Uniform Design and its Application

1. Uniform Design and its Application 第十一章 均勻设计及其应用 注：资料来源于中国数学会均匀设计分会

2. 前 言 沐浴在改革开发的阳光下，神州大地生机盎然，新生事物层出不穷。在科教兴国建设社会主义的过程中，人们所熟悉的那些传统的试验设计方法（如对比试验设计、全面试验设计、正交试验设计等），已不能充分满足快节奏高效率的要求。新时期呼唤新思维，新方法。 中国科学家巧妙的将“数论方法”和“统计试验设计”相结合，发明了一种全新的试验设计方法，这就是均匀设计法。 均匀设计法诞生于１９７８年。由中国著名数学家方开泰教授和王元院士合作共同发明。

4. 正交设计可使试验点“均匀分散、整齐可比”，为保证“整齐可比性”，使试验设计的均匀性受到了一定限制，使试验点的代表性还不够强，试验次数不能充分地少。正交设计可使试验点“均匀分散、整齐可比”，为保证“整齐可比性”，使试验设计的均匀性受到了一定限制，使试验点的代表性还不够强，试验次数不能充分地少。 均匀设计是另一种部分实施的试验设计方法。它可以用较少的试验次数，安排多因素、多水平的析因试 验，是在均匀性的度量下最好的析因试验设计方法。它可以使试验点在试验范围内充分地均匀分散，不仅可大大减少试验点，而且仍能得到反映试验体系主要特征的试验结果。

5. 均匀设计方法

6. 下面通过制药工业中的一个实例来说明均匀试验设计方法。下面通过制药工业中的一个实例来说明均匀试验设计方法。 例1.1：阿魏酸的制备 阿魏酸是某些药品的主要成分，在制备过程中，我们想提高阿魏酸产量。 根据试验目的，确定以阿魏酸产量作为试验指标Y。

7. 经过资料查阅，分析研究，选出影响阿魏酸产量的试验因素，确定试验因素水平为：经过资料查阅，分析研究，选出影响阿魏酸产量的试验因素，确定试验因素水平为： 原料配比：1.0---3.4 吡啶总量：10----28 反应时间：0.5---3.5 确定每个因素相应的水平数为7。 如何安排试验? 全面交叉试验要N=73=343次，太多了。 建议使用均匀设计。查阅均匀设计表。　 “方开泰，均匀设计与均匀设计表，科学出版社(1994)” 之附表 1 也可以浏览如下网页： 网络地址:http://www.math.hkbu.edu.hk/UniformDesing

8. 第1步：列出试验因素水平表 表 1.1.1 试验因素水平表

9. 第2步:选择相应的均匀设计表 均匀设计表格式见下，其含义为： 因素数 均匀设计 Un(qs) 试验总次数 因素水平数

10. 例如: 表 1.1.3: 表 1.1.2:

11. 每个均匀设计表都有一个使用表，它将建议我们如何选择适当的列安排试验因素，进行试验设计，这样可以减少“试验偏差”。其中‘偏差’为均匀性的度量值，数值小的设计表示均匀性好。例如U7 (74)的使用表为： 表1.1.2: 表 1.1.4:

12. 第3步:应用选择的UD-表安排试验，设计试验方案第3步:应用选择的UD-表安排试验，设计试验方案 表 1.1.5: 试验方案 1. 将x1, x2和x3放入均匀设计表的1,２和3列； x1 x2 x3 2．用x1的７个水平（值）替代第一列的1到 7； 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4 13 1.5 19 3.0 25 1.0 10 2.5 16 0.5 22 2.0 28 3.5 3. 对第二列，第三列做同样　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　的替代； 4. 按设计的方案进行试验，得到７个结果，将其放入最后一列。

13. 第 4步:用回归模型匹配数据 首先，考虑线性回归模型: 使用回归分析中变量筛选的方法，比如‘向后法’，得到推荐的模型为： 这个结果与人们的经验不符。

14. 然后，我们尝试用二次回归模型来匹配这些数据：然后，我们尝试用二次回归模型来匹配这些数据： 使用‘向前’的变量选择法，我们发现适宜的模型： 表 1.1.6: 方差分析（ANOVA）表 14

15. 模型 中的三项，在 5%的水平下都是显著的。 图1.1.1: 状态是正常的，所以模型(1.1.4)是可接受的。

16. 16 图 1.1.2a 匹配图 图 1.1.2b 正态Q-Q 图 图 1.1.2c偏回归图

17. 第5步:优化 -- 寻找最佳的因素水平组合 表1.1.5的设计是73=343个全面试验的部分实施,其中最好的试验点是值为Y= 48.2%的 #7。它不一定是全局最好的。人们想找到满足下式的x1*和x3*： 这里求取max的区域为：

