第一章三角

第一章三角 綜合練習

一﹑基礎題 請看課本p.80 1. 若海軍某軍艦的雷達上, 出現如右圖的A, B兩個亮點, 試求此兩目標物的距離 • 解： • 方法一 • A, B兩點的極坐標為A[2, 150°] , B[3, 270°], • 所以∠AOB = 270° – 150° =120°, • 由餘弦定理知

一﹑基礎題 請看課本p.80 1. 若海軍某軍艦的雷達上, 出現如右圖的A, B兩個亮點, 試求此兩目標物的距離 • 解：

一﹑基礎題 請看課本p.80 1. 若海軍某軍艦的雷達上, 出現如右圖的A, B兩個亮點, 試求此兩目標物的距離 • 解： • 方法二 • 極坐標其直角坐標為 • 極坐標其直角坐標為 • 所以

一﹑基礎題 請看課本p.80 2. △ABC中, 設∠C = 90°, 若4sinA – sinB = 1, 求sinA. • 解： • ∠A, ∠B互為餘角, 得sinB = cosA, 所以原式亦為4sinA – cosA = 1, • 移項得4sinA – 1 = cosA, • 兩邊平方得16sin2A – 8sinA + 1 = 1 – sin2A, • 化簡得17sin2A – 8sinA = 0, 因式分解得sinA(17sinA – 8) = 0, • 得或sinA = 0（不合）,

一﹑基礎題 請看課本p.80 3. △ABC中, ∠ABC = 60, ∠ABC的角平分線交於D, 已知 , 試求：  △ABC面積. 線段　　的長度. • 解： • △ABC的面積

一﹑基礎題 請看課本p.80 3. △ABC中, ∠ABC = 60, ∠ABC的角平分線交於D, 已知 , 試求：  △ABC面積. 線段　　的長度. • 解： •  設　　= x, • 因為△ABD的面積 +△BCD的面積 =△ABC的面積,

一﹑基礎題 請看課本p.80 3. △ABC中, ∠ABC = 60, ∠ABC的角平分線交於D, 已知 , 試求：  △ABC面積. 線段　　的長度. • 解： • 

一﹑基礎題 請看課本p.80 • 已知四邊形ABCD中, • 線段　　的長.  線段　　的長. • 解： • 在△ACD中, 由餘弦定理得 • 所以　　= 7.

一﹑基礎題 請看課本p.80 • 已知四邊形ABCD中, •  線段　　的長. 線段　　的長. • 解： • 設　　= x, • 在△ABC中, 由餘弦定理得 • 整理得x2 – 8x + 15 = 0, • 因式分解得(x – 3)(x – 5) = 0, • 解得x = 3或x = 5, • 即　　= 3或5.

一﹑基礎題 請看課本p.80 5.如右圖, 平面上兩個直角三角形共斜邊   △ABD的面積. • 解： •  因為△ABC與△ADC皆為直角三角形, • 由畢氏定理知

一﹑基礎題 請看課本p.80 5.如右圖, 平面上兩個直角三角形共斜邊   △ABD的面積. • 解： • 

一﹑基礎題 請看課本p.80 5.如右圖, 平面上兩個直角三角形共斜邊   △ABD的面積. • 解： • △ABD的面積 = 192.

一﹑基礎題 請看課本p.80 6. 氣象局測出在20小時期間, 某颱風中心的位置由恆春東南方400公里的A處, 直線移動到恆春南15°西200公里的B處, 試求：  A, B之間的距離.  此颱風移動的平均速率. • 解： • 依題意先繪製一略圖, • 設恆春為原點O, 如右圖.

一﹑基礎題 請看課本p.80 6. 氣象局測出在20小時期間, 某颱風中心的位置由恆春東南方400公里的A處, 直線移動到恆春南15°西200公里的B處, 試求： A, B之間的距離.  此颱風移動的平均速率. • 解： •  在△OAB中, ∠AOB = 45° + 15° = 60°, • 由餘弦定理得

一﹑基礎題 請看課本p.80 6. 氣象局測出在20小時期間, 某颱風中心的位置由恆春東南方400公里的A處, 直線移動到恆春南15°西200公里的B處, 試求： A, B之間的距離.  此颱風移動的平均速率. • 解： •  整理得 • 所以A, B之間的距離為200 公里.

