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自我評量

自我評量. 等腰梯形. 梯形中線. 等腰梯形. 我們知道梯形是一組對邊平行 ，另一組對邊不平行的四邊形 ；其不平行的對邊稱為梯形的 兩腰。當梯形的兩腰等長時， 就稱該梯形為 等腰梯形 。如圖 4-9 ，梯形 ABCD 中， // ， ＝ ，梯形 ABCD 即為等腰梯形。. 1 等腰梯形的性質. 如右圖，等腰梯形 ABCD 中， // ， ＞ ， ＝ 。請在下面的空格內填入適當的文字或符號，說明∠ A ＝∠ B ，∠ C ＝∠ D 。. 說明.

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Presentation Transcript

  1. 自我評量 等腰梯形 梯形中線

  2. 等腰梯形 我們知道梯形是一組對邊平行 ，另一組對邊不平行的四邊形 ；其不平行的對邊稱為梯形的 兩腰。當梯形的兩腰等長時， 就稱該梯形為等腰梯形。如圖4-9，梯形ABCD 中， // ， ＝ ，梯形ABCD 即為等腰梯形。

  3. 1 等腰梯形的性質 如右圖，等腰梯形ABCD 中， // ， ＞ ， ＝ 。請在下面的空格內填入適當的文字或符號，說明∠A＝∠B，∠C＝∠D。

  4. 說明 如右圖，分別過C、D 兩點作梯形 的高 、 ， 在△ADE 和△BCF 中， 因為______________，（已知） ______________，（兩平行線間距離相等） ______________＝90°， 所以△ADE △BCF，（根據______全等性質） 故∠A＝∠B。（對應角） ∠AED＝∠BFC RHS

  5. 說明 又因為 // ， 所以∠ADC＝180°－∠A （同側內角互補） ＝180°－∠B（∠A＝∠B） ＝∠BCD（同側內角互補） 故∠BCD＝∠ADC。

  6. 承例題1，連接 、 兩對 角線。請在下面的空格內填入 適當的文字或符號，說明 ＝ 。（對角線等長） 說明： 在△ABD和△BAC中，因為 ＝_____ ，(已知) ∠BAD＝______，（例題1可知） _____________ ，（公用邊） 所以△ABD △BAC，（根據______全等性質） 故 ＝ 。（對應邊） ∠ABC SAS

  7. 由例題1與隨堂練習可知： 等腰梯形ABCD 中，若 // ，則∠A＝∠D，∠B＝∠C，且 ＝ 。

  8. 2 等腰梯形性質的應用 如右圖，等腰梯形ABCD 中， // ，∠B＝60°，∠ACD＝30°，求∠ACB 與∠D。 ∠ACB＝∠DCB－∠ACD ＝∠B－30°(等腰梯形∠DCB＝∠B) ＝60°－30°＝30° ∠D＝180°－∠DCB（同側內角互補） ＝180°－60°＝120° 解

  9. 在例題2中，若知 ＝ ＝3， ＝6，求： (1)∠BAC 與∠DAC。 (1)∠ACB ＝∠DCB－∠DCA＝∠ABC－∠DCA ＝60°－30°＝30° ∠BAC ＝180°－∠ABC－∠ACB ＝180°－60°－30°＝90° ∠DAB ＋∠ABC＝180°（同側內角互補） （∠DAC＋∠BAC）＋∠ABC＝180° （∠DAC＋90°）＋60°＝180°，∠DAC＝30°

  10. ＝ ＝3 （因為∠DAC＝∠DCA＝30°） (2) 與 的長

  11. 3 等腰梯形性質的應用 如右圖，等腰梯形ABCD 中， // ， ＝13， ＝28， ＝38，且 與 分別垂直 於E、F 兩點，求： (1) 的長 (2) 的長 (3)等腰梯形ABCD的面積。

  12. (1)因為△ABE △DCF（RHS 全等），所以 ＝ （對應邊）。 又 ＝ ＝28，（矩形對邊相等） 所以 ＝ ＋ ＋ 38＝ ＋28＋ 38＝2‧ ＋28 ＝（38－28）÷2＝5 解 ＝

