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第二章 数学模型

第二章 数学模型. 数学模型的分类和推导原则 组分模型（黑油模型和凝析气藏） 双重介质模型（黑油） 注蒸汽热采模型 聚合物驱模型 三元复合驱模型 水平井模型. 第一节 数学模型的分类和推导原则. 一、数学模型的分类 1. 按空间维数来分 零维 一维 二维 三维 2. 按流体相数来分 单相 两相 三相 3. 按流体组分来分 单组分 两组分

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  1. 第二章 数学模型 • 数学模型的分类和推导原则 • 组分模型（黑油模型和凝析气藏） • 双重介质模型（黑油） • 注蒸汽热采模型 • 聚合物驱模型 • 三元复合驱模型 • 水平井模型

  2. 第一节 数学模型的分类和推导原则 • 一、数学模型的分类 • 1. 按空间维数来分 • 零维 • 一维 • 二维 • 三维 • 2. 按流体相数来分 • 单相 • 两相 • 三相 • 3. 按流体组分来分 • 单组分 • 两组分 • … • N组分 • 4. 按岩石类型来分 • 单重介质（砂岩） • 双重介质（碳酸盐岩）

  3. 5. 按模型功能来分 • 黑油模型 • 凝析气藏模型 • 双重介质模型 • 热采模型 • 聚合物驱模型 • 三元复合驱模型 • 水平井模型 • ……

  4. 单位时间内流入单 元体的流体质量 单位时间内流出单 元体的流体质量 - 单位时间内从单元体注入或采出的流 体 质 量 单位时间内单元体 中的 质 量 增 加量 + = 二、数学模型的推导原则 • 1. 质量守恒方程

  5. 推导方法： • 1) 微分方法 • ① 直角坐标单元体法 • 单元体体积= • 流 入: • 流 出: • 质量增量: • 质量守恒方程： • 即 r D D D + r D D D + r D D D v y z t v x z t v x y t x x y y z z r D D D + r D D D + r D D D v y z t v x z t v x y t + D + D + D x x x y y y z z z

  6. ② 柱坐标单元体法 • 单元体体积 = • 流 入： • 流 出： • 质量增量： • 质量守恒方程：

  7. 2、运动方程 • 1) 牛顿流体 • 单相 • 或 • 多相 • 2) 非牛顿流体 • 单相 • 多相 或

  8. 3、 状态方程 • 1) 液体 • 2) 岩石 • 岩石压缩系数 • 孔隙压缩系数 • 3) 气体 • 理想气体 • 实际气体 r 1 d 即 = C l r dp 或

  9. 单位时间内流入 单元体的能量 单位时间内流出 单元体的能量 － 单位时间内从单元体注 入 或 采 出的能量 单位时间内单元 体中能量的增加 ＋ ＝ • 5.能量守恒方程 • 同理，可用微分法或积分法导出： • 式中 Hj—流体j相的焓，kJ/kg • λ—导热系数，kJ/(h.C.m) • Uj —流体的内能 ，kJ/kg • (ρC)r—油藏的热容量，kJ/(m3. C) • qh—源、汇项，kJ/(m3.h) • qhl—顶、底层的热损失，kJ/(m3.h)

  10. 第二节 组分模型 • 一、组分模型的一般式 • 1. 假设条件 • 2. 组分质量守恒方程 • ) 符合达西渗流定律 • 2) 等温渗流 • 3) 油、气、水三相，N个组分 • Cig表示气相中i组分的质量分数 • Cio表示油相中i组分的质量分数 • Ciw表示水相中i组分的质量分数 • 4) 油相和气相随着压力变化而发生相态变化 • 5) 流体和岩石均可压缩 • 6) 油藏非均质和各向异性 • 7) 考虑毛管力和重力

  11. 3. 辅助方程 • 1) • 2) • 3) • 4) • 5) • 6) • 7)

