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数值分析 第三章 非线性方程的数值解法

数值分析 第三章 非线性方程的数值解法. 数学与统计学院. 简介（ Introduction）. 我们知道在实际应用中有许多非线性方程的例子，例如 （1）在光的衍射理论（ the theory of diffraction of light) 中,我们需要求 x-tanx=0 的根 （2）在行星轨道（ planetary orbits） 的计算中,对任意的 a 和 b， 我们需要求 x-asinx=b 的根 （3） 在数学中，需要求 n 次多项式 x n + a 1 x n-1 +...+ a n-1 x + a n ＝0 的根. 求 f(x)=0 的根.

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数值分析 第三章 非线性方程的数值解法

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Presentation Transcript

  1. 数值分析第三章 非线性方程的数值解法 数学与统计学院

  2. 简介（Introduction） • 我们知道在实际应用中有许多非线性方程的例子，例如 • （1）在光的衍射理论（the theory of diffraction of light)中,我们需要求x-tanx=0的根 • （2）在行星轨道（ planetary orbits）的计算中,对任意的a和b，我们需要求x-asinx=b的根 • （3） 在数学中，需要求n次多项式xn + a1xn-1+...+an-1 x + an＝0的根 求f(x)=0的根

  3. §3.1 对分区间法 (Bisection Method ) 原理：若 f(x)C[a, b]，且 f (a) · f (b) < 0，则f(x)在 (a, b) 上必有一根。

  4. 或 a b 停机条件（termination condition ）： a2 a1 x1 x* b1 x2 b2

  5. 误差 分析： 第1步产生的 有误差 第 k 步产生的 xk 有误差 对于给定的精度  ,可估计二分法所需的步数 k ：

  6. 例1 用二分法求 在(1,2)内的根，要求绝对误差不超过 解： f(1)=-5<0 有根区间中点 f(2)=14>0 -(1,2)+ f(1.25)<0 (1.25,1.5) f(1.375)>0 (1.25,1.375) f(1.313)<0 (1.313,1.375) f(1.344)<0 (1.344,1.375) f(1.360)<0 (1.360,1.375) f(1.368)>0 (1.360,1.368) f(1.5)>0 (1,1.5)

  7. 例2，求方程f(x)= x 3 –e-x =0的一个实根。 因为 f(0)<0,f(1)>0。 故f(x)在(0,1)内有根 用二分法解之，(a,b）=（0,1)’计算结果如表： k a bk xk f(xk)符号 0 0 1 0.5000 － 1 0.5000 － 0.7500 － 2 0.7500 － 0.8750 ＋ 3 － 0.8750 0.8125 ＋ 4 － 0.8125 0.7812 ＋ 5 － 0.7812 0.7656 － 6 0.7656 － 0.7734 ＋ 7 － 0.7734 0.7695 － 8 0.7695 － 0.7714 － 9 0.7714 － 0.7724 － 10 0.7724 － 0.7729 ＋ 取x10=0.7729，误差为| x* -x10|<=1/211 。 12

  8. Remark1：求奇数个根 Find solutions to the equation on the intervals [0, 4]，Use the bisection method to compute a solution with an accuracy of 10－7. Determine the number of iterations to use..

  9. [0,1], [1.5, 2.5] and [3,4]， 利用前面的公式可计算 迭代次数为k=23.

  10. Remark2:要区别根与奇异点 Consider f(x) = tan(x) on the interval (0,3).Use the 20 iterations of the bisection method and see what happens. Explain the results that you obtained.（如下图）

  11. Remark3:二分发不能用来求重根

  12. §3.2 单个方程的迭代法 等价变换 f (x) = 0 x = g (x) f (x) 的根 g (x) 的不动点 f(x)=0化为等价方程x=g(x)的方式是不唯一的,有的收敛,有的发散 For example：2x3-x-1=0

  13. (1)如果将原方程化为等价方程 取初值 由此可见，这种迭代格式是发散的

  14. (2) 如果将原方程化为等价方程 仍取初值 依此类推,得 x3 = 0.9940 x4 = 0.9990 x5 = 0.9998 x6 = 1.0000 x7 = 1.0000 同样的方程 ⇒ 不同的迭代格式 有不同的结果 什么形式的迭代法能够收敛呢? 已经收敛,故原方程的解为 x = 1.0000

  15. 收敛性分析 定义2若存在常数(0≤ <1),使得对一切x1,x2∈［a,b］, 成立不等式 |g(x1)-g(x2)|≤  |x1-x2|， (5) 则称g(x)是［a,b］上的一个压缩映射， 称为压缩系数

  16. 定理3.2.1 考虑方程 x = g(x), g(x)C[a, b], 若 ( I ) 当 x[a, b] 时， g(x)[a, b]； ( II )在［a,b］上成立不等式：|g(x1)-g(x2)|≤  |x1-x2|。 则（1）g在［a,b］上存在惟一不动点x* （2）任取 x0[a, b]，由 xk+1 = g(xk) 得到的序列 {xk}（［a,b】） 收敛于x*。 （3）k次迭代所得到的近似不动点xk与精确不动点x*有有误差估计式：

  17. §3 Fixed-Point Iteration 证明：① g(x) 在[a, b]上存在不动点？ 令G(x)=g(x)-x, x∈［a,b］，由条件①知G(a)=g(a)-a≥0, G(b)=g(b)-b≤0. 由条件②知G(x)在［a,b］上连续，又由介值定理知 存在x*∈［a,b］，使G(x*)=0，即x*=g(x*).  ② 不动点唯一？ 若有x′∈［a,b］,满足g(x′)=x′，则 |x*-x′|=|g(x*)-g(x′)|≤  |x*-x′|. 因0≤ <1，故必有 x′=x*  ③ 当k  时，xk 收敛到 x* ？ |xk-x*|=|g(xk-1)-g(x*)|≤  |x k-1-x*| ≤ 2|xk-2-x*| ≤… ≤ k|x0-x*|0, 