  13. 解 (2) (3) 梯形ABCD 面積 ＝（28＋38）‧12÷2 ＝396 (上底＋下底)‧高÷2

  14. 1.如右圖，等腰梯形ABCD 的面積為28，且 ＝4， ＝10，求 與 的長

  15. ＝（ － ）÷2 （因為△ABE △DCF，‾BE ＝‾CF ） ＝（ － ）÷2（矩形對邊相等） ＝（10－4）÷2 ＝ 3 （△ABE為直角三角形）

  16. 2.如右圖，等腰梯形ABCD 中， ＝ ＝ ＝ ＝ ＝1，求∠AED與梯形ABCD 的面積。

  17. (1) // ，且 ＝ ， 所以四邊形ADEB 為平行四邊形， 故 ＝ ＝1。 同理，四邊形ADCE 為平行四邊形， 故 ＝ ＝1。 ＝ ＝ ＝1， 所以△ADE 為正三角形，∠AED＝60°。

  18. (2) 作 ⊥ 於H，由勾股定理得 梯形ABCD面積

  19. 梯形中線 梯形兩腰中點的連接線段 稱為梯形的中線。 如圖4-10，梯形ABCD 中， // ，且E、F 分別為 與 的中點， 即為梯形ABCD 的中線。 圖4-10

  20. 4 梯形中線作圖 如右圖，梯形ABCD 中， // ，請用尺規作圖 畫出其中線 。

  21. (1)作 的中垂線L，交 於E 點。 (2)作 的中垂線M，交 於F 點。 (3)連接 ，則 即為所求。 作法

  22. 作法： (1)作 的垂直平分線L， 交 於E 點。 (2)作 的垂直平分線M， 交 於F 點。 (3)連接 ，則 即為所求。 請用尺規作圖畫出右圖等腰梯形ABCD 的中線。

  23. 5 梯形中線應用 如右圖，梯形ABCD中， 為中線， ＝3， ＝5，且四邊形ABFE的周長為10，求四邊形EFCD 的周長。

  24. 解 （ABFE 的周長為10） 四邊形EFCD 周長 （E、F 為 、 中點）

  25. 如右圖，梯形ABCD 中， 為中線， ＝ ，且四邊形EFCD的 周長比四邊形ABFE 的周長多 ，求 的長。

  26. 四邊形EFCD的周長＝四邊形ABFE的周長＋ （因為 ， ）

  27. 接著我們來介紹梯形中線與其上、下底之間的關係。接著我們來介紹梯形中線與其上、下底之間的關係。 6 梯形中線性質 如右圖，梯形ABCD 中， // ， 為中線。請在下面的空格內填入適當的文字或符號，說明 // (或 )且 ＋ ＝2‧ 。

  28. 說明 (1)過F點作 //，分別交直線 AD與直線BC 於P、Q 兩點， 所以 。 （ABQP為平行四邊形，對邊相等） 在△DFP和△CFQ中，因為_______，(對頂角) ____________，（F 為 中點） ____________，（內錯角） 所以△DFP △CFQ，（根據____全等性質） 故 ， 。（對應邊） ∠1＝∠2 ∠3＝∠4 ASA

  29. 說明 (2)因為 ＝ ‧ （ ） ＝ ‧ （ ） ＝ ______（E 為 中點） 又 // ，（ // ） 所以四邊形AEFP為平行四邊形，(對邊平行且相等) 故 ，且 。 同理，EBQF 為平行四邊形，所以 ，且 。

  30. 說明 (3) 故

  31. 由例題6 可知，梯形中線與其上、下底有下列關係： (1)梯形中線會與上、下底平行。 (2)上底＋下底＝2‧梯形中線長，或梯形中線長＝（上底＋下底）÷2。

  32. 7 梯形中線性質的應用 如右圖，梯形ABCD 中， ＝8， ＝6，∠B＝104°，求中線 的長與∠BEF。

  33. 梯形中線長＝（上底＋下底）÷2 所以 ＝（ ＋ ）÷2 ＝（6＋8）÷2 ＝7 解 ∠BEF＝180°－∠B （ ，同側內角互補） ＝180°－104° ＝76°

  34. ＝（ ＋ ）÷2 7.5＝（6＋ ）÷2 ＝9 ∠C＝∠DEF（同位角相等） ＝ 58° 如右圖，梯形ABCD 中， ＝6，中線 ＝7.5，∠DEF＝58°，求 的長與∠C。

  35. 在國小的時候，我們曾利用切割拼補的方式得知梯形面積公式為（上底＋下底）‧高÷2，而這個公式也可由三角形面積公式來推得：在國小的時候，我們曾利用切割拼補的方式得知梯形面積公式為（上底＋下底）‧高÷2，而這個公式也可由三角形面積公式來推得： 圖4-11

