Extremalaufgaben

1. Extremalaufgaben Juliane Golser und Nico Schmitt Didaktik der Analysis, 13.01.2009, Seminarleiter: Prof. Dr. Zimmerman

2. Gliederung • Geschichte • Motivation • Extremalaufgaben im Unterricht • Didos Problem • Rechtwinklige Dreiecke • Isoperimetrische Probleme • Kürzeste Linien auf Körpern • Abstandssummen • Heronsches Problem

3. Geschichte • Mathematik beschäftigt sich seit 2500 Jahren mit Problemen über Maxima und Minima • Zunächst Einzelphänomene (Antike),Ausdehnung auf ganze Gruppen von Extremwertproblemen fällt in die Zeit der Renaissance • Zunächst existierten keine allg. Lösungsmethoden • Erst vor 300 Jahren wurden allgemeine Methoden zur Problemlösung entwickelt • Ende des 17. Jh. wurden viele Problemstellungen entwickelt (z.B. Brachistochrone-Problem, Bernoulli 1696) • Diese hatten einen großen Anteil an der Entwicklung der Analysis • In den 1950/60 er Jahren wurde auf Grund neuer Bedürfnisse in der Wirtschaft die optimal control theory entwickelt (Problemlösung mit Optimalitätskriterien)

4. Motivation Extremwertaufgaben • Im täglichen Leben ist man an bestmöglichen Lösungen interessiert (Technik, Wirtschaft, Mathematik) • Optimierung wirtschaftlicher Prozesse  Kostensenkung • Tikhomirov: „…[Mensch hat] natürliches Streben nach Perfektion, eine verborgene Neigung, das ‚Wesentliche‘ zu verstehen“

5. Extremalaufgaben im Unterricht I • „… dass sich die Erarbeitung von Extremwertproblemen wie ein roter Faden durch den Mathematikunterricht ziehen sollte.“ (Glatfeld 1982) • Vorschlag: neben Thematisierung im Rahmen der Analysis (Sek II) auch schon in der Sek I, Klasse 9/10 • Bei Extremwertaufgaben können im Vordergrund stehen • Inhaltliche Momente (inner- oder außermath. Situation) • Lösungsprozess (kreatives Moment) • Mathematisches Begriffssystem • Methodische Varianten der Behandlung von Extremwertrechnung • Innerhalb eines Kapitels • Auf ein Verfahren hinarbeiten (Lineares Optimieren) • Extremwertbegriff in Behandlung eines anderen Begriffs einbeziehen • Leitsätze • Schüler sollen Einblick in die Bedeutung von Optimierungsprozessen erhalten • Herausarbeiten: Extremwerte haben immer ausgezeichnete Eigenschaften • Schüler sollen Methoden zum Lösen von Extremwertaufgaben kennen, beurteilen und anwenden (keine Universalmethode)!

6. Extremalaufgaben im Unterricht II • Extremwertprobleme können im Mathematikunterricht auftreten in Zusammenhang mit • Geometrie • Zahlenrechnen (Bsp.: Mit 6 vorgegebenen Zahlen soll durch Grundrechenarten ein möglichst kleines Ergebnis erzielt werden) • Koordinatensystem (Eintragen ausgezeichneter Werte) • Funktionen • Dreiecksungleichung • Abschätzungen und Näherungen • Wahrscheinlichkeitsrechnung • Graphentheorie • Differentialrechnung

7. Didos Problem • „How much land can be enclosed by a bull`s hide?“ • in seiner Äneis erzählt der Dichter Vergil (70-19 v. Chr.) zum ersten Mal von Didos Problem: „Auf der Flucht vor ihrem Bruder Pygmalion aus Tyros strandete Dido in der Gegend von Karthago. Sie erbat sich vom dortigen Herrscher so viel Land, wie eine Rindshaut umspannen kann.“ Lösung: Rindshaut in möglichst dünne Streifen schneiden und zu einem Kreis zusammenlegen. • Eines der ältesten bekannten isoperimetrischen Extremwertprobleme

8. Rechtwinklige Dreiecke Unter allen rechtwinkligen Dreiecken mit gegebener Hypotenuse soll dasjenige mit maximalem Flächeninhalt gefunden werden. Glatfeld, Martin: Lernsequenzen zum Thema „Extremwerte: Probleme und Lösungsmethoden“, in: Der Mathematikunterricht 5/82, S. 96

9. Rechtwinklige Dreiecke Lösung • Voraussetzungen: Thaleskreis, Formel zur Flächeninhaltsberechnung bei Dreiecken • Lösung: Dreieck ABC • Größte Höhe • Größten Flächeninhalt • Symmetrisch zur Gerade durch M und C. • Gleichschenklig

