DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

1. Tema 12 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL MATEMÁTICAS A. CS II Matemáticas 2º Bachillerato CS

2. EXPERIMENTO BINOMIAL TEMA 12.2 * 2º B CS Matemáticas 2º Bachillerato CS

3. EXPERIMENTO DE BERNOUILLI • Se conoce como experimento de Bernouilli un experimento aleatorio que sólo tiene dos resultados posibles, complementarios entre sí. • Los sucesos de un experimento de Bernouilli se denominan éxito (E) y fracaso (F). • Se considera la variable aleatoria X que asocia al suceso éxito el valor 1, y al suceso fracaso el valor 0. • P(X=1) = p ,, P(X=0) = 1 – p = q • CÁLCULO DE PARÁMETROS • MEDIA μ = 0.q + 1.p = p • DESVIACIÓN TÍPICA σ =√ (02.q + 12.p – p2) = √ p.(1 – p) = √ p.q • Como toda función de probabilidad discreta, p+q = 1, con p >0 Matemáticas 2º Bachillerato CS

4. Si un experimento de Bernouilli se repite n veces, tendremos: • n 0 n 1 n-1 2 n-2 2 n n • ( q + p ) = C . q + C . q . p + C . q . p + ... + C . p • n n n n • Siendo p la probabilidad de éxito (E) y q la de fracaso (F). • Como p+ q = 1 siempre, la suma de los (n + 1) términos es 1. • Y cada uno de los sumandos es una probabilidad: • P(X=0) = probabilidad de 0 éxitos • P(X=1) = probabilidad de 1 éxitos • P(X=2) = probabilidad de 2 éxitos • ……………………………………… • P(X=k) = probabilidad de k éxitos • …………………………………….. • P(X=n) = probabilidad de n éxitos • Al tener el experimento de Bernouilli sólo dos valores de la variable, podemos aplicar el Binomio de Newton en su repetición. Matemáticas 2º Bachillerato CS

5. EJEMPLO DE APLICACIÓN • Se sabe que 7 de cada 10 personas tienen el carnet de conducir. Se toma una muestra aleatoria de 3 personas. • Hallar la probabilidad de que 0 personas tengan el carnet. • Hallar la probabilidad de que 1 personas tengan el carnet. • Hallar la probabilidad de que 2 personas tengan el carnet. • Hallar la probabilidad de que 3 personas tengan el carnet. • Resolución • La probabilidad de que una persona cualquiera tenga el carnet es: • P(E) = p = 7/10 = 0,70 por la Regla de Laplace. • La probabilidad de que no lo tenga será: • P(F) = 1 – P(E) = 1 – p = 1 – 0,70 = 0,30 = q • Es un experimento de Bernouilli. • Media μ = p = 0,70 • Desviación típica σ = √ p.q = √ 0,70.0,30 = √ 0,21 = 0,4582 Matemáticas 2º Bachillerato CS

6. Tomar una muestra de 3 personas y ver si tienen o no el carnet de conducir es repetir el experimento de Bernouilli tres veces. • Estamos en la llamada Distribución Binomial y se denota así: • B(n,p) • Donde p es la probabilidad de éxito y n el número de veces que se repite el experimento de Bernouilli. • En nuestro ejemplo: B(3, 0,7) • Y ayudándonos por el Binomio de Newton: • 3 0 3 1 2 2 2 3 3 • ( 0,3 + 0,7 ) = C . 0,3 + C . 0,3 . 0,7 + C . 0,3 . 0,7 + C . 0,7 = • 3 3 3 3 • = (1.0,027) + (3.0,063) + (3.0,147) + (1.0,343) = • = 0,027 + 0,189 + 0,441 + 0,343 , que son respectivamente las probabilidades de que tengan carnet de conducir 0, 1, 2 y 3 personas. • Se cumple que: (0,3 + 0,7)3 = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) • 3 3 • Como (0,3 + 0,7)3 = 13 = 1, se puede comprobar que la suma es 1. • 0,027 + 0,189 + 0,441 + 0,343 = 1 Matemáticas 2º Bachillerato CS

7. Experimento BINOMIAL • Los experimentos que quedan determinados por dos sucesos contrarios reciben el nombre de experimentos dicotómicos o experimentos binomiales. • Ejemplos de experimentos binomiales son: • Número de hombres o mujeres en paro. • Menores o mayores de edad en una fiesta. • Trabajadores menores o mayores de edad en una fábrica. • Profesores a favor o en contra de una medida educativa. • Proporción de viviendas que poseen calefacción en una población. • En general, cualquier distribución de probabilidad discreta se puede reducir a una experiencia dicotómica. La distribución de probabilidad discreta que estudia estos experimentos recibe el nombre dedistribución binomial. Matemáticas 2º Bachillerato CS

