概念及判别准则;掌握同态、同构的定义及基本性质．
《近世代数》精品课程 §3.2 无零因子环的特征 例 假定是两个循环群，其中， 它们的代数运算用＂＋＂来表示, 即 . 作集合 . 定义运算为 那么R显然作成一个环．但这个环的元（a,0）对于加 法来说的阶是n，元（0，b）的阶是无穷大． 上例说明了: 在一个环中，两个不为零的元素对于加法的 阶可能不相同．
若存在，a阶是有限整数n． ， 则有 《近世代数》精品课程 ？ 在什么样的特殊环，两个不为零的元素对于加法的阶是相同的？ 定理3.2.1在一个没有零因子的环R中，所有非零元 （对于加法而言）的阶都是相同的. 证明 如果R的每一个非零元的阶都是无限大， 那么结论显然成立． 从而，b的阶 同样可得， ．故有
《近世代数》精品课程 定义3.2.1 一个无零因子环R的非零元的相同（对加法 来说的）阶叫做环R的特征，记为Ch(R)． 注: (1)若无零因子环的非零元的阶为无穷大，则称其特征 为0. 如Ch( )=Ch( )=Ch( )=Ch( )=0 . 如 域 的特征为p (p为素数)． (2)对于特征为0的环R， 成立. 定理3.2.2 如果无零因子环R的特征是有限整数n，那么 n一定是个素数． 假设n不是素数， 任意 ， 证明 有 但 ,矛盾.
《近世代数》精品课程 推论3.2.3 域F的特征要么是0，要么是一个素数p． 例 设R是特征为p的交换环，则对 有 证明 由于R是交换环，故有 注意 由Ch(R)=p可知， 于是结论成立. 下一节：子环与同态
《近世代数》精品课程 §3.3子环与同态 定义3.3.1设R是环，S是R的一个非空子集．若S对于R 的代数运算来说作成一个环，则称S是R的一个子环， 也称R是S的一个扩环，记做 类似的，可以定义子整环，子除环，子域的概念. 如 注: （1）任意环R都至少有两个子环：0和R，称之为R 的平凡子环. （2）设 且 ，则称S是R的一个真子环. （3）子环的交仍为子环.
《近世代数》精品课程 • 判别准则 定理3.3.1 (1)设R是环，S是R的一个非空子集，则 (2) 设R是除环，S是R的一个非空子集，则 S是R的子除环 例1 假设R是环，记集合 （同每一个元交换的元之集），称为环R的中心， 则 ．
《近世代数》精品课程 由于 的加法群是一个循环群，故剩余类环 的子 环关于加法是（ ，＋）的子循环群，共有下面6个： 解 经检验，它们都是 的子环，从而 有上面的6个 子环 . 例2 求模12的剩余类环 的所有子环?
《近世代数》精品课程 设 ， 有下面一些事实： 附注 1. 在交换性上 (1) 若R是交换环，则S也是交换环； (2) 若S是交换环，则R未必是交换环． 2. 在有无零因子上 (1) 若R无零因子，则S也是无零因子； (2) 若S无零因子，则R未必无零因子． 3. 在有无单位元上 (1) 若R有单位元，则S未必有单位元； (2) 若S有单位元，则R未必有单位元．
《近世代数》精品课程 定义3.2.2 设 和 是环， 为映射．若f保持 运算，即对任意 有 则称f是环到 的一个同态． 同样有单同态、满同态、同构的概念． • 定理3.3.2设为环同态． • (1)若0是R中的零元，则f(0)是R＇中的零元； • (2) • (3)若，则； • (4)若 ，则
《近世代数》精品课程 注意设为环的满同态．则环R与R＇在 很多性质上有一定的联系，但并不完全一致． 例如有如下几条： 1. 在交换性上 (1) 若R是交换环，则R＇也是交换环； (2) 若R＇是交换环，则R未必是交换环． 2. 在有无零因子上 (1) 若R无零因子，则R＇未必无零因子； (2) 若R＇无零因子，则R未必无零因子． 3. 在有无单位元上 (1) 若R有单位元1，则R＇有单位元f(1)； (2) 若R＇有单位元，则R未必有单位元．
