* 第 7 章量子力学中的矩阵形式与表象变换

*第 7 章量子力学中的矩阵形式与表象变换

可以用它们来展开 平面上的任一矢量 7.1 量子态的不同表象，么正变换 • 一、直角坐标系中的类比取平面直角坐标系x1x2的基矢为e1和e2,长度为1，彼此正交标积我们将其称之为基矢的正交归一关系. 称为矢量A在坐标系x1x2中的表示. A1、A2代表A在坐标系中的投影.

二、坐标系顺时针转动 现在将坐标系x1x2顺时针方向转动，得到x1′x2′,其基矢为e1′和e2′,满足在此坐标系中,矢量A表示成其中投影分量是

同一个矢量A在两个坐标系中的表示有什么关系？同一个矢量A在两个坐标系中的表示有什么关系？根据(2)和(2')式上式分别用e1′和 e2′点乘,得表成矩阵的形式为

或记为 把A在两坐标中的表示联系起来的变换矩阵矩阵R的矩阵元是两个坐标系的基矢之间的标积，它表示基矢之间的关系.故当R 给定，则任何一个矢量在两坐标系间的关系也随之确定.

三、变换矩阵的性质 变换矩阵R 具有下述性质：是R的转置矩阵真正交矩阵（实矩阵）

四、不同表象中基矢的关系 量子态和力学量(算符)的不同表示形式,称为表象。形式上与此类似，在量子力学中，按态叠加原理，任何一个量子态，可以看成抽象的Hilbert空间中的一个“矢量”.体系的任何一组对易力学量完全集F的共同本征态，可以用来构成此空间的一组正交归一完备的基矢（称为F表象）对于任意态矢量y，可以用它们展开其中

这一组数 就是态(矢)在F表象中的表示，它们分别是态矢y与各基矢的标积. 与平常解析几何不同的是： ①这里的“矢量”(量子态)一般是复量； ②空间维数可以是无穷的，甚至不可数的. 现在考虑同一个态y在另一组力学量完全集F′中的表示. F′表象的基矢,即F′的本征态 y'a,它们满足正交归一性

就是态(矢)y在F'表象中的表示， 这一组系数与有何关系？ (取标积),得 (14)左乘对于任意态矢量y，可以用它们展开显然

其中 F′表象基矢与F表象基矢的标积 (15)式也可以写成矩阵的形式：简记为

式(17)就是同一个量子态在F′表象中的表示与它在式(17)就是同一个量子态在F′表象中的表示与它在 F表象中表示的关系，它们通过S 矩阵相联系，且变换矩阵S 为么正(unitary)矩阵矩阵，此变换也称为么正变换.

* 第 7 章 量子力学中的矩阵形式 与表象变换