9. BÖLÜM

1. 9. BÖLÜM DİFERANSİYEL AKIŞ ANALİZİ

2. 9. DİFERANSİYEL AKIŞ ANALİZİ • 9.1. GİRİŞ • 9.2. KÜTLENİN KORUNUMU – SÜREKLİLİK DENKLEMİ • 9.3. AKIM FONKSİYONU • 9.4. DOĞRUSAL MOMENTUMUN KORUNUMU – CAUCHY DENKLEMİ • 9.5. NAVIER-STOKES DENKLEMİ • 9.6. AKIŞ PROBLEMLERİNİN DİFERANSİYEL ANALİZİ

3. 9.1. GİRİŞ • Kontrol hacmi tekniği, kontrol hacmine giren ve kontrol hacminden çıkan kütlesel debiler veya cisimler üzerine uygulanan kuvvetler gibi bir akışın genel özellikleri ile ilgilendiğimizde yararlıdır. • Hava hızı bilinirse çanak anten üzerindeki net tepki kuvveti hesaplanabilir.

4. 9.1. GİRİŞ • Diferansiyel analiz, akışkan hareketinin diferansiyel denklemlerinin akış bölgesi olarak adlandırılan bir bölge boyunca akış alanındaki her noktaya uygulanmasını gerektirir. • Bu teknikte tüm akış bölgesi boyunca her bir noktadaki hız, yoğunluk, basınç vb. hakkında detaylı bilgi elde edilir.

5. 9.1. GİRİŞ • Üç boyutlu sıkıştırılamaz akış için - dört bilinmeyen (u, v, w ve P) ve - dört denklem (kütlenin korunumu ve x, y, z yönündeki Newton’un ikinci yasası) vardır.

6. 9.1. GİRİŞ • Akışın diferansiyel analizi karmaşık ve zordur: • Bağlı denklemler, • Diferansiyel denklem takımı dört değişken için birlikte çözülmeli, • Sınır şartları belirtilmeli, • Akış daimi olmayabilir.

7. 9.2. KÜTLENİN KORUNUMU • Reynolds transport teoreminden: • Diverjans (Gauss) teoremi kullanılırsa (Alman Matematikçi Gauss (1777-1855)) elde edilir.

8. 9.2. KÜTLENİN KORUNUMU • Bir yüzeyden geçen kütlesel debi; • yoğunluk, • yüzün merkezindeki hızın normal bileşeni ve • yüzey alanının çarpımına eşittir.

9. 9.2. KÜTLENİN KORUNUMU • Süreklilik denklemi:

10. 9.2. KÜTLENİN KORUNUMU

11. 9.2. KÜTLENİN KORUNUMU • Süreklilik denkleminin alternatif formu • Bu denklem, akış alanı boyunca bir akışkan elemanını izlerken (buna maddesel eleman denir) değeri değiştiğinde, bu akışkan elemanının yoğunluğunun değiştiğini göstermektedir.

12. 9.2. KÜTLENİN KORUNUMU • Koordinat dönüşümleri • Silindirik koordinatlarda süreklilik denklemi:

13. Süreklilik Denkleminin Özel Durumları • Daimi sıkıştırılabilir akış

14. Süreklilik Denkleminin Özel Durumları • Sıkıştırılamaz akış

15. Süreklilik Denkleminin Özel Durumları • Sıkıştırılamaz akış alanının bir bölümünde hız alanı değiştiğinde, akış alanının geri kalan kısmı süreklilik denklemini tüm zamanlarda sağlayacak şekilde kendini ayarlar. • Sıkıştırılabilir akışta ise akışın bir bölümündeki tedirginlik, biraz ötedeki akışkan tanecikleri tarafından ses dalgası bu noktaya ulaşıncaya kadar hissedilmez.