  36. 如圖4-11，梯形ABCD 中， ，高為h。連接 ，可得 梯形ABCD面積＝△ABD面積＋△BCD面積

  37. 即梯形ABCD面積＝（上底＋下底）‧高÷2。 由例題6已知：上底＋下底＝2‧梯形中線長， 所以梯形面積＝（上底＋下底）‧高÷2 ＝2‧梯形中線長‧高÷2 ＝梯形中線長‧高

  38. 8 梯形中線與面積關係 如右圖，梯形ABCD 中，∠B＝∠C＝90°， ＝6，中線 ＝8.5，求梯形ABCD 的面積。 解 梯形ABCD 面積 ＝ ‧ ＝8.5‧6 ＝51 梯形面積＝梯形中線長‧高

  39. 梯形ABCD 面積＝ ‧ 63＝ ‧7 ＝9 如右圖，梯形ABCD 的面積為63， ⊥ ，且 ＝7。 (1)求梯形中線 的長。

  40. ＝（ ＋ ）÷2 9＝（ ＋ ）÷2 ＋ ＝18 如右圖，梯形ABCD 的面積為63， ⊥ ，且 ＝7。 (2)求＋。

  41. 1.梯形：梯形是一組對邊平行，另一組對邊不 平行的四邊形；其不平行的對邊稱為梯形的 兩腰。當梯形的兩腰等長時，就稱該梯形為 等腰梯形。 2.等腰梯形的性質： 如右圖，等腰梯形ABCD 中， ，∠A＝∠D， ∠B＝∠C，且＝ 。

  42. 3.梯形中線：梯形兩腰中點的連接線段稱為梯形的中線。3.梯形中線：梯形兩腰中點的連接線段稱為梯形的中線。 4.梯形中線性質： (1)梯形中線會與上、下底平行。 (2)上底＋下底＝2‧梯形中線長，或梯形中線長＝（上底＋下底）÷2。 5.梯形中線與面積關係： 梯形面積＝（上底＋下底）‧高÷2＝梯形中線長‧高

  43. 4-3自我評量 梯形ABCD 面積＝ 1.如右圖，等腰梯形ABCD的面積為238，且 ＝10， ＝14，求 與 的長。

  44. ＝（ － ）÷2 (因為△ABE △DCF， ＝ ) ＝（ － ）÷2 （矩形對邊相等） ＝（24－10）÷2 ＝7 （△ABE 為直角三角形）

  45. 2.如右圖，等腰梯形ABCD中， ，∠A＝∠B，M 為 中點。請在下面的空格內填入適 當的文字或符號，說明 。 說明： 在△ADM 和△BCM 中， 因為_____________，（M 為 中點） _____________，（已知） _____________，（已知） 所以△ADM △BCM，（根據____全等性質） 故_____________。（對應邊） ∠A＝∠B SAS

  46. 設 ＝x 所以 ＝ ＋ ＝2＋ （矩形對邊相等） ＝2＋x 由 ＝（ ＋ ）÷2 得5＝（2＋x＋x）÷2，x＝4 所以 ＝4。 3.如右圖，梯形ABCD 中， ，中線 ＝5，∠B＝90°， 於H， ＝2，求 的長。

  47. 梯形ABCD 面積＝ ‧ 15＝5‧ ＝3 ＝ ＝3（矩形對邊相等） （△AHD為直角三角形） 梯形ABCD 周長＝ ＋ ＋ ＋ ＝6＋3＋4＋ ＝13＋ 4.承上題，若已知梯形ABCD的面積為15，求其周長。

  48. 5.右圖梯形ABCD中，中線 與 相交於M。請在下面的空格內填入適當的文字或符號，說明 （M 為 中點）。說明： (1)過M點作 ，分別交直線AD與直線BC 於P、Q 兩點。 因為 為__________， 所以 （或 ）， 故四邊形AEMP 與EBQM 均為_________形。 中線 平行四邊

  49. (2)在△GMP 和△HMQ 中， 因為___________，（對頂角） ___________，（內錯角） （對邊相等） ＝ （E 為 中點） ＝ ___________ （對邊相等） 所以△GMP △HMQ，(根據_____全等性質) 故 。（對應邊） ∠1＝∠2 ∠3＝∠4 ASA

  50. 數學謎題64＝65？ 下面圖一為邊長8的正方形，依不同顏色剪成4 塊，再按圖二拼湊，看起來似乎可以拼成兩個全等的直角三角形。若以三角形面積公式計算圖二的總面積，再與圖一的正方形面積比較，是否發現不對的地方？

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