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新昌县城关中学 陈芳英

新昌县城关中学 陈芳英. C. A. D. C. D. D. E. E. E. A. B. B. C. A. B. D. A. C. B. E. 两个相似直角三角形构成的 基本图形的应用与拓展. C. A. D. D. E. E. B. C. A. B. D. A. C. B. E. 教学内容. 教学内容是从八年级上册第二章特殊三角形的第 50 页第 12 题引入，归纳出两个相似直角三角形构成的基本图形，例举了这个基本图形在折叠、动态几何等问题中的应用，并将此基本图形进行了拓展。. 教学目标

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Presentation Transcript

  1. 新昌县城关中学 陈芳英

  2. C A D C D D E E E A B B C A B D A C B E 两个相似直角三角形构成的 基本图形的应用与拓展

  3. C A D D E E B C A B D A C B E 教学内容 • 教学内容是从八年级上册第二章特殊三角形的第50页第12题引入，归纳出两个相似直角三角形构成的基本图形，例举了这个基本图形在折叠、动态几何等问题中的应用，并将此基本图形进行了拓展。

  4. 教学目标 能运用相似三角形的判定方法判断两个直角三角形相似； 在理解基本图形的基础上，学会在折叠、测量等问题中应用基本图形并能进行拓展； 通过对基本图形的应用与拓展，培养学生独立思考的习惯，发展学生的探究意识，提高学生的总结、归纳能力、阅读理解能力和创新能力。 教学重点：会将基本图形在折叠、动态几何、几何实际问题等问题中加以应用 教学难点：在复杂的图形中分解出基本图形和基本图形的拓展

  5. D A A D 1 E E 2 B C C B 引例 教材八年级上册第50页第12题 如图，AD∥BC，∠A=900， E是AB上一点，且AE=BC，∠1=∠2， (1)Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？请说明理由； (2)△CDE是不是直角三角形？请说明理由.

  6. C D A D E E B A B C 基本图形

  7. 基本图形的应用

  8. D C F B A E 一、在折叠问题中的应用 例1如图，折叠矩形ABCD的一边CD，使点D落在AB边的点E处，CF为折痕。已知 ，且tan∠FEA=3/4． (1) △BCE与△AEF有什么关系？ (2) 求矩形ABCD的周长。

  9. B’ H A A D D E G F C B B C F E 例2（08宁波）如图1，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸…．已知标准纸的短边长为a． （1）如图2，把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠： 第一步 将矩形的短边AB与长边AD对齐折叠，点B落在AD上的点B’处，铺平后得折痕AE；第二步 将长边AD与折痕AE对齐折叠，点B正好与点E重合，铺平后得折痕AF．则AD:AB的值是,AD,AB的长分别是，． （2）“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸的长与宽之比是否都相等？若相等，直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值． （3）如图3，由8个大小相等的小正方形构成“L”型图案，它的四个顶点E,F,G,H分别在“16开”纸的边AB,BC,CD,DA上，求DG的长． （4）已知梯形MNPQ中,MN∥PQ ，∠M=900，MN=MQ=2PQ ，且四个顶点M,N,P,Q都在“4开”纸的边上，请直接写出2个符合条件且大小不同的直角梯形的面积

  10. （3）如图3，由8个大小相等的小正方形构成“L”型图案，它的四个顶点E,F,G,H分别在“16开”纸的边AB,BC,CD,DA上，求DG的长．（3）如图3，由8个大小相等的小正方形构成“L”型图案，它的四个顶点E,F,G,H分别在“16开”纸的边AB,BC,CD,DA上，求DG的长． （4）已知梯形MNPQ中,MN∥PQ ，∠M=900，MN=MQ=2PQ ，且四个顶点M,N,P,Q都在“4开”纸的边上，请直接写出2个符合条件且大小不同的直角梯形的面积 H A D E G B C F a/4 DG:CF=HG:FG √2a/4

  11. B A l D C 二、在几何作图中的应用 例2如图，在笔直的公路l的同侧有A，B两个村庄，已知A，B两村分别到公路的距离AC=3千米，BD=4千米。 （1） 现要在公路上建一个汽车站P，使该车站到A，B两村的距离相等，试用直尺和圆规在图中作出点P（不写作法，保留作图痕迹）； （2） 若连接AP，BP，测得∠APB=900，求A村到车站P的距离。 P

  12. F C B E A D 图1 三、基本图形在动态问题中的应用 例3（06武汉）已知：将一副三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）如图1摆放，点E、A、D、B在一条直线上，且D是AB的中点。将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（00<α<900）,在旋转过程中,直线DE、AC相交于点M，直线DF、BC相交于点N，分别过点M、N作直线AB的垂线，垂足为G、H。

  13. E C E C F F M N M N F B E C A H B D G D G A H M 图3 图4 B A G D H 图2 （1）当α=300时（如图2），求证：AG=DH； （2）当α=600时（如图3），（1）中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由； （3）当00<α<900时，（1）中的结论是否成立？请写出你的结论，并根据图4说明理由.