18. 18 图 1.1.3 等值线图  (x1*,x3*) x1x3的回归系数是正的，x3的回归系数也是正的, x1* = 3.4。 在x3* = 2.7575达到最大值。 在x1* = 3.4和x3* = 2.7575处估计响应的最大值是51.85% 。它比７个试验点的最好值48.2%还大。

19. 讨论: 因素x2没有给响应Y予显著的贡献，我们可以选x2为 其中点　x2 = 19 ml. 求出的x1* = 3.4 在边界上, 我们需要扩大x1的试验上限。 在x1 = 3.4和x3 = 2.7575的邻域,追加一些试验是必要的。 在第５步，一些优化算法是很有用的。

20. 混合型水平的均匀设计 试验中各因素若有不同水平数，比如，其水平数分别为q1，…，qk。 这时应使用相应的混合均匀设计表。见 “方开泰,均匀设计与均匀设计表,科学出版(1994).” 之附表2

21. 每个混合水平表有一个记号，含义为： 定量因素 的最大数 均匀设计 Un(q1 × … × qk ) 各定量因素 之水平数 试验次数

22. 下表是一个混合水平均匀设计表: 此均匀设计表试验总数ｎ为 12，用它可以安排水平数为６、４、３的因素各一个。

23. U12(624) 它的试验数ｎ为 12。可以安排二个6水平因素和一个4水平因素的设计。 此表也是混合水平均匀设计表。 23

24. 混合因素试验设计

25. 考虑4个因素： 平均施肥量X，分为12个水平 （70,74,78,82,86,90,94,98,102,106,110,114）； 种子播种前浸种时间T，分为6个水平（1,2,3,4,5,6）； 土壤类型B，分4种B1，B2，B3，B4； 种子品种A，分3个A1，A2，A3； 对某农作物产量的影响。可以看出前两个为定量因素，后两个为定性因素。 例2 .1:在农业试验中 如何进行试验安排？

26. 混合型因素混合型水平的均匀设计 一般情况下试验中既有定量型连续变化因素，又有定性型状态变化因素。 假设有k个定量因素X1,…,Xk； 这k个因素可化为k个连续变量， 其水平数分别为q1，…，qk。 又有t个定性因素G1,…,Gt， 这t个定性因素分别有d1，…，dt个状态。 可以使用“拟水平法”，或用优化方法计算，求出相应的均匀设计表。

27. 混合因素混合水平表有如下的记号和含义： 定性因素 的最大数 定量因素 的最大数 均匀设计 Un(q1× … × qk × d1 × …× dt ) 各定性因素 之水平数 各定量因素 之水平数 试验次数

28. U12(12×6×4×3２ ×2２) 例： 1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 2 3 1 2 2 2 2 2 3 2 2 1 3 3 3 3 2 1 1 2 4 4 4 4 3 1 2 1 5 5 5 1 1 2 2 2 6 6 6 2 3 2 1 1 7 7 1 3 1 1 1 1 8 8 2 4 3 3 2 1 9 9 3 1 1 3 2 2 10 10 4 2 2 2 1 2 11 11 5 3 1 1 1 1 12 12 6 4 2 3 2 2 １２次试验。 可以安排２个 水平数为12、 6的定量因素， 以及总数为５ 的一个水平 为4、两个水 平为3和两个 水平为2的定 性因素的设计。

29. U12(12×6×4×3 ) 表2.1.1 选混合均匀设计表2.1.1安排此试验 第1列安排平均施肥量X，分为12个水平； 第2列安排种子播种前浸种时间T，分为6个水平； 第3列安排土壤类型B，分4种B1，B2，B3，B4； 第4列安排种子品种A，分3个A1，A2，A3。

30. 试验安排及结果如表2.1.2

31. 为了进行分析，我们引进5个‘伪变量’。它们的记号和取值如下：为了进行分析，我们引进5个‘伪变量’。它们的记号和取值如下： B因素的 A因素的 它们和 Ｘ、Ｔ 一起进行回归分析。 回归方程如下:

32. + =

33. 不显著。需进一步考虑高阶回归项。 若我们考虑除主效应外，再多考虑一个2次效应和一个交互效应。这时回归方程化为 解得 回归系数的最小二乘估计及其Ｒ和Ｆ值为：

34. = +

35. 解得 回归系数的最小二乘估计及其Ｒ和Ｆ值为： 非常显著

36. 方程为: 其中 1.含变量x 的两项与其它是分离的（即可加的），最大值点在 x=100.127 。 2.含变量z41z42的两项与其它是分离的，最大值点在 z41=0 z42=0，即品种3为好。 3.含变量 Ｔ z31z32 z33 的四项与其它是分离的，最大值点可能在 z31=1 z32=0 z33=0 类型为1，Ｔ=6 或z31=0 z32=1 z33=0 类型为2，Ｔ=6 比较后知道为后者。

