Како изабрати, решавати и састављати комбинаторне задатке

1. Како изабрати, решавати и састављати комбинаторне задатке Семинар за наставу математике 2010 Весна Јевремовић Математички факултет, Београд

2. Комбинаторика као математичка дисциплина је настала 1666, са Лајбницовим радом “Dissertatio de arte combinatoria”. Примена комбинаторике се среће и у радовима Тартаље, Паскала, Фермаа, Бернулија, Ојлера... а у средњем веку је један задатак из комбинаторике имао и лековита својства. Наиме, сматрало се да ко прочита на све могуће начине реч АBRACADABRА у доњој шеми, идући навише и удесно, “сигурно мора да оздрави од тродневне грознице”

3. Средњевековни рецепт против грознице • А B R A C A D A B R А • А B R A C A D A B R • А B R A C A D A B • А B R A C A D A • А B R A C A D • А B R A C A • А B R A C • A B R A • A B R • A B • A

4. Како изабрати, решавати и састављати комбинаторне задатке • Објашњавање поступака на стандардним, “неутралним” моделима (распореди куглица, цифара, ...) • Увежбавање кроз задатке ближе реалним ситуацијама – неке задатке решавати у целини, а неке само до препознавања поступка који треба применити при решавању • За контролну вежбу/тест – 25% лаких, 50% средњих и 25% тежих задатака

5. Какоизабрати,решаватии састављати комбинаторне задатке • Направити неку скицу/дијаграм што ће омогућити анализу задатка и уочавање операција које иду “у низу”, а које пак “паралелно” • Ако је број начина превелики тестирати правилност закључивања на задатку истог типа, али са мање случајева • Ако могућности одвијања операција јесу јасно раздвојене, анализирати сваки случај посебно, па на крају све сабрати

6. Какоизабрати, решавати исастављати комбинаторне задатке • У типским задацима мењати детаље • Пустити машти на вољу – налазити моделе и ситуације у реалном животу • разнобојни кишобрани • места у низу на делу паркинга • поштански сандучићи на улазу у зграду • неколико људи пред касом у самопослузи • репертоар позоришта • песме на диску • чарапе које се суше на конопцу • ...

7. Основна правила комбинаторике • правило сабирања • ако нека акција А може да се оствари кроз било коју од активности А1, ..., Аm а оне се могу остварити, редом, на n1, …, nmмеђусобно дисјунктних начина, онда је број могућности остварења акције А једнак n1 + … + nm. • правило множења • ако се нека акција А може да оствари кроз низ активности А1, ..., Аm које се могу остварити, редом, на n1, …, nmмеђусобно дисјунктнихначина, онда је број могућности остварења акције А једнак n1·… · nm.

8. Распореди са редоследом • пермутације без понављања • ако се у скупу налази n различитих елемената, онда је број начина да се сви елементи поређају у низ једнак n! • пермутације са понављањем • ако се у скупу налази n елемената, међу којима има истих и то, редом, n1, …, nm, при чему је n = n1+… +nm, онда је број начина да се сви елементи поређају у низ једнак n!/ n1!…nm!

9. Распореди са редоследом • варијације без понављања • ако се у скупу налази n различитих елемената, онда је број начина да се неких k елемената поређају у низ једнак n!/(n-k)! • варијације са понављањем • ако се у скупу налази n различитих елемената, онда је број начина да се формира низ од k елемента, који се могу понављати једнак nk.

10. Број подскупова • комбинације без понављања • ако у скупу има n различитих елемената, онда је број начина да се од њих формира подскуп од неких k елеменaтa једнак n!/(n-k)!k!= . • комбинације са понављањем • ако у скупу има n једнаких елемената, онда је број начина да се формира k подскупова, од којих неки могу бити и празни, једнак .

11. Комбинаторика и ...безбедност • На сефу су два бројчаника, сваки са по 16 подељака. Сеф се отвара тако што се сваки бројчаник окрене на или на једну или на другу страну за известан број подељака. Колико има различитих могућности да власник постави “шифру”?

12. Које се акције остварују? • А1- окретање левог бројчаника у изабрану страну • А2-број подељака на изабрану страну за леви бројчаник • А3- окретање десног бројчаника у изабрану страну • А4-број подељака на изабрану страну за десни бројчаник • Акције се остварују у низу

13. Сваки бројчаник можемо прво окретати удесно, а можемо и прво улево Решење: (2х16)х(2х16) = 1024 Ако би на исти начин функционисала два бројчаника са по 20 подељака, резултат би био 2х20х2х20=1 600, док са 4 бројчаника са по 10 подељака има 160 000 могућности, па је боље имати више бројчаника, макар и са мање подељака на сваком...

