山东省 中学生奥林匹克物理竞赛 夏令营

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2. 山东省 中学生奥林匹克物理竞赛 夏令营 2008年7月14日 济南 山东大学 山东大学刘希明辅导物理竞赛

3. 著名理论物理学家维格纳说 一个公式你要是不懂的话，抄上十遍你就懂了。 山东大学物理学院 刘希明 lxm@sdu.edu.cn 139 5416 1397 山东大学刘希明辅导物理竞赛

4. 力学基本定律 加速度 作用力 万有引力 运动轨道椭圆、抛物线、双曲线 电磁相互作用 库仑力 洛伦兹力 圆周运动 弹性力 动静摩擦力、安培力、核力….. 能够由牛顿第二定律严格求解坐标的问题并不多 山东大学刘希明辅导物理竞赛

5. 力学动量、角动量、动能三大定理 动量定理 角动量定理 动能定理 冲量定理 冲量矩定理 力学的守恒定律 动量、角动量、能量守恒 山东大学刘希明辅导物理竞赛

6. 力学的物理模型 质点、质点组、刚体 山东大学刘希明辅导物理竞赛

7. 【例题】如图在光滑水平面上有质量为M的均匀分布的、半径R的圆环。质点质量m(m<M)沿环的内壁做无摩擦的滑动，开始时圆环静止，圆环中心在O点，质点位于坐标(0,R)处，速度沿着x方向，大小为v0。(1)求证质点不会离开环内壁(2)求地面坐标系中质点m的运动方程。【例题】如图在光滑水平面上有质量为M的均匀分布的、半径R的圆环。质点质量m(m<M)沿环的内壁做无摩擦的滑动，开始时圆环静止，圆环中心在O点，质点位于坐标(0,R)处，速度沿着x方向，大小为v0。(1)求证质点不会离开环内壁(2)求地面坐标系中质点m的运动方程。 y v0 m M x O R 山东大学刘希明辅导物理竞赛

8. 【解】质点m与环内壁之间的作用力是一对作用反作用力，没有摩擦这个力就是与半径方向一致的支持力，这个力不等于零，则质点就不会离开环的内壁。 环的质量集中在环心O，初始时系统的质心C位于y轴上，离环心的距离是OC，长度为 m 质心C到质点m与环心O的距离分别是 C M O (1) 山东大学刘希明辅导物理竞赛

9. 整个系统在水平面内不受力(环壁与质点之间的作用力是一对内力）,因此动量守恒，求出质心的速度整个系统在水平面内不受力(环壁与质点之间的作用力是一对内力）,因此动量守恒，求出质心的速度 (2) 可见系统的质心沿着x轴做匀速直线运动。质心是惯性坐标系。 在质心惯性系中，开始时质点m与圆环M相对质心的速度分别是 山东大学刘希明辅导物理竞赛

10. 可见M与m相对质心的速度方向相反，两者只能够绕着质心做圆周运动。圆周运动的角速度分别是可见M与m相对质心的速度方向相反，两者只能够绕着质心做圆周运动。圆周运动的角速度分别是 (3) 这个结果表明，质点m与圆环环心M相对质心C做角速度相同的圆周运动，圆周运动的向心力只能来自两者之间的相互作用力，又忽略摩擦，这个力沿着圆环的半径方向。因此质点m不会脱离环的内壁。 山东大学刘希明辅导物理竞赛

11. (2)给出质点m相对水平面的运动方程 质点m在质心坐标系做圆周运动，坐标与时间的关系是 (4) C 系统的质心C相对地面做匀速运动，在地面坐标系中，质心的坐标是 (5) 由此得到质点m相对地面坐标系的坐标 山东大学刘希明辅导物理竞赛

12. 改写为 (6) 质点m一边跟随质心匀速平动，一边绕着质心做匀角速度转动。 半径为R的圆柱面沿水平面纯滚动，圆心速度为v,转动角速度w,满足关系v=Rw.顶端一点A，相对水平面的运动方程是 山东大学刘希明辅导物理竞赛