10. Isoperimetrisches Problem Wie müssen die Seiten eines Rechtecks mit gegebenem Umfang gewählt werden, sodass der Flächeninhalt maximal wird? Gruppe 1: geometrische/experimentelle Lösung Gruppe 2: analytische Lösung

11. Isoperimetrisches Problem 4x4=16 5x3=15

12. Isoperimetrisches Problem

13. Isoperimetrisches Problem

14. Isoperimetrisches Problem

15. Isoperimetrisches Problem

16. Kürzeste Linien auf Körpern Gegeben ist ein quaderförmiger Raum mit 10x4 m² Bodenfläche und 4 m Höhe.An der senkrechten Symmetrieachse einer der kleinen quadratischen Wände des Raums sitzt die Fliege F 50 cm unter der Decke. Auf der gegenüberliegenden, kleinen quadratischen Wand sitzt die Spinne S ebenfalls auf der senkrechten Mittellinie der Wand 50 cm über dem Boden. Die Spinne hat es auf die Fliege abgesehen. Da sie nicht fliegen kann, muss sie an den Innenflächen des Raums entlang kriechen, um die Fliege zu erreichen. Wie lang ist der kürzeste Weg von der Spinne zur Fliege? Claus, A 19

17. Kürzeste Linien auf Körpern Claus, A 19

18. Abstandssummen n Jugendliche, alles Mopedfahrer, wohnen in verschiedenen Häusern einer geradlinigen Straße. Sie wollen, um Benzin zu sparen, einen Treffpunkt P vereinbaren, für den die Wegsumme minimal ist. a) Löse die Aufgabe für n=3 und n=4 experimentell. b) Beweise die experimentellen Lösung. c) Stelle eine Vermutung für alle n>1 auf! Claus A1

19. Abstandssummen Lösung n=3 n=3 Sie treffen sich bei . Die Wegsumme ist gleich . Diese ist minimal, da bei jedem anderen Treffpunkt der Weg den zurücklegen müsste hinzukommen würde. Gleichheit bei .

20. Abstandssummen Lösung n=4 n=4 Dreiecksungleichung: Gleichheit bei

21. Variation der Aufgabe Es können mehrere Jugendliche in einem Haus wohnen. Konkretes Zahlenbeispiel: Beginne wieder experimentell mit einer Zeichnung und suche als Treffpunkt eine Stelle, wo jede Verschiebung zu einer Vergrößerung der Wegsumme führt.

22. Variation der Aufgabe Lösungen Treffpunkt Schülerlösung Grundidee: Ziehen aus den beiden äußeren Häusern gleich viele Jugendliche aus, so bleibt der Treffpunkt erhalten. Hausbewohner: 2, 1, 3, 5 1, 1, 3, 4 0, 1, 3, 3 0, 0, 3, 2 0, 0, 1, 0

23. Heron • 2. Hälfte des 1. Jh. n. Chr. • Alexandrien • Geometriewerk: Metrika (drei Bände) • Darin: Flächenberechnung eines Dreiecks durch seine Seiten (eigentlich von Archimedes) • Bedeutender Mechaniker

24. Heronsches Problem A und B sind zwei Punkte auf derselben Seite der Geraden l. Finde einen Punkt D auf l, sodass die Summe der Länge der Strecken AD und DB minimal wird. l

25. Lösung des Heronschen Problems Lösung erst selber versuchen!! • Spiegeln von B an l ergibt den Punkt B1 • Verbinde A mit B1 • Schnittpunkt von AB1 und l ist D. Die Strecke DB hat die gleiche Länge, wie die Strecke DB1. D ist der gesuchte Punkt. • Falls D‘ ungleich D, dann gilt:

26. Kürzester Weg • Die Abbildung zeigt ein Stück Land, das vom Waldrand w und dem Seeufer u geradlinig begrenzt ist. Der Indianer I will Holz und Wasser holen und zum Zeltplatz Z bringen. Welches ist der kürzeste Weg?

27. Kürzester Weg - Lösung

28. Literatur • Tikhomirov, Vladimir Mikhaĭlovich: Stories about Maxima and Minima, Providence 1990. • Claus, Heinz-Jörg: Extremwertaufgaben: Probleme, ihre Geschichte, Lösungen, Methoden, Darmstadt 1992. • Glatfeld, Martin: Lernsequenzen zum Thema „Extremwerte: Probleme und Lösungsmethoden“, in: Der Mathematikunterricht 5/82, S. 86-109. • Hofmann, Jos. E.: Über antike Beispiele zur Extremwertbestimmng und ihr Weiterwirken, in: Der Mathematikunterricht 5/72, S. 5-22. • Zum Brachistochrone-Problem: http://www.matheraetsel.de/texte/FacharbeitChrBLP.pdf