8. Ejemplo 1 • En una reunión hay 40 hombres y 60 mujeres. Se elige una persona al azar, anotando el sexo de dicha persona. Se repite el experimento 30 veces. Hallar la probabilidad de que en 10 ocasiones el resultado haya sido “hombre”. • Es una experiencia dicotómica. • P(E) = p =40/100 = 0,40 • P(F) = q = 1 – 0,40 = 0,60 • n= 30 veces que se repite el experimento. • La binomial queda caracterizada por B(n, p)  B(30, 0,30) • Hay que hallar P(x=10) • Notas importantes: • El experimento se puede repetir un número de veces mayor que la cantidad de personas que hay. Podemos repetir el experimento 500, aunque hubiera sólo 3 personas en la reunión. • Nos pueden pedir probabilidades tales como: P(“Que de las 30 veces que se ha repetido al menos en dos ocasiones halla sido hombre”) • P(x ≥ 2) = P(x=2)+P(x=3)+…+P(x=30) • O también: P(x ≥ 2) = 1 – P(x < 2) = 1 – [ (P(x=0) + P(x=1) ] Matemáticas 2º Bachillerato CS

9. Ejemplo 2 • Un cazador tiene una probabilidad de 0,65 de acertar a una pieza en cada disparo. Si realiza 20 disparos, hallar la probabilidad de … • a) Que no cace ninguna pieza. • b) Que cace 7 piezas. • c) Que cace al menos 3 piezas. • Es una experiencia dicotómica, pues acierta el tiro o falla el tiro. • P(E) = p =0,65 • P(F) = q = 1 – 0,65 = 0,35 • n= 20 veces que se repite la experiencia de disparar. • La binomial queda caracterizada por B(n, p)  B(20, 0,65) • a) P(x=0) • b) P(x=7) • c) P(x≥3) =P(x=3)+P(x=4)+…+P(x=20) • P(x≥3) = 1 - P(x<3) = 1 – [ P(x=0)+P(x=1)+P(x=2) ] • Nota: Los cálculos necesarios para completar el ejemplo se ven más adelante. Matemáticas 2º Bachillerato CS

10. Ejemplo 3 • Una máquina produce 32 tornillos defectuosos cada 1000 unidades. Al realizar un control de calidad tomamos una caja de 50 tornillos. Hallar la probabilidad de que … • a) Ningún tornillo resulte defectuoso. • b) Halla 37 tornillos defectuosos. • c) Halla menos de 3 tornillos defectuosos. • Es una experiencia dicotómica, pues cada tornillo examinado está defectuoso o no. • P(E) = p =32/1000 = 0,032 • P(F) = q = 1 – 0,032 = 0,968 • n= 50 veces que se repite la experiencia, al examinar los 50 tornillos de la caja. • La binomial queda caracterizada por B(n, p)  B(50, 0,032) • a) P(x=0) • b) P(x=37) • c) P(x<3) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) • Nota: En este ejemplo, como en todos los demás, P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)+…+P(x=n)=1 • Por el Teorema de la Probabilidad Total, al ser los “n” sucesos independientes. Matemáticas 2º Bachillerato CS

11. Ejemplo_4 • Lanzamos un dado al aire. • Hay seis sucesos posibles. Y cada suceso tiene su probabilidad (pi=1/6). • Pero si lo que nos interesa es obtener un 6, reducimos los sucesos a dos: • P(“Obtener un seis”) = 1/6 • P(“No obtener un seis”) = 5/6 • Y hemos convertido el experimento no dicotómico en dicotómico. • P(E) = p=1/6 • P(F) = q= 5/6 • B(n, 1/6) • Donde n es la cantidad de veces que lanzamos el dado. • Lo mismo haríamos si el resultado deseado (Éxito) fuera un 5 en lugar de un seis. Matemáticas 2º Bachillerato CS

12. Ejemplo_5 • En una población conocemos: • P(“Un habitante gane 0 € /mes”) = 0,25 • P(“Un habitante gane 500 € /mes”) = 0,25 • P(“Un habitante gane 1000 € /mes”) = 0,20 • P(“Un habitante gane 1500 € /mes”) = 0,20 • P(“Un habitante gane 2000 € /mes”) = 0,10 • Si lo que nos interesa es que gane más de 1000 € /mes, reducimos la distribución de probabilidades discretas a una distribución binomial: • P(“Un habitante gane más de 1000 € /mes”) = 0,20+0,10 = 0,30 • P(“Un habitante no gane más de 1000 € /mes”) = 1 – 0,30 = 0,70 • Y hemos convertido la experiencia no dicotómica en dicotómica. • P(E) = p=0,30 • P(F) = q= 0,70 • B(n, 0,30) • Donde n es la cantidad de veces que lanzamos el dado. • Lo mismo haríamos si el resultado deseado (Éxito) fuera que ganara hasta 500 €. Matemáticas 2º Bachillerato CS