13. A点的轨迹是一条摆线,如图所示。 y x 方程(6)描述的轨迹不是一条摆线。 山东大学刘希明辅导物理竞赛

14. 【例题】如图,在竖直平面内有一半径为R的固定的绝缘的光滑圆环，在圆环外侧有一个光滑园槽。空间中有垂直环面的水平均匀磁场B。一个质量为m的带电为q>0的质点，初始时位于圆环最高点a处，以初速度v0沿水平方向向左运动，如果在以后的运动中质点能够沿圆环外侧不脱落圆环，达到圆环最低点b。试计算(1)质点在a点不脱落圆环，初始速度满足的条件(2)质点在b处不脱落圆环，初始速度应该满足什么条件?(3)质点在0<q<p的运动过程中不脱落圆环，初始速度应该满足的条件(4)质点在左半圆环，到达b点，再由右半圆环回到a点，初始速度应该满足的条件。【例题】如图,在竖直平面内有一半径为R的固定的绝缘的光滑圆环，在圆环外侧有一个光滑园槽。空间中有垂直环面的水平均匀磁场B。一个质量为m的带电为q>0的质点，初始时位于圆环最高点a处，以初速度v0沿水平方向向左运动，如果在以后的运动中质点能够沿圆环外侧不脱落圆环，达到圆环最低点b。试计算(1)质点在a点不脱落圆环，初始速度满足的条件(2)质点在b处不脱落圆环，初始速度应该满足什么条件?(3)质点在0<q<p的运动过程中不脱落圆环，初始速度应该满足的条件(4)质点在左半圆环，到达b点，再由右半圆环回到a点，初始速度应该满足的条件。 山东大学刘希明辅导物理竞赛

15. 【分析求解】(1)质点受到重力、圆环约束力N,方向沿着半径指向外，以及洛伦兹力作用，不脱落圆环的条件是 。在最高点a点不脱落的条件是 N a v0 × × × × × mg × × × × × × × × × × × × × O × × × × R × q × × × × × × × × × × × × × × × × × 整化为 b × × 利用求根分解因式 解此不等式,得 山东大学刘希明辅导物理竞赛

16. 其中方程的两个根分别是 题目给出初始速度v0>0的限制，因此初始速度满足的条件是 (1) (2)设质点到达最低点b处的速度大小为v,则机械能守恒得到 (2) 山东大学刘希明辅导物理竞赛

17. 同样按照条件 。这里法向动力学方程得到 整理为 求根分解因式得 得到不等式 (3) 其中两个根分别是 山东大学刘希明辅导物理竞赛

18. 可见两个根都是大于零的。由此把(3)式两边平方可见两个根都是大于零的。由此把(3)式两边平方 把(2)式能量守恒代入得初始速度满足的条件 (4) 但其中 山东大学刘希明辅导物理竞赛

19. 因此质点到达最低点b处不脱落，初始速度满足的条件是因此质点到达最低点b处不脱落，初始速度满足的条件是 (5) (3)质点在左半圆环q处不脱离，设此处速度为v,仍然按照条件 讨论.机械能守恒得到 (6) 不脱离的条件是 (7) 同样的方法得到不等式 山东大学刘希明辅导物理竞赛

20. (8) 其中两个根分别是 讨论：如果 则上面的解 （8)式改为 把(6)式机械能守恒代入，以及v0>0的要求，得到 (9) 讨论：如果 则上面的解 ,（8)式改写为 (10) 山东大学刘希明辅导物理竞赛

21. 把(10)式进一步利用机械能守恒(6)式得到 把v1代入该式左端得到 又因为 ，所以上式中 山东大学刘希明辅导物理竞赛

22. 因而左端 这样得到两种夹角范围初始速度满足的条件是( ) 代进v2的表示得到这个条件是 (12) 这个条件对于两种角度范围都成立。 为了满足质点在左半圆环都不脱离，(12)式右端应该取最小值。易见q=0满足最小值条件。得到初始速度满足的条件是 山东大学刘希明辅导物理竞赛