《近世代数》精品课程 注意: 设为环同构．则环R与 在代数性质上 完全一致. 定理3.3.3 假定 则 R是整环（除环、域） R＇是整环（除环、域）． 引理3.3.4假定在集合A与A ＇之间存在一个一一映 射 f，并且A中有加法和乘法，可以A ＇中定义加 法和乘法，使得 是同构映射． 定理3.3.5（挖补定理）假定S是环R的一个子环，S 在R里的补足集合（这就是所有不属于S的R的元作 成的集合）与另一个环S ＇没有共同元，并且 那么存在一个与R同构的环R＇，而且S＇是R＇的 子环．
《近世代数》精品课程 § 3.4- § 3.5 目的与要求: ◆掌握多项式环的概念,理解未定元的定义及存在性． ◆熟练掌握理想的概念与性质、以及主理想的概念和特殊环条件下主理想的元素形式．
《近世代数》精品课程 §3.4多项式环 本节中的环均指有单位元的交换环．设 是环 的子环，且二者有相同的单位元. 定义3.4.1设, 记集合 在 中规定运算如下： 则 构成一个环，称之为R上的关于 的多项式环 称 中的元素为R上的关于 的多项式．
《近世代数》精品课程 注: （1） 是R＇中包含 R和 的最小子环. （2）与高等代数中类似，对每个 ，可以定义 的次数、系数、首项系数等． 定义3.4.2 设 ，若不存在不全为零的元素 使得 ，则称 是环R上的 一个未定元．称R上关于 的多项式为R上的一元多 项式． ？ 环R上的未定元是否存在？ 定理3.4.1假设R是一个有单位元的交换环，则一定存在 环R上的未定元 ，因此 R上的一元多项式环 是 存在的．
定理3.4.2假设 和 都是有单位元 的交换环R上的多元多项式环，若 是R上 的n个无关的未定元，则一定存在环的同态满射 《近世代数》精品课程 定理3.4.1假设R是一个有单位元的交换环，n为任意 正整数，则一定存在环 R 上的 n 个无关的未定元 ，因此 R上的多元多项式环 是存在的． (其中无关的意思是指 ) 下一节：理想与商环
《近世代数》精品课程 §3.5理想与商环 问题引入： 设R是一个环，A关于R中的加法构成R的 一个子加群，则有商加群 其加法为： 我们想让其成为一个环，于是引入乘法： . ？ 上述定义的乘法是否有意义？即： 若 定义3.5.1设R是一个环， 是R的一个非空子集，若满足 （i） （ii） 则称 是环R的一个理想（Ideal），记为 ．
《近世代数》精品课程 注: (1)理想一定是子环，反之未必． (3) 有左、右理想的概念． (2)设R是有单位元的环， ，则 (4)对于任意环R，{0}和R都是理想，分别称之为 零理想和单位理想. (5)任意多个理想的交仍为理想，但并则未必. 定义3.5.2 只有零理想和单位理想的环称为单环． 定理3.5.1除环是单环． 证明 假设R是除环 则存在非零元素 于是有 ，从而
《近世代数》精品课程 例 1设R是整数环 ，则n的所有倍数之集 构成R的一个理想． 例 2设R[x]为环R上的一元多项式环，则所有如下形式的 多项式 之集作成R[x]的一 个理想． 定义3.5.3 设R是一个环，T是R的一个非空子集，则称 R中所有包含T的理想的交为由T生成的理想，记为(T), 即 . 特别地，若T={a}，则简记(T)为(a)，称 之为由a生成的主理想． ． 显然，(T)是R中包含T的最小的理想.
《近世代数》精品课程 定理3.5.2 设R是环， 则 推论3.5.3 设R是环， 则 （1）当R是交换环时， （2）当R有单位元时， （3）当R是有单位元的交换环时， 推论3.5.4 设R是环， , 则 此时记(T)为
例 假定 是整数环上的一元多项式环，求理想 ， • 并判断其是否为 的主理想． 《近世代数》精品课程 解 因为 是有单位元的交换环，故 即 刚好包含所有常数项是偶数的整系数多项式.． 下面证明 不是一个主理想： 事实上，若存在 则存在 使得 考虑次数和系数可得 ，于是 矛盾.