  12. 4. 未知数和方程数

  13. 二、黑油模型的组分模型 • 1. 假设条件 1) 符合达西渗流定律 2)等温渗流 3) 油、气、水三相,甲烷、重烃和水三个组分。重烃组分完全溶解在油相中，而甲烷组分可以自由气形式存在于气相中，也可以溶解气形式存在于油相中。气体的溶解和逸出在泡点瞬间完成。水组分存在于水相中。 4) 油相和气相随压力而发生相态变化 5) 流体和岩石均可压缩； 6) 油藏非均质和各向异性； 7) 考虑毛管力和重力。

  14. 2. 组分质量守恒方程 • 水相仅存在于水组分中 • 气相仅存在于气组分中 • 油相中可同时存在气组分和油组分 • 代入组分的质量守恒方程 • 水组分 • 油组分

  15. 气组分 • 3. 辅助方程 • 1) • 2) • 3) • 4) • 5)

  16. 4. 未知数和方程数

  17. 三、凝析气藏的组分模型 • 凝析气藏与黑油模型的主要区别是多了一些 • 烃类的中间组分（即凝析油组分），以至可以有中间组 • 分的反转凝析和挥发。

  18. 目前有两种模型 • 1. 拟四组分模型 • 1) 假设条件 • 除四组分外，其余条件同黑油模型。 • 重烃组分存在于油相中。 • 气组分可以自由气形式存在于气相中；也可以溶解气形式存在于油相中。 • 中间组分可存在于气相中，也可存在于油相中。 • 水组分仅存在于水相中。 • 2)四组分质量守恒方程 • 水组分

  19. 中间组分 • 式中 Perc凝析油组分在油相中的质量分量； Rs气相中凝析油组分质量分量； • Qog 凝析油组分的注入或采出； • 重烃组分 • 式中 q0o 重烃的流入或采出 • 气组分

  20. 3) 辅助方程 • 4) 未知数和方程数

  21. 2. 全组分模型 • 1) 假设条件 • 除多组分和油气两相外，其余条件同黑油模型。但在相态图上，是在临界点右边，超过临界温度，有一反转凝析区。在不同温度和压力下，气液相比例和每个组分在气、液两相中的比例也不相同。因此凝析气藏模型应包括组分模型和相态模型。

  22. 2) 数学模型 • 组分质量守恒方程 • 3) 辅助方程 • 逸度方程 • 式中 fiL i 组分的油相逸度； • fiv i 组分的气相逸度； • 各组分的质量分量之和等于1

  23. = - P P P cgo g o

  24. 第三节 双重介质的黑油模型 • 一、假设条件 • 除岩石性质外，其余条件与组分模型的黑油模型相 • 同。 • 岩石性质如下： • 1）岩石孔隙结构由基岩和裂缝组成。基岩也称原生的粒 • 间孔隙；裂缝是次生孔隙；裂缝将基岩分割开来 。 • 2）基岩是储油的主要空间，裂缝是流油的主要通道。若 • 基岩不发生流动，称为双孔单渗介质；若基岩发生流 • 动，称为双孔双渗介质； • 3）基岩和裂缝之间产生质量交换，称为窜流。

  25. 式中 q 单位时间内，单位基岩体积中，从基岩流到裂 • 缝中的质量，kg/(m3.d)； • P2基岩的压力，Mpa； • P1裂缝的压力，Mpa； • 流体的密度，kg/m3； •  流体的粘度，mPa.s； •  窜流系数。

  26. 二、双孔双渗黑油模型 • 1. 组分质量守恒方程 • 1) 裂缝系统 • 水组分 • 油组分 • 气组分

  27. 2) 基质系统 • 水组分 • 油组分 • 气组分

  28. 2. 辅助方程 • 3. 未知数和方程数

  29. 三、双孔单渗黑油模型 • 1. 组分质量守恒方程 • 1) 裂缝系统 • 同双孔双渗黑油模型。 • 2) 基质系统 • 根据定义，基质系统中没有渗流，只有向裂缝的窜流。 • 气组分 • 油组分 • 水组分