23. (11) (4)质点返回到最高点不脱离的条件根据对称性质，这个条件就是(11)式。 山东大学刘希明辅导物理竞赛

24. 【例题】在天花板的O点悬挂一个光滑的轻质小环P,小环可绕固定点O自由转动，长度为l的轻绳穿过小环P，其两端分别连接质量为m1与m2的小球A1与A2，已知m1>m2。设两个小球同时做圆锥摆运动，在任意时刻两个小球均在同一个竖直平面内，旋转的角速度是 O P l2 (1)计算两个小球到p的距离l1与l2. l1 f2 f1 (2)计算两个小球与细绳构成系统所受外力对P点的力矩之和。 m1 m2 (3)计算系统对P点的角动量。以及守恒角动量的大小。 山东大学刘希明辅导物理竞赛

25. 【解】如图所示，两个小球连线与竖直方向夹角分别是f1与f2，小球m1与m2的分别受到重力mg与绳子张力T的作用，两球通过绳子连接受张力相等。满足方程 T (1) O f P l2 l1 f2 mg f1 m1 m2 由此得到 (2) 因为角速度相同，进而得到 (3) 山东大学刘希明辅导物理竞赛

26. 结果表明两个小球到P点的垂直距离相等。因为两球通过细绳连接，受张力相等，得到关系结果表明两个小球到P点的垂直距离相等。因为两球通过细绳连接，受张力相等，得到关系 改写成为 (4) 联立(3)(4)得到 (5) 但存在关系 (6) 利用(5)(6)求出 (7) 山东大学刘希明辅导物理竞赛

27. 【解】(2)计算两个小球与细绳构成系统所受外力对P点的力矩之和。两个小球的重力对P点的力矩方向相反。设指向外面为正方向，则按定义【解】(2)计算两个小球与细绳构成系统所受外力对P点的力矩之和。两个小球的重力对P点的力矩方向相反。设指向外面为正方向，则按定义 则 方向指向内, 方向指向外。 O 利用(7)式摆线长度的结果得到 P l2 l1 f2 f1 利用(2)式可求出 m2 m1g 山东大学刘希明辅导物理竞赛

28. 进而求出 已知m1>m2,则 力矩的方向指向外为正，得到 至于绳子张力因为力的作用线过P点，力矩为零。 山东大学刘希明辅导物理竞赛

29. 【解】(3) 系统对P点的角动量 按照角动量的定义 J1 P 对于质点m1如图可知 f1 l1 v1 m1 图示位置速度v1方向指向版面内，l1的方向由P指向质点，则角动量方向如图所示 同理可以求出m2相对P的角动量 质点做圆锥运动时角动量的方向也随之改变。 山东大学刘希明辅导物理竞赛

30. 角动量在竖直方向的分量是 J1 P f1 l1 v1 m1 山东大学刘希明辅导物理竞赛

31. 由以上分析知道两个小球在同一个水平面内做半径不同，角速度相同的圆周运动，角动量沿着竖直方向分量守恒。由以上分析知道两个小球在同一个水平面内做半径不同，角速度相同的圆周运动，角动量沿着竖直方向分量守恒。 P f1 l1 v1 两个质点角动量的水平分量方向相反，总的水平分量是 m1 虽然这个分量的大小不变，但方向在改变，因此角动量的水平分量不守恒！重力在水平方向的力矩不为零！ 山东大学刘希明辅导物理竞赛