14. Комбинаторика и ... идентификација • Француски криминолог из XIX века, Алфонс Бертијон, предложио је систем идентификације криминалаца на основу 11 анатомских карактеристика (висина, обим главе, дужина ушне шкољке,...) за које се сматра да су непроменљиве код одраслих особа, и за сваку од тих карактеристика уписује се вредност: мало, средње, велико. Колико највише одраслих становника може бити у једној области, а да су за њих Бертијонове конфигурације различите?

15. Нечији “лични” подаци би овде били: с,в,м,с,...,м,м – тј. низ од 11 слова м, с, в • 177 147 = 311 • слабост Бертијоновог система, због које је и напуштен после проналаска отисака прстију као методе за идентификацију • са четири категорије: 4 194 304 • кад би било пет категорија: веома мало, мало, средње, велико и веома велико, онда би број могућих различитих записа био 511 = 48 828 125

16. Комбинаторика и ... Брајева азбука • Луј Брај је 1824. измислио азбуку за слепе на основу “ноћног писма” које је коришћено у француској војсци за ноћне комуникације на бојном пољу. То писмо је користило 12 испупчених тачака, а Брај је то смањио на 6 тачака, испупчених или не, постављених у две колоне по три. Колико се знакова може кодирати Брајевом азбуком?

17. Пошто се поље са 6 елемената (тачака) може идентификовати ако има бар једно испупчење, то је резултат 26-1=63 • Осим слова азбуке своје кодове имају и знаци интерпункције и неке најчешће комбинације слова или неке најчешће речи (у енглеској верзији: and, for, of, the, with, in,…)

18. Овде пише L.B.

19. Комбинаторика и ... куп-систем такмичења • На једном кошаркашком такмичењу у првом колу учествује 64 тима, и парови су већ одређени. Сви победници се састају у другом колу и тако редом. На крају је једна екипа укупни победник. На колико начина победе и порази могу бити распоређени на тимове?

20. У првом колу са 64 екипе биће 32 утакмице, затим 16, па 8, онда 4, па 2 и на крају финале – једна утакмица. Могући исходи су 0, 1 или 1, 0, па за две утакмице има 22 могућности, за 4 има 24,... Па је укупан број могућих распореда победа и пораза 2х22х24х28х216х232= 263.

21. Комбинаторика и ... музика • Једна октава на клавиру се састоји од 5 црних и 7 белих дирки. Колико различитих мелодија од 8 нота може бити одсвирано у оквиру једне октаве, ако је захтев да се црне и беле дирке користе наизменично?

22. Ако је редослед дирки б ц б ц б ц б ц онда је број могућности 7х5х7х5х7х5х7х5=54х74 А ако је редослед ц б ц б ц б ц б, опет толико могућности, па укупно има 3 001 250 мелодија.

23. Комбинаторика и ... љубав • Једна девојка свом момку сваки дан шаље поруку са четири од осам нежних речи које је за њега изабрала. Да ли је тих 8 речи довољно да у току године увек шаље друкчију поруку?

24. Ако се поруке разликују само по садржају, онда их има 8!/4!4!=420, а ако се поруке разликују и по редоследу изабраних речи, онда их има 8!/4!=1680. У првом случају имаће за целу годину (“вишак” може да потроши за рођендан или за нову годину), а у другом случају имаће за више од четири године!

25. Комбинаторика и ... слагалица • Једна слагалица из преткомпјутерског доба има 15 квадратних плочица на табли 4х4. Плочице су нумерисане од 1 до 15 и могу да клизе по табли, користећи преостало празно место. Колико различитих почетних позиција може да буде?

26. 16! = 20 922 789 888 ооо почетних позиција

28. итд. 1234 ... 1243 ... 1324 ... 1342 ...... 4321 укупно 24 основна положаја за слагалицу 2х2, од којих се неки могу превести једни у друге 1234...1432...1243...4213...2413...2314...2341...4321...3421...3124...3142...4132

29. Комбинаторика и ... аутомат за кафу • На колико начина се могу ставити три новчанице од 10 динара, две од 20 динара и једна од 50 динара у аутомат за кафу да би се платиле три кафе од по 40 динара?

30. Ако претпоставимо да је, у пребројавању, важан само редослед новчаница, онда је број начина а=6!/3!2!1! • Ако претпоставимо да је у пребројавању, осим редоследа, важно и са које стране је новчаница окренута, а да аутомат препознаје све 4 могућности, онда укупно има 46ха могућности.

31. Комбинаторика и ... заштита ауторских права • Пре XVII века нису постојали научни часописи и истраживачима је било тешко да докажу ауторство рада, па су једни другима слали анаграме, како би сажето изнели суштину свог открића. Кад је Кристијан Хајгенс кроз телескоп видео прстен око Сатурна, саставиo је “анаграм” од 62 слова “aaaaaaa ccccc d eeeee g h iiiiiii llll mm nnnnnnnnn oooo pp q rr s ttttt uuuuu”. На колико начина се та 62 слова могу поређати, не рачунајући размаке између речи и интерпункцију. • Решење је на латинском: “Annulo cingitur tenui, plano nusquam coherente ad eclipticam inclinato”, што значи “Окружен танким прстеном, равним, ни на шта не окаченим, под углом у односу на еклиптику”.

