RAMANUJAN

1. Sin boginje Namagire RAMANUJAN Najveći indijski matematičar Priredio: Marko Petković (Dexter_of_Nis@neobee.net)

2. Neobična pisma • Januara 1913. godine, trojica uglednih engleskih matematičara dobila su tri ista pisma iz Indije. • Dva su ostala neotvorena, dok je prof. G. H. Hardy ostao zauvek zadivljen onim što je pročitao, a posebno su ga impresionirala dva identiteta • “U svom životu, nisam video ništa nalik njima. Samo jedan pogled je bio dovoljan da pokaže da su mogli biti napisani jedino rukom matematičara najviše klase. Oni moraju biti istiniti, jer, ako nisu, niko nema mašte da ih izmisli ovako savršene“, kasnije je govorio G. Hardy

3. Srinivasa Ramanujan Aiyangar • Rođen je 22. decembra 1887 godine u Erodu, malom selu udaljenom 400km od Madrasa • Potomak kaste Bramana u siromašnoj oblasti Tanjore pokrajine Madras • Ramanujan je celog života, kadgod je mogao, posećivao hram boginje Namagire. • Imao je običaj da kaže da ga je boginja Namagira nadahnjivala formulama u snovima. • Knjiga: “Pregled čiste matematike”, probudila je njegov skriveni dar za matematiku • Takođe, izazvala je nedostatak strogosti u naučnom zaključivanju, koji ga je pratio ceo život

4. Pošto nije imao drugih knjiga, svako rešenje je za njega bilo originalno • Izumeo je metode za konstruisanje magičnihkvadrata. • Otkrio je metode za rešavanje jednačina trećeg i četvrtog stepena, i pokušao da reši jednačinu petog stepena • Obim ekvatora je izračunao sa greškom od svega nekoliko stopa • U svojoj sedamnaestoj godini, proučavajući harmonijski red izračunao je Eulerovu konstantu na 15decimala.

5. Nezavisno je došao do Bernoullijevih brojeva.

6. Na koledž u Madrasu, došao je 1906. godine. Ozbiljno se razboleo i posle dugog lečenja izašao na ispite. • Proučavao je hipergeometrijske redovei relacije izmedju integrala i redova (eliptičke funkcije) 1908. godine • 1911 godine je publikovao briljantan naučni rad o Bernoullijevim brojevima • Ramachandra Rao, osnivač Indijskog matematičkog društva, pomogao mu je da dobije posao sitnog službenika u Madrasu. • Nezadovoljan time rešio je da se obrati pismom profesoru Hardy-ju.

7. Hardy je Ramanujana doveo na Trinity koledž na Cambridge univerzitetu • “...bilo je veoma teško učiti Ramanujana sistematično, mada je on postepeno prihvatao nove poglede na svet (recimo zašto su dokazi toliko bitni)...”, govorio je Hardy • Na nesreću, Ramanujanovo zdravlje, tokom boravka u Engleskoj, jepropadalo naglo • Umro je u 26 aprila 1920 god, u 32. godini života • Kada ga je jednom prilikom posetio prof. Hardy u bolnici, spomenuo je da je došao taksijem broj 1729, i da taj broj nije ništa posebno • “Ne profesore, taj broj je veoma poseban, naime to je najmanji broj koji može da se zapiše na dva načina kao zbir 2 kuba”, odgovorio je Ramanujan

8. Iako je imao izvanrednu intuiciju, povremeno je davao i netačne rezultate • Postavio je hipotezu da je ceo broj. • Ova hipoteza je opovrgnuta tek krajem 20. veka uz pomoć kompjutera: • Poštovaoci njegovog dela, pokrenuli su časopise “Ramanujan journal” i “Hardy-Ramanujan journal” koji se bave daljim razvojem njegovih ideja

9. Rogers-Ramanujanovi identiteti

11. Pismo Hardyju 1913 godine sadržalo je prva dva identiteta • Tad, a ni kasnije Ramanujan nije umeo da ih dokaže • 1917 godine, on je slučajno primetio da su u časopisu “Proceedings of London mathematical society” prva dva identiteta formulisana i dokazana od strane L. J. Rogersa • Rogers bi bio potpuno nezapažen da nije bilo Ramanujanove srećne zvezde. • Do danas je dokazano na stotine ovakvih identiteta koji se označavaju kao identiteti Rogers-Ramanujanovog tipa

12. No sve je počelo mnogo ranije... • Arhimed je izračunao kao sumu geometrijskog reda • Na sličan način je Fermat 1650 god. Izračunao integral funkcije • Heineov učenik, Thomae, uveo je 1869 q-integral:

13. Identitete slične Rogers-Ramanujanovim su razmatrali (i dokazivali) matematičari mnogo pre Ramanujana • Euler je 1750. god. dokazao teoremu pentagonalnih brojeva: • Gauss je otkrio sledeci identitet koji je publikovan 11 godina posle njegove smrti (1866): • Jacobi je dokazao svoj identitet trostrukog proizvoda:

14. Druga Ramanujanova otkrića • Rogers-Ramanujanov verižni razlomak:

15. Ramanujanova tau funkcija:

16. Ramanujanov red: • Broj tačnih decimala u funkciji od broja sabiraka:

17. Borwein-ov interativni postupak četvrtog reda: • Pomoću Borwein-ovog metoda, brojje izračunat na više od 6.000.000.000 decimala! • Za nalaženje kvadratnog korena i recipročne vrednosti broja koristi se Newton-Raphsonov metod reda 2. • Množenje dva n- tocifrena broja radi se u vremenu korišćenjem metoda diskretne Fourier-ove transformacije.

18. Borwein-ova hipoteza • Hipoteza: Svi koeficienti polinoma , i su pozitivni. • G.E. Andrews je dokazao sledeću rekurentnu relaciju: • Svi gore navedeni polinomi zadovoljavaju sledecu rekurentnu jednačinu

19. Naslednik Srinivase Ramanujana • Shakuntala Devi, poznata kao “Human Computer”, smatra se za naslednika najvećeg indijskog matematičara • 1977. god. pobedila je kompjuter UNIVAC 1108 u računanju 23. korena iz broja sa 201 cifrom. • Ona je ceo posao odradila za 50 sek. dok je kompjuteru trebalo više od 1min • 1981. god. usla je u Ginisovu knjigu rekorda tako što je pomnožila dva 13-cifrena broja za 28 sek. • Takođe, računala je dane u nedelji uzimajući u obzir prestupne godine • Skoro da nije imala nikakvu školu, a još manjematematičkog obrazovanja

20. TnX 4 attention!Hope 2 CU again!