32. 【例题】如图两根不可伸长的柔软的细绳，长度分别是l1与l2，且l1<l2，其上端各有小圆环A与B挂在水平横杆上可以滑动，静摩擦系数分别是m1与m2，其下端联结于C处，悬挂一个质量m的质点。试求各种m1与m2取值下系统达到平衡时AB之间的距离。【例题】如图两根不可伸长的柔软的细绳，长度分别是l1与l2，且l1<l2，其上端各有小圆环A与B挂在水平横杆上可以滑动，静摩擦系数分别是m1与m2，其下端联结于C处，悬挂一个质量m的质点。试求各种m1与m2取值下系统达到平衡时AB之间的距离。 A B l1 l2 C m 力学系统处于平衡状态的条件：所受合力为零，所受合力矩为零，系统处于静止状态。进一步还要讨论系统平衡的稳定性。 静摩擦系数可能的取值是m=0或者m>0.需要通过受力分析与讨论，得到可能的平衡状态，进一步求出AB的长度。 山东大学刘希明辅导物理竞赛

33. 【解(1)】 如图AB=0时(A与B重合)，AC连线沿竖直线方向，此时细绳AC拉直，BC松弛。重力mg与绳子AC的张力T相等。这种平衡与摩擦系数的取值无关！ A B l1 l2 当小环B离开A到达横杆右边某位置时，如果满足条件 C m (1) A B 由于细绳BC没有质量，系统受到小球的重力mg与绳子AC的张力T相互平衡外，没有任何其他外力作用，系统仍然处于平衡状态。这种平衡与小环的摩擦系数无关。 l1 l2 C m 山东大学刘希明辅导物理竞赛

34. 设小环B再向右移动一段小距离Dx,上面条件(1)不再满足。AB长度表示为设小环B再向右移动一段小距离Dx,上面条件(1)不再满足。AB长度表示为 A F2 B 小环B受到沿细绳BC方向张力作用T2,张力T2在竖直方向分力、向左的水平分力以及静摩擦力分别是 f2 q2 T2 N2 C m 如果小环B在水平方向的力满足关系 平衡被破坏，质点B返回向左运动。 山东大学刘希明辅导物理竞赛

35. 利用以上力的表示及几何关系求出摩擦系数满足关系利用以上力的表示及几何关系求出摩擦系数满足关系 A B q2 T2 时，小环B将返回左向运动，系统的平衡状态被破坏。 同样小环A受到沿着AC方向张力T1作用，其平衡状态同样与张力T1以及摩擦力f1之间的关系决定。但T1近似沿着竖直方向，其水平分力小于静摩擦力，因而不发生滑动。对于一种极端情况：m1=0,此时小环将沿着AB杆滑动。平衡状态被破坏。 C m 山东大学刘希明辅导物理竞赛

36. 总之在条件 或者 系统的平衡状态是：AC连线沿竖直方向,AB 之间距离范围是 【解(2)】问题成为，讨论在以下条件时系统的平衡问题 山东大学刘希明辅导物理竞赛

37. 如图所示系统处于平衡状态。分别分析环A与B的受力情况。如图所示系统处于平衡状态。分别分析环A与B的受力情况。 A D B 环A受到张力、水平分力与摩擦力作用,分别是 F1 q2 q1 f1 f1 f2 T1 T2 C m 当AB距离继续增大，达到条件 可见当杆AB距离再变大(距离DC变小时)时,使得tgf1的值满足上面条件时环A将沿着杆向内滑动而不再静止,系统不再平衡。 山东大学刘希明辅导物理竞赛

38. 同理分析环B的受力情况.得到环B发生滑动的条件是同理分析环B的受力情况.得到环B发生滑动的条件是 进一步分析这两个条件满足时需要具备的条件。 山东大学刘希明辅导物理竞赛

39. 如图夹角f1与f2在几何条件下相互联系，用h表示C到AB杆的距离，则如图夹角f1与f2在几何条件下相互联系，用h表示C到AB杆的距离，则 A D B q2 q1 f1 f2 h T1 T2 C m 由正弦定理得到 当AB距离增大时，夹角q1与q2都减少，夹角f1与f2则随着增大,其正切函数值也增大。而环Ａ和环Ｂ首哪一个先滑动或同时滑动取决于那个条件首先满足 山东大学刘希明辅导物理竞赛