一﹑基礎題 請看課本p.80 6. 氣象局測出在20小時期間, 某颱風中心的位置由恆春東南方400公里的A處, 直線移動到恆春南15°西200公里的B處, 試求：  A, B之間的距離. 此颱風移動的平均速率. • 解： •  平均速率 = • 所以颱風移動的平均速率為每小時10　公里.

一﹑基礎題 請看課本p.81 7. 某人欲測量河的對岸C, D兩點間的距離, 他在河岸A, B兩觀測站, 分別測得∠CAB = 120°, ∠DAB = 30°, ∠DBA = 135°, ∠CBA = 45°, 且兩觀測站的距離為30公尺, 試求： A, C兩點間的距離. A, D兩點間的距離. C, D兩點間的距離. （sin15° = ）

一﹑基礎題 請看課本p.81 7.A, C兩點間的距離. • 解： • 在△ABC中, • ∠ACB = 180°－ 120°－ 45°=15°, • 由正弦定理得 • 故A, C兩點間的距離為30( +1)公尺.

一﹑基礎題 請看課本p.81 7.A, D兩點間的距離. • 解： •  在△ABD中, ∠ADB = 180° – 135° – 30° = 15°, • 由正弦定理得 • 故A, Ｄ兩點間的距離為30( +1)公尺.

一﹑基礎題 請看課本p.81 7. C, D兩點間的距離. • 解： • 在△ACD中, ∠CAD = 120° – 30° = 90° • 所以△ACD為等腰直角三角形, • =1 : • 故C, D兩點間的距離為30( )公尺.

二﹑進階題 請看課本p.81 1. 如右圖所示, △ABC中, 　　邊上兩點D, E分別與A連線. 若∠ACB =∠ADC = 45°, △ABC, △ABD, △ABE的外接圓半徑分別為R1, R2, R3, 設　　= c. 試以c表示R1, R2.  試比較R1, R2, R3的大小. • 解： • 在△ABC中, 由正弦定理得　　　　= 2R1,

二﹑進階題 請看課本p.81 1. 如右圖所示, △ABC中, 　　邊上兩點D, E分別與A連線. 若∠ACB =∠ADC = 45°, △ABC, △ABD, △ABE的外接圓半徑分別為R1, R2, R3, 設　　= c. 試以c表示R1, R2.  試比較R1, R2, R3的大小. • 解： •  在△ABD中, 由正弦定理得 • 整理得R2 =

二﹑進階題 請看課本p.81 1. 如右圖所示, △ABC中, 　　邊上兩點D, E分別與A連線. 若∠ACB =∠ADC = 45°, △ABC ,△ABD, △ABE的外接圓半徑分別為R1, R2, R3, 設　　= c. 試比較R1, R2, R3的大小. • 解： •  由知R1 = R2. • 在△ABE中, 設∠AEB = θ, • 則45° < θ < 135°, 所以sinθ >

二﹑進階題 請看課本p.81 1. 如右圖所示, △ABC中, 　　邊上兩點D, E分別與A連線. 若∠ACB =∠ADC = 45°, △ABC, △ABD, △ABE的外接圓半徑分別為R1, R2, R3, 設　　= c. 試比較R1, R2, R3的大小. • 解： •  由正弦定理得　　　= 2R3, • 整理得R3 = • 所以R1 = R2 > R3.

二﹑進階題 請看課本p.81 • 2.如右圖所示, 在△ABC中, ∠BAC的平分線　　於D,已知　　　　且　 , 設　 = x , • 試以x表示線段　　的長. • 試求線段　　的長. • 解： •  在△ABC中因為　　平分∠BAC, • 所以：＝：　　, • 即x：　 = 3：6 = 1：2, • 得　　

二﹑進階題 請看課本p.81 • 2.如右圖所示, 在△ABC中, ∠BAC的平分線　　於D,已知　　　　且　 , 設　 = x , • 試以x表示線段　　的長. • 試求線段　　的長. • 解： •  設∠BAD = ∠CAD = θ, • 在△ABD中, 由餘弦定理得 • 整理得　　 

二﹑進階題 請看課本p.81 • 2.如右圖所示, 在△ABC中, ∠BAC的平分線　　於D,已知　　　　且　 , 設　 = x , • 試以x表示線段　　的長. • 試求線段　　的長. • 解： •  在△ACD中, 由餘弦定理得 • 整理得　　 • 由2得x2 = 18, 解得x = 3, • 所以 End

第一章 三角