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比一比：. b 米. a 米. b 米. a 米. 数学故事. 从前有一位张老汉向地主租了一块 “ 十字型 ” 土地（尺寸如图）。为便于种植，他想换一块 相同面积 的 长方形 土地。同学们，你能帮助张老汉算出这块长方形土地的长和宽吗？. 6.3 用乘法公式分解因式. 计算引入： . （ 2+a)(a-2); 2).(-4s+t)(t+4s) .(m ² +2n ² )(2n ² - m ² ). 看谁做得最快最正确！. 4). (2a +b-c)(2a-b+c ).
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b米 a米 b米 a米 数学故事 从前有一位张老汉向地主租了一块 “十字型”土地（尺寸如图）。为便于种植，他想换一块相同面积的长方形土地。同学们，你能帮助张老汉算出这块长方形土地的长和宽吗？
计算引入： • .（2+a)(a-2); • 2).(-4s+t)(t+4s) • .(m²+2n²)(2n²- m²) 看谁做得最快最正确！ 4). (2a +b-c)(2a-b+c ) 以上式子都可以用什么乘法公式简便计算？计算结果的多项式有什么共同点？
平方差公式： (a+b)(a-b) = a² - b² 平方差公式反过来就是说：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积 整式乘法 a² - b² = (a+b)(a-b) 因式分解
b a 合作学习 将边长为a的正方形一角剪去一个边长为b的小正方形，观察你剪剩下的部分。 （1）你能将它剪成两部分然后拼成一 个新的图形吗？ 思考： （2）你能根据先后两个图形的关系说明一个等式吗？
例： 16a2-1 学一学： a2-b2=(a+ b)(a- b) =(4a)2-12 =(4a+1)(4a-1) 下列多项式能否用平方差公式分解因式？ √ （1）4x2+y2 (2) 4x2-(-y)2 (3) -4x2-y2 (4) -4x2+y2 (5) a2-4 (6) a2+3 √ √ 能用平方差公式分解因式的多项式的特征： 1、由两部分组成； 2、两部分符号相反； 3、每部分都能写成某个式子的平方。
下列各式可以分别看成哪两式的平方差： (1) 4－x2＝( )2－ ( )2 (2) a2b4－9c2＝( )2－ ( )2 (3) 1.21－81c2＝( )2－ ( )2 (4) 4(a＋b)2－(a＋c)2 ＝( )2－ ( )2 x 2 ab2 3c 9c 1.1 2a＋2b a＋c
试一试： (1) x2-1 (2)m2-9 (3)x2-4y2 (4)25x2-4 (5) 0.01s2-t2 (6) 121-4a2b2 （7） a6-81 （8）–x2+25 (9) 16a2-9b2 (10) -4a2b2+c2 =(m+3)(m-3) =(x+1)(x-1) =(5x+2)(5x-2) =(x+2y)(x-2y) =(11+2ab)(11-2ab) =(0.1s+t)(0.1s-t) =(5+x)(5-x) =(a3+9)(a3-9) =(c+2ab)(c-2ab) =(4a+3b)(4a-3b)
(3) - x²- （- y4 ） 例1.把下列各式分解因式 (1)16a²- 1 (2) -m²n²+4x² (4) –9x² + 4m2 (5)x2y4-9 平方差公式:a2-b2 =(a+b)(a-b)
解：1.原式=[(x+z)+(y+z)][(x+z)-(y+z)] =(x+y+2z)(x-y) 解： 3.原式=4a(a²-1)=4a(a+1)(a-1) 解： 4.原式=[(x+y+z)+(x-y-z)] ×[(x+y+z)- (x-y-z)] =2 x ( 2 y + 2 z) =4 x ( y + z ) 解： 2.原式=[2(a+b)]²-[5(a-c)]² =[2(a+b)+ 5(a-c)][2(a+b)- 5(a-c)] =(7a+2b-5c)(-3a+2b+5c) • 例2.把下列各式因式分解 • ( x + z )²- ( y + z )² • 4( a + b)² - 25(a - c)² • 4a³ - 4a • (x + y + z)² - (x – y – z )² • 5) 0.5a²- 2