  14. A D B C 四、基本图形的逆向应用 例4（04南京）如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B、C. （1）当AB=4，DC=1，BC=4时，在线段BC上是否存在点P， 使AP⊥PD？如果存在，求出线段BP的长；如果不存在，请说明理由。 （2）设AB=a，DC=b，AD=c，那么当a、b、c之间满足什么关系时， 在直线BC上存在点P，使AP⊥PD？ P

  15. 基本图形的拓展

  16. D A C B P 图2 y D D A A x C P C B P B 图1 图3 基本图形的拓展 例1（08莆田）阅读理解：如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=900，点P在BC边上，当 ∠APD=900时，易证△ABP∽△PCD，从而得到BP﹒PC=AB﹒CD.解答下列问题： （1）模型探究：如图2，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B=∠C=∠APD时，求证：BP﹒PC=AB﹒CD. （2）拓展应用：如图3，在四边形ABCD中，AB=4，BC=10，CD=6，∠B=∠C=600，AO⊥BC于点O，以O为原点，以BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，点P为线段OC上一动点（不与端点O、C重合）. ①当∠APD=600时，点P的坐标； ②过点P作PE⊥PD，交y轴于点E，设OP=x，OE=y求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.

  17. （2）拓展应用：如图3，在四边形ABCD中，AB=4，BC=10，CD=6，∠B=∠C=600，AO⊥BC于点O，以O为原点，以BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，点P为线段OC上一动点（不与端点O、C重合）.（2）拓展应用：如图3，在四边形ABCD中，AB=4，BC=10，CD=6，∠B=∠C=600，AO⊥BC于点O，以O为原点，以BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，点P为线段OC上一动点（不与端点O、C重合）. ①当∠APD=600时，点P的坐标； ②过点P作PE⊥PD，交y轴于点E，设OP=x，OE=y求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围. D A C B P 图2 y D D A A x C P C B P B 图1 图3 阅读理解：如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=900，点P在BC边上，当 ∠APD=900时，易证△ABP∽△PCD，从而得到BP﹒PC=AB﹒CD （1）模型探究：如图2，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B=∠C=∠APD时，求证：BP﹒PC=AB﹒CD.

  18. C D E B A 2 1 2 3 1 例2（08金华）如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米， 那么该古城墙的高度是（ ） A、6米 B、8米 C、18米 D、24米

  19. C A B P D F • 变式2：如图所示，已知正方形ABCD， • E是AB的中点，F是AD上的一点， • EG⊥CF，且AF=1/4 AD， • 求证：（1）CE平分∠BCF； • （2） AB2=CG · FG. A D G E B C 变式1： 一只小鸟从高为3米的电线杆AB的顶端飞到地面 BD的中点P处觅食,再飞到一高为12米的建筑物CD顶端,求小鸟飞过的路长.

  20. 点击中考 1.（08金华）如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形,点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连结AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD.（1）求直线AB的解析式；（2）当点P运动到点（ ,0）时，求此时DP的长及点D的坐标；（3）是否存在点P,使△OPD的面积等于 ,若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由

  21. 2.（08义乌）如图1所示，直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与 轴负半轴上.过点B、C作直线 ．将直线 平移，平移后的直线 与x轴交于点D，与 轴交于点E．（1）将直线 向右平移，设平移距离CD为t (t 0)，直角梯形OABC被直线 扫过的面积（图中阴影部份）为s，s关于t的函数图象如图2所示， OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，N点横坐标为4．①求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积；②当2<t<4时，求S关于t的函数解析式；（2）在第（1）题的条件下，当直线 向左或向右平移时（包括 与直线BC重合），在直线AB上是否存在点P，使ΔPDE为等腰直角三角形?若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由。 点击中考

  22. 小结 通过本节课的学习，你有哪些收获？（知识方面、能力方面、情感方面）

  23. C D A D E C E B A D B C E A B D A C B E

  24. 1.完成本堂课中没有详细解答的例题； 2.如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，顶点D，C分别在AM，BN上运动(点D不与A重合，点C不与B重合)，E是AB上的动点(点E不与A，B重合)，在运动过程中始终保持DE⊥CE，且AD+DE=AB=a。 （1）求证：△ADE∽△BEC； （2）当点E为AB边的中点时(如图2)， 求证：①AD+BC=CD；②DE，CE分别平分∠ADC，∠BCD； （3）设AE=m，请探究：△BEC的周长是否与m值有关，若有关请用含m的代数式表示△BEC的周长；若无关请说明理由。 3.仿照本堂课请你寻找出一些基本图形。 作业

  25. 谢谢!

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