16. Örnek 9.3

17. Örnek 9.4

18. Örnek 9.5

19. Örnek 9.5

20. Örnek 9.7

21. 9.3. AKIM FONKSİYONU • xy düzleminde iki-boyutlu basit sıkıştırılamaz akış için süreklilik denklemi: • Kartezyen koordinatlarda, sıkıştırılamaz, iki boyutlu akım fonksiyonu:

22. 9.3. AKIM FONKSİYONU • Süreklilik denklemi sağlanır. •  düzgün bir fonksiyon olmalıdır yani hem kendisi hem de türevi sürekli olmalıdır. • İki değişkenin (u, v) yerini tek bir değişken () almıştır. • Sabit  eğrileri akışın akım çizgileridir.

23. 9.3. AKIM FONKSİYONU

24. Örnek 9.8

25. Örnek 9.8

27. Örnek 9.9

28. 9.3. AKIM FONKSİYONU • Bir akım çizgisinden diğerine  değerleri arasındaki fark, birim genişlik başına bu iki akım çizgisi arasından geçen hacimsel debiye eşittir. • Hiçbir akış, akım çizgisini geçemez.

29. 9.3. AKIM FONKSİYONU • Akım çizgileri birbirinden uzaklaştıkça hız vektörlerinin büyüklükleri azalır. • Akım çizgileri birbirine yaklaştıkça aralarındaki ortalama hız artar. • Akım fonksiyonu ’nin değeri xy-düzleminde akış yönünün soluna doğru artar.

30. 9.3. AKIM FONKSİYONU

31. Silindirik Koordinatlarda Akım Fonksiyonu • Düzlemsel akış (r, ) • süreklilik denklemi • sıkıştırılamaz, düzlemsel akış fonksiyonu

32. Silindirik Koordinatlarda Akım Fonksiyonu • Eksenel simetrik akım (r, z) (küreler, mermiler, kanatları hariç torpido, füzeler etrafındaki akış) • süreklilik denklemi • sıkıştırılamaz, eksenel simetrik akım fonksiyonu

33. Silindirik Koordinatlarda Akım Fonksiyonu

34. Silindirik Koordinatlarda Akım Fonksiyonu

35. Sıkıştırılabilir Akım Fonksiyonu • Süreklilik denklemi • Daimi, sıkıştırılabilir akım fonksiyonu • Bir akım çizgisinden diğerine akım fonksiyonunun değerindeki değişim, birim genişlik başına kütlesel debiye eşittir.

36. 9.4. DOĞRUSAL MOMENTUMUN KORUNUMU (CAUCHY DENKLEMİ) • Kartezyen koordinatlarda Cauchy Denklemi:

37. 9.4. DOĞRUSAL MOMENTUMUN KORUNUMU (CAUCHY DENKLEMİ) • Cauchy Denklemi:

38. 9.5. NAVIER-STOKES DENKLEMİ • Cauchy denklemi olduğu haliyle bizim için pek kullanışlı değildir. • Çünkü gerilme tensörü ij altısı bağımsız (simetriden ötürü) olmak üzere toplam dokuz bileşen barındırmaktadır. • Yoğunluk ve hızın üç bileşenine ilaveten altı bilinmeyen daha vardır ve toplamda bilinmeyen sayısı onolur. • Sadece dört denklem – süreklilik (bir denklem)veCauchy denklemi (üç denklem) vardır. • Altı denkleme daha ihtiyaç vardır ve bunlara bünye denklemleri denir. • Bünye denklemleri gerilme tensörü bileşenlerini, hız alanıvebasınç alanı cinsinden verir.

39. 9.5. NAVIER-STOKES DENKLEMİ • Akışkan durgun halde ise herhangi bir akışkan elemanının herhangi bir yüzeyine etkiyen tek gerilme • Daima yüzeyin normali doğrultusunda ve içeri doğru etkiyen yerel hidrostatik basınç P’dir.