33. Хајгенсов “анаграм” се може преуредити на 62!/7!5!1!5!1!7!4!2!9!4!2!1!2!1!5!5! начина, што је приближно 3,6х1060 Тешко да би неко могао дешифровати!

34. Комбинаторика и ... избор пута • Неко ко станује на “адреси” А жели да се прошета до пријатеља на “адреси” В, али да успут сврати до продавнице на “адреси” О. Колико различитих путева минималне дужине може изабрати за једну такву шетњу?

35. B O A Путеви су минималне дужине ако се иде у десно и на горе. Стога од А до О треба прећи 9 хоризонталних и два вертикална одсечка, а број могућности је 11!/9!2!=55. Аналогно, број могућности од О до В је 8!/5!3!=56, а укупно могућности има 55х56=3080.

36. Комбинаторика и ... уређење стана • Нова библиотека у стану има места за 150 књига, на 5 полица по 30. Ако су књиге из три области, и има их редом по 30, 60, 60, на колико начина могу бити сложене на полице, ако на свакој полици могу да буду само књиге из исте области?

37. Ово је реални проблем, па мора да буде прилагођен/поједностављен да би се постављени задатак могао решавати. Поједностављење се односи на (претпостављену) једнаку димензију књига. • У оквиру решавања прво проналазимо на колико начина књиге (по областима) могу бити распоређене: 1,2,2,3,3; 1,2,3,2,3;...;3,3,2,2,1 тј. 5!/2!2!=30 • Затим одређујемо како књиге из исте области могу да буду подељене у две групе: 60!/30!30!, а онда сваких 30 се могу ређати на 30! начина, значи да можемо схватити као да је тих 60 књига поређано у низ • Укупан број начина је 30х60!60!30! !!!!!

38. Овде се може додати коментар о брзини раста функције !, као и Стирлингова формула за приближно одређивање вредности n!, за велике вредности n.

39. Комбинаторика и ... магија • На колико начина се реч АБРАКАДАБРА може прочитати ако се полази од горњег слова А и силази ка доњем слову А? А Б Б Р Р Р А А А А К К К К К А А А А А А Д Д Д Д Д А А А А Б Б Б Р Р А

40. А Б Б Р Р Р А А А А К К К К К А А А А А А Д Д Д Д Д А А А А Б Б Б Р Р А

41. 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 6 15 20 15 6 21 35 35 21 56 70 56 126 126 252

42. Паскалов (?) троугао • У Кини познат 1303, неколико векова раније него у Европи. • Примена за рачунање к-тог степена бинома, и за одређивање к-тог корена броја (к = 2, 3, ...)

43. Степени полинома • Који је коефицијент уз х23у развоју израза: (1 + x5 + x9)100 ? • Који је коефицијент уз х12у развоју израза: (1 + x3 + x6)18 ? • Који је коефицијент уз х28у развоју израза: (1 – 3x4 + 2x6)18 ? • Који је коефицијент уз х12у развоју израза: (1 + x3)18 ?

44. У развоју полинома (x1+…+xk)nкоефицијент уз x1ax2b...xkc, где је a+b+…+c=n, je n!/a!b!...c! (ту се појављују пермутације са понављањем, а ако погледамо формулу за развој бинома, као специјални случај ове формуле, добијамо тачан резултат, јер се пермутације са понављањем, ако имамо само две класе објеката, поклапају са комбинацијама без понављања)

45. Члан х23 добија се као 1а(х5)в(х9)с, па треба прво решити једначину 5в+9с=23, чија решења могу бити природни бројеви или 0. Добија се в=1, с=2. Стога је а=97, а одговарајући коефицијент је 100!/97!1!2!.

46. Комбинаторика и ...геометрија • Дато је 6 тачака у равни од којих никоје 3 нису на истој правој. На колико начина се од тих тачака могу формирати два троугла?

47. Од тих 6 тачака, три ће бити темена троугла А, а три троугла Б. На тај начин низ А А Б Б А Б значи да су тачке 1,2 и 5 темена првог, а остале темена другог троугла. Укупан број начина је 6!/3!3!=20 5 6 4 1 3 2

48. Постизборна комбинаторика ... • Осам политичара се срело на добротворној вечери. Колико ће укупно руковања бити, ако се сваки само једном рукује са осталим политичарима?

49. У питању је број парова који се могу образовати од 8 елемената, при чему је важно који елементи су у пара, а не поставља се питање њиховог редоследа. Стога је резултат 8!/2!6!=28

50. Комбинаторика и ... школске обавезе • Ученици треба да прочитају 20 страна за лектиру. Ако ученик хоће да то прочита за три дана, на колико начина може поделити текст у три дела, а да сваки дан прочита бар једну страну?