37. 所以得到最佳状态组合为 施肥量X=100.127， 浸种时间T=6， 土壤类型B取2， 种子品种A取3， 此时最大值估计为

38. 一、表的选择,因素及水平的安排 下面综述应注意的事项： • 若试验中有k个定量因素和t个定性因素时，我们从混合型均匀设计表中选出带有s=k+t列的Un(q1×…×qk×d1×…×dt)表。 • 这里要求n≥k+d+1,其中d=(d1+…+dt -t). 为了给误差留下自由度，其中的n最好不取等号。 • 表中前k列对应k个连续变量， 表中后t列可安排定性因素。 安排n个试验，得到n个结果y1，y2，…，yn。

39. 为了分析，首先要将定性因素之状态，依照伪变量法，将第i个因素分别化成(di-1)个相对独立的n维伪变量Zi1,Zi2,…，Zi(di-1)。为了分析，首先要将定性因素之状态，依照伪变量法，将第i个因素分别化成(di-1)个相对独立的n维伪变量Zi1,Zi2,…，Zi(di-1)。 • 将这总共d=(d1+…dt-t)个伪变量与相应的k个连续变量X1，…，Xk一起进行建模分析。 • 为了保证主效应不蜕化，要对混合型均匀设计表进行挑选。

40. 二、试验结果的回归建模分析 首先考察它们的一阶回归模型： 如果不理想,则 再考虑一些交互效应，和一些连续变量的高次效应。显然最多可考虑的附加效应数为m个，这里m≤n-(k+d-2)

41. 值得指出的是，由于Zij *Zij=Zij ,因此无需考虑伪变量的高阶效应,只考虑连续变量的高次效应即可. • 又因为Zij1*Zij2=0,j1≠j2时,因此也无需考虑同一状态因素内的伪变量间的交互效应。 • 只有i1≠i2时,才有可能使Zi1j1*Zi2j2≠0，即不同状态因素间的交互效应可能要考虑.。 • 此外，不要忘记考虑连续变量与伪变量的交互效应。 • 至于 三个以上的状态因素间 的交互效应项Zi1j1*Zi2j2*Zi3j3≠0的可能性就更少了。

42. 混料配方试验

43. 混料配方均匀设计 许多产品都是混合多种成分在一起形成的。 色素 咖啡粉 钙 香料 乳酸 发酵粉 蔬菜汁 盐 椰子汁 糖 水 面粉 咖啡面包 43 怎样确定各种成分的比例呢？ 混料试验 经验 试验

44. 有s个因素: X1, , Xs满足 Xi 0, i = 1, , s和X1 +  + Xs= 1. 试验区域为单纯形 Ts = {(x1, , xs): xi 0, i = 1, , s , x1 +  + xs = 1.} 人们提出了许多混料设计方法，如 单纯形格子点设计 (Scheffe, 1958) . 单纯形重心设计(Scheffe, 1963) . 轴设计(Cornell, 1975)

45. 45 例如, 成分数s = 3 单纯形格子点设计 单纯形重心设计 d 轴设计 这些设计的全面评价请参考： Cornell, J. A. (1990). Experiments with Mixtures: Designs, Models and the Analysis of Mixture Data. Wiley, New York.

46. 46 上述设计的弱点： 　　　　许多点在Ts的边界上； 　　　　给用户设计的选择不多。 混料均匀设计 　　　　混料均匀设计是要寻找在Ts上均匀散布的试验点。 　问题:怎样设计这些试验点呢？ 变换方法

47. 47 变换方法 给定s-1维单位立方体Cs-1上的均匀设计，且用 {Ck = (ck1, ,ck,s-1), k = 1, ,n} 表示。则进行下列必要的变换： (3.1.1) {xk = (xk1, ,xks), k = 1, ,n} 是Ts.上的均匀设计。

48. 48 例3.1构造T3上带有11 个(配方)试验点的均匀设计。 假设我们选用U11(112) 和相关的Ck, k = 1, ,11: 变换公式 (4.1) 现在成为: (3.1.2)

49. 用这个变换公式, 正方形[0,1]2上的均匀设计Ck = (ck1, ck2), k = 1, ,11 导出T3上的均匀设计Xk = (xk1, xk2, xk3), k = 1, ,11 如下: 49

50. 区域T3是一个边长为 的等边三角形,用 V2表示。 50 x3 1 T3 T3 d1 x1 x2 d2 x3 d3 1 1 x1 x2 因此，V2上任何点 (z1, z2) 都对应一个T3上的点(x1, x2, x3)，如果我们像这样在V2上建立一个新坐标系统的话。 可以证明：V2上的任何点 (z1, z2) 到V2的三条边之距离　d1, d2和d3,满足d1+d2+d3 = 1.