40. 9.5. NAVIER-STOKES DENKLEMİ • P hidrostatik basıncı, termodinamik basınçtır. • P basıncı, bir çeşit hal denklemi (örneğin ideal gaz yasası) yardımıyla yoğunluk ve sıcaklık ile ilişkilendirilir. • Bu durum, sıkıştırılabilir bir akış analizini daha da zorlaştırır. • Çünkü bu durumda analize bir bilinmeyen daha dahil olacaktır. Bu yeni bilinmeyen, bir başka denklemi – enerji denkleminin diferansiyel formunu - gerektirir.

41. 9.5. NAVIER-STOKES DENKLEMİ • Bir akışkan hareket ederken, basınç yine etki eder, ancak bunun yanında viskoz gerilmeler de bulunabilir: • ij: viskoz gerilme tensörüdür

42. 9.5. NAVIER-STOKES DENKLEMİ • Bünye denklemleri, ij’yi hız alanı ve viskozite gibi ölçülebilir akışkan özellikleri cinsinden ifade etmeye yarar. • Bünye ilişkilerinin gerçek formu akışkanın tipine bağlıdır.

43. 9.5. NAVIER-STOKES DENKLEMİ • Eğer akışkan sıkıştırılamaz ise hiçbir hal denklemi yoktur (hal denkleminin yerini =sabit denklemi alır) ve artık P termodinamik basınç olarak tanımlanamaz. • P mekanik basınç olarak tanımlanır: • Mekanik basınç, bir akışkan elemanı üzerinde içe doğru etkiyen ortalama normal gerilmedir. • Buna ortalama basınç da denir.

44. 9.5. NAVIER-STOKES DENKLEMİ • Sıkıştırılamaz akışları çözümlerken basınç değişkeni P daima mekanik basınç Pm olarak düşünülür. • Sıkıştırılabilir akışlar için P basıncı termodinamik basınçtır. • Bir akışkan elemanının yüzeyinde hissedilen ortalama normal gerilmenin P ile aynı olması zorunlu değildir (basınç değişkeni P, mekanik basınç Pm’ye eşit olmak zorunda değildir).

45. Newton Tipi ve Newton Tipi Olmayan Akışkanlar • Akmakta olan akışkanların deformasyonunu inceleyen bilim dalına reolojidenir. • Newton tipi akışkan: Kayma gerilmesi şekil değiştirme hızıyla doğrusal olarak değişen akışkanlardır.

46. Newton Tipi ve Newton Tipi Olmayan Akışkanlar • Newton tipi akışkanlar elastik katılara benzerdir (Hook yasası: gerilme şekil değiştirme ile orantılıdır). • Örnekler: • hava ve diğer gazlar • su • gazyağı • benzin • bazı yağ-bazlı sıvılar

47. Newton Tipi ve Newton Tipi Olmayan Akışkanlar • Newton tipi olmayan akışkanlar: • İnce çamurumsu karışımlar • Peltemsi süspansiyonlar • Polimer çözeltileri • Kan • Macun • Cıvık kek hamuru

48. Newton Tipi ve Newton Tipi Olmayan Akışkanlar • Bazı Newton tipi olmayan akışkanlarda kayma gerilmesi sadece şekil değiştirme hızına değil aynı zamanda gerilmenin önceki değişimlerine de bağlıdır. • Uygulanan gerilme kaldırıldığında baştaki asıl şekline (tamamen ya da kısmen) dönen akışkana viskoelastikdenir.

49. Newton Tipi ve Newton Tipi Olmayan Akışkanlar • İncelen akışkanlar (sanki-plastik akışkanlar): Ne kadar hızlı şekil değişimine uğrarlarsa o denli az viskoz duruma gelirler: • Boya

50. Newton Tipi ve Newton Tipi Olmayan Akışkanlar • Bingham plastik akışkanlar: Harekete geçirebilmek için akma gerilmesi denilen sonlu bir gerilmenin uygulanmasına ihtiyaç vardır: • Cilt kremi • Diş macunu