注 意 当公式中的a、b表示多项式时，要把这两个多项式看成两个整体，分解成的两个因式要进行去括号化简，若有同类项，要进行合并。
选一选： • 1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ ） • 4X²+y² B.4 x- (-y)² C.-4 X²-y³ D.- X²+ y² • -4a² +1分解因式的结果应是（ ） • -(4a+1)(4a-1) B. -( 2a –1)(2a –1) • -(2a +1)(2a+1) D. -(2a+1) (2a-1) D D
3.x2-64因式分解为( ). • (x-16)(x+4); (B) (x-32)(x+32); • (C) (x+16)(x-4); (D) (x-8)(x+8). D 4. 64a8-b2因式分解为( ). (A) (64a4-b)(a4+b); (B) (16a2-b)(4a2+b); (C) (8a4-b)(8a4+b); (D) (8a2-b)(8a4+b). C
（4） 25x2－4 （5）121－4a2b2 （6）－ ＋4x2 做一做 分解因式：
例3.把下列各式分解因式 ① x4 - 81y4 ② 2a³ - 8a 1.解:原式= (x²+ 9y²) (x²- 9y²) = (x²+ 9y²) (x+ 3y) (x- 3y) 2.解:原式=2a(a2- 4) =2a(a+2)(a-2) 平方差公式:a2-b2 =(a+b)(a-b)
知识聚焦 对于分解复杂的多项式，我们应该怎么做？ 1.先提取公因式 2.再应用平方差公式分解 3.每个因式要化简，并且分解彻底
练一练： 1、分解因式: (1) 25x2-4 =(5x+2)(5x-2) (2) 4x3 -x =x(4x2-1) =x(2x+1)(2x-1) (3) a4 -81 = (a2+9)(a2-9) = (a2+9)(a+3) (a-3) (4) 4x3y - 9xy3 = xy(4x2-9y2) =xy(2x+3y)(2x-3y) (5) 4( a + b )²- 25( a -c )² =[2(a+b)]²-[5(a-c)]² =[2(a+b)+ 5(a-c)][2(a+b) - 5(a-c)] =(7a+2b-5c)(2b -3a+5c) =4 (a²- 4b²) = 4 (a+ 2b) (a- 2b) (6) 4a² - 16b²
练一练： 2、把下列多项式分解因式： （1） 4x3y－9xy3 （2） 27a3bc－3ab3c （3）（2n+1）2－（2n－1）2 （4） x4-16
a b 做一做 如图，在一块边长为 acm 的正方形的四角，各剪去一个边长为bcm的正方形，求剩余部分的面积。如果a=3.6，b=0.8呢?
那你和你表妹今年分别几岁了？ 数学乐园 今年，我的年龄和我表妹年龄的平方差是87。 等一下，我能够算出来！ 聪明的同学，你们能算出来吗？
例4、用平方差公式进行简便计算: （1）38²-37² （2）213²-87² （3）229²-171² （4）91×89 （6）把9991分解成两个整数的积。
谈谈有何收获 分解因式的步骤： (1)优先考虑提取公因式法 (2)其次看是否能用公式法 （如平方差公式） (3)务必检查是否分解彻底了
比一比 分解因式 （1）a3-9a （2）2x3y3-8xy （4）x2(x-y)+(y-x) （5）a5-16ab4
1、分解因式： 拓展提高： 2、计算：25 × 2652－1352 × 25 3、求(2+1)(22+1)(24+1)……(232+1)+1的个位数字； 4、若248-1能被60与70之间的两个整数整除,这两个整数分别是与； 5、已知,x+ y =7,x-y =5,求代数式 x 2- y2-2y+2x的值. 6、若n是整数,证明(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.
拓展提高： 1、英国数学家狄摩根在青年时代,曾有人问他:“今年多大年龄？”狄摩根想了想说：“今年，我的年龄和我弟弟年龄的平方差是141，你能算出我的年龄和我弟弟的年龄吗？”假设狄摩根的年龄为x岁，他弟弟的年龄为 y岁，你能算出他们的年龄吗？
拓展提高： 2、把一块纸板形状如图，请剪一个面积和这块纸板相等的长方形纸板，求出这个长方形纸板的长和宽，并画出图形。 a2-b2=(a+b)(a-b) a b b
3、观察下表，你还能继续往下写吗？ 你发现了什么规律？能用因式分解来说明你发现的规律吗？