  18. §3 Fixed-Point Iteration 可用 来控制收敛精度 (4) |xk-x*|=|g(xk-1)-g(x*)|≤  |x k-1-x*| ≤  （|xk-xk-1|+|xk-x*|）, 故有 |xk-x*| ≤ /(1-)|xk-xk-1|. 这就证明了估计式(6).  (5) |xk-xk-1|= |g(xk-1)-g(xk-2)| ≤  |x k-1-xk-2|≤…≤ k-1|x1-x0| 联系估计式(6)可得  |xk-x*| ≤ k-1/(1-)|x1-x0|. 即估计式(7)成立  越小，收敛越快

  19. Remark： 定理条件非必要条件，而且定理3.2.1中的压缩条件不好验证，一般来讲， 若知道迭代函数g(x)∈C1『a,b］,并且满足|g′(x)|≤  ≤1,对任意的x∈［a,b］, 则g（x)是［a,b］上的压缩映射

  20. 例题 • 已知方程2x-7-lgx＝0，求方程的含根区间，考查用迭代法解此方程的收敛性。

  21. 在这里我们考查在区间[3.5,4]的迭代法的收敛性在这里我们考查在区间[3.5,4]的迭代法的收敛性 • 很容易验证：f(3.5)<0,f(4)>0 • 将方程变形成等价形式：x＝(lgx+7)/2 由定理3.2.1知，迭代格式xk+1＝(lgxk+7)/2 在[3.5,4]内收敛

  22. 局部收敛性定理 定理3.2.2设x*为g的不动点，g(x)与g′(x)在包含x*的某邻域U(x*) (即开区间)内连续，且|g′(x*)|<1,则存在>0，当x0∈［x* -  ，x*+ ］时，迭代法(3)产生的序列{xk} ［x* -  ，x*+ ］且收敛于x*. 证明略（作为练习） We don’t know x*,how do we estimate the inequality？

  23. 举例 用一般迭代法求x3-x-1=0的正实根x* 容易得到：g′(x)在包含x*的某邻域U(x*) 内 连续，且|g′(x*)|<1

  24. 例题 用一般迭代法求方程x-lnx＝2在区间（2，）内的根，要求|xk-xk-1|/|xk|<=10-8 解：令f(x)=x-lnx-2 f(2)<0,f(4)>0,故方程在（2,4）内至少有一个根

  25. 将方程化为等价方程：x＝2＋lnx 因此， x0（2，），xk+1＝2＋lnxk产生的序列 xk 收敛于X* 取初值x0＝3.0,计算结果如下：

  26. 7 3.146143611 8 3.146177452 9 3.146188209 10 3.146191628 11 3.146192714 12 3.146193060 13 3.146193169 14 3.146193204 k xi 0 3.000000000 1 3.098612289 2 3.130954362 3 3.141337866 4 3.144648781 5 3.145702209 6 3.146037143

  27. 另一种迭代格式： 0 3.000000000 1 3.147918433 2 3.146193441 3 3.146193221

  28. 程序演示 由此可见，对同一个非线性方程的迭代格式，在收敛的情形下，有的收敛快，有的收敛慢。

  29. 迭代法的收敛阶(收敛速度) 定义1. :设序列{xk}收敛于x*，若存在p≥1和正数c， 使得成立 则称{xk}为 p 阶收敛的 特别, p = 1，要求c<1, 称线性收敛; 1<p<2,称超线性收敛 p=2,称平方收敛。

  30. 定理3.2.3 • 设x*为g的不动点，p≥2为正整数，g在x*的某邻域Ｕ(x*)内p阶连续可微，且 • g′(x*)=g″(x*)=…=g (p-1)(x*)=0，而g(p)(x*)≠0， • 则存在>0，当x0∈ ［x* -  ，x*+ ］ (x0≠x*)时，由迭代法(3)产生的序列｛xk｝以p阶收敛速度收敛于x*.

  31. Prove: • (1)由g′(x*)=0必存在>0，当x0∈ ［x* -  ，x*+ ］ U(x)时，由迭代格式(3)产生的序列{xk}收敛于x*,并有xk∈ ［x* -  ，x*+ ］ • (2)由泰勒公式有xk+1=g(xk)=g(x* ）＋g′(x*)(xk- x*)+…+g (p-1) (x*)(xk-x*) p-1/(p-1)! + g (p)(x*+ (xk-x*))(xk-x*) p /p! ，0<<1.  • 利用g在x*的各阶导数条件及g(x*)=x*,上式可改写成 (11)

  32. (3)由于g在x*处p阶连续可微且g(p)(x*)≠0，知必存在x*的某邻域Ｕ(x*)，当x∈U(x*)时，有g (p) (x)≠0. • 由于x*+ (xk-x*) ∈ ［x* -  ，x*+ ］ U(x*)，故 • g (p)(x*+ (xk-x*)) ≠0，k=0，1,2,…. • 可见，当初值x0≠x*时，由(11)式可推出诸xk≠x* • 于是由(11)式有 • 上式令k→∞取极限. 即{xk}有p阶收敛速度.

  33. 作业（homework) P159：第二题 P160：第三题

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