  30. 2. 辅助方程 • 同双孔双渗黑油模型。 • 3. 未知数和方程数 • 同双孔双渗黑油模型。 • 参考文献 • 1、A.Firoozabadi ,“ Sixth SPE Comparative Solution Project :Dual—Porosity Simulators ” JPT 1990, June. • 2、J.E.Warren and R.J.Root ,“ The Behavior of Naturally Fractured Reservoir ”，SPEJ 1963, Sept. • 3、R.H.Dean and L.L.Lo,“ 天然裂缝油藏模拟的发展及其应用实例” SPE 14110. • 4、H.Kazemi et.“ Numerical Simulation of Water — Oil flow in Naturally Fractured Reservoirs” SPEJ 1976, Dec. • 5、L.K.Thomas,“ Fracture Reservoir Simulation ” SPE J 1983, Dec. • 6、B.Y.Q.Lee,“ Application of a multiple Porosity/Permeability Simulator in Fractural Reservoir Simulation ”SPE 16009(1987年)

  31. 第四节 注蒸汽热采模型 • 一、假设条件 1. 符合达西渗流定律； 2. 非等温渗流，热平衡在瞬时完成； 3. 油、气、水三相，N个组分； Cig 气相中i组分的质量分数； Cio  油相中i组分的质量分数； Cio水相中i组分的质量分数； 4. 油相和气相随着压力变化而发生相态变化； 5. 岩石和流体均可压缩； • 6. 油藏非均质性和各向异性。 • 7. 考虑毛管力和重力；

  32. 二、组分质量守恒方程 • 三、能量守恒方程 • 式中 Hj j相的焓，kJ/kg •   油藏岩石导热系数，kJ/(h.m.C) • T  油藏温度， C • Ti  油藏原始温度， C • qh  单位时间内单位油藏体积中注入或采出的热量，kJ/(m3.h) • qhl  单位时间内单位油藏体积中顶底层损失的热量， kJ/(m3.h) • Uj  流体j相的内能， kJ/kg • (c)r  油藏热容量，kJ/(m3. C)

  33. 四、辅助方程 • 1. • 2. • 3. • 4. • 5. • 6. • 7.

  34. 8. 顶底层然传导方程 • 式中   顶底层导热系数， kJ/(h.m.C) • (c)L 顶底层热容量， kJ/(m3. C) • I .C • B.C • （封闭边界） • 利用上式可计算出温度在顶底层的分布，从而求 • 出热损失qhL。

  35. 第五节 聚合物驱数学模型 • 一、 假设条件 • 1. 符合达西渗流定律。 • 2. 等温渗流。 • 3. 油、气、水三相，油、气、水、聚合物、电解质五个组分。 • 4. 油相和气相随着压力变化而发生相态变化。 • 5. 流体和岩石均可压缩。 • 6. 油藏非均质和各向异性。 • 7. 考虑毛管力和重力。

  36. 二、 组分质量守恒方程 • 水组分 • 油组分 • 气组分 • 聚合物组分 • 电解质组分

  37. 式中 Cpw—聚合物浓度,kg/m3; —单位孔隙体积岩石吸附的聚合物,kg/m3; Cew—电解质浓度,mg/m3; —单位孔隙体积吸附的电解质，kg/m3. • —聚合物溶液测的孔隙度; • — 总孔隙度; • 三、辅助方程 • 1. 2. • 3. 4. • 5. 6. • 7.

  38. 四、未知数和方程数 • 参考文献 • 1、P.L.Bondr,G.J.Hirasaki,M.J.Tham,“ Mathematical Simulation of Polymer Flooding in Complex Reservoir” SPEJ 1972,Oct. • 2、 袁士义，“聚合物地下交联调剂数学模型”，石油学报，1991，1

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