40. 设Ａ环开始滑动时,h用hA表示,则得到 A D B q2 q1 f1 f2 h T1 T2 C 设B环开始滑动时,h用hB表示,同样得到 m 可以通过比较杆AB增长过程中，通过距离hA与hB来判断哪个环首先滑动，进而求的AB的长度。 山东大学刘希明辅导物理竞赛

41. (1)如果 ,首先达到A球滑动的条件。由以上各式得到关系 A D B q2 q1 f1 f2 h T1 T2 C m 以及关系 山东大学刘希明辅导物理竞赛

42. 进一步求出AB的长度是 总之，在条件 系统保持平衡状态，AB的长度限制为 山东大学刘希明辅导物理竞赛

43. (2)如果 ,由以上各式得到关系 小环B首先滑动，系统失去平衡状态。此时有关系 以及关系 山东大学刘希明辅导物理竞赛

44. 进一步求出AB的长度是 总之，在条件 系统保持平衡状态，AB的长度限制为 山东大学刘希明辅导物理竞赛

45. 讨论：如果满足条件 则给出关系 ，两个小环将同时滑动, 此时AB的距离是 保持系统力学平衡的条件是 山东大学刘希明辅导物理竞赛

46. 【例题】质量M的宇航站载有质量m的卫星一起绕地球做半径nR的圆周运动，R是地球的半径，n=1.25。在园轨道某位置上，沿着运动方向卫星被射出后做椭圆运动，其远地点到地心的距离为8nR,卫星绕地球一周后正好与宇航站相遇，问两者的质量比值m/M多大？【例题】质量M的宇航站载有质量m的卫星一起绕地球做半径nR的圆周运动，R是地球的半径，n=1.25。在园轨道某位置上，沿着运动方向卫星被射出后做椭圆运动，其远地点到地心的距离为8nR,卫星绕地球一周后正好与宇航站相遇，问两者的质量比值m/M多大？ R nR 山东大学刘希明辅导物理竞赛

47. 【解】卫星被射出前，在地球引力下做圆周运动，速度为u【解】卫星被射出前，在地球引力下做圆周运动，速度为u (1) 设在圆周轨道上C点，卫星m被射出后，卫星速度为v，宇航站M的速度为V，则动量守恒 (2) 此后卫星与宇航站分别以速度v与V绕地球做椭圆运动。假设两者速度方向相同。 山东大学刘希明辅导物理竞赛

48. 万有引力作用下园轨道、椭圆轨道的讨论 半径R0园运动的能量与运动方程分别是 m M 求出园轨道的能量 椭圆轨道的能量与长半径有关是 山东大学刘希明辅导物理竞赛

49. 在轨道上某处质点m速度有所增加，但总能量小于零，园轨道变成椭圆轨道。必有关系在轨道上某处质点m速度有所增加，但总能量小于零，园轨道变成椭圆轨道。必有关系 这个位置是新椭圆轨道的近地点。按照几何关系得到 如果质点的速度有所减少，总能量减少。园轨道成为椭圆轨道。但是 ，这个位置是椭圆轨道的远地点，且 m M 山东大学刘希明辅导物理竞赛

50. 因为M>m,则V<v。即C点是M的远地点，是m的近地点。用rm表示椭圆轨道的近地距，rM表示远地距，存在基本关系：因为M>m,则V<v。即C点是M的远地点，是m的近地点。用rm表示椭圆轨道的近地距，rM表示远地距，存在基本关系： v V C 8nR R 用r表示M的近地距离，其远地距为圆周轨道半径，则长半径是 nR (3) 卫星的近地、远地距分别是nR与8nR,则 (4) 山东大学刘希明辅导物理竞赛