例 任意n∈Z，(n)={nk|k∈Z} 整数环的一个理想， 则有商环 其中 称之为模n的剩余类环，一般记为 《近世代数》精品课程 定理3.5.3 设R是环， ，则R/I构成一个环，称之 为R关于理想I的商环（剩余类环）．其中元素 通常也记为 ，称之为x所在的等价类或 x模I的剩余类． 练习： 求 的所有理想？ (提示：考虑 的所有子加群.)
《近世代数》精品课程 § 3.6- § 3.7 目的与要求: ◆掌握环的同态基本定理、极大理想的概念与相关性质． ◆了解商域的概念以及它的存在与唯一性．
《近世代数》精品课程 §3.6 同态与理想 定理3.6.1 设 是环， ，则存在自然的满同态 定理3.6.2（同态基本定理）设 是环 到环 的一个 同态映射，则 (1) ，称 为同态 的核； (2) ； (3) . 推论3.6.3 设 是环 到环 的一个同态满射，则 .
《近世代数》精品课程 注: 和群论中一样，还有其他一些同构定理（如方块定理、对应定理、分式定理等）． (ⅰ) 则 （即子环的象是子环）； (ⅱ) 则 （即理想的象是理想）； (ⅲ) 则 （即子环的原象是子环）； (ⅳ) 则 （即理想的原象是理想） 且 定理3.6.4设 是环 到环 的一个同态满射，则 证明 完全类似于第二章定理2.9.4．
《近世代数》精品课程 定义3.6.1 假设R是环， ．若不存在R 的理想I使得 ，则称M是R的一个极大理 想（最大理想）．记作 ． 注: （1）M是R的一个极大理想当且仅当只有R是真正 包含M的理想． （2）一个环可能没有极大理想，也可能有很多个极 大理想． 例 1设p是一个素数，则由p生成的主理想(p)是整数环的 一个极大理想.
《近世代数》精品课程 证明 由于 ，则 设N是包含(p)的一个理想 若，则． 由p是素数知，q与p互素，于是可以找到整数s和t，使得 . 注意，而且N是理想，所以 故(p)是一个极大理想． 注: 在下章我们将会看到， 整数环R的极大理想一定具有形式(p)，p是一个素数．
《近世代数》精品课程 命题3.6.5 假设R是环， ,则 是单环． 证明 设M是R的极大理想，，则有 又由知 ， 即有 是单环． 再由M的极大性得，从而 假设存在R的理想I使得 ,则 , 由条件知．于是I=R． 所以M是R的极大理想．
例 2设p是一个整数，则R/(p)是域 是素数． 《近世代数》精品课程 引理3.6.6 假设R是有单位元的交换环．若R是单环， 则R一个域． 证明 ，则 .于是 , 故由条件知单位元 ，从而存在元素 ， 使得, 即 可逆. 所以R是一个域． 命题3.6.7 假设R是有单位元的交换环， , 则 是域．
《近世代数》精品课程 §3.7 商域 对于任意环R，是否存在域F，使得？ 对于任意整环R，是否存在域F，使得？ 由于域中无零因子，因此上述问题1的答案是否定的. ？ ？ ？ 1 2 3 对于任意无零因子环R, 是否存在域F，使得 众所周知， ． 1936年，A.Makev给出了一例子：存在一个无零因子的非交换环R，R不被任何除环包含．从而也否定了上述问题2.
《近世代数》精品课程 定理3.7.1任意整环R都可以扩充成一个域F，即存在 一个域F，使得 定理3.7.2设R整环，记集合 ，Q中的 运算类似于普通数的运算，则Q是一个域，且 称Q为R的商域． 注: 该定理说明了整环的商域是存在的． 定理3.7.3 同构的整环的商域也是同构的． 注: 该定理说明了整环的商域在同构的意义下是惟一存在的．
