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例 5-1 在相对论动力学中恒力作用下的直线运动。 解： （初始条件： t = 0 ， x o = 0 ， v o = 0 ）

例 5-1 在相对论动力学中恒力作用下的直线运动。 解： （初始条件： t = 0 ， x o = 0 ， v o = 0 ） 非相对论： a = F/m ， v =at ， x = at 2 /2. 相对论：. 1 、速度. t   ， v  c ， P = F t  . v. x. v = Ft/m o. x = Ft 2 /2m o. c. x = ct - m o c 2 /F. o. t. t. o. 2 、位移.

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例 5-1 在相对论动力学中恒力作用下的直线运动。 解： （初始条件： t = 0 ， x o = 0 ， v o = 0 ）

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Presentation Transcript

  1. 例5-1 在相对论动力学中恒力作用下的直线运动。 解： （初始条件：t = 0，xo= 0，vo= 0） 非相对论： a = F/m， v =at， x = at2/2 相对论： 1、速度 t  ， v  c ， P = F t  

  2. v x v = Ft/mo x = Ft2/2mo c x = ct - moc2/F o t t o 2、位移

  3. 例5-2 电子的能量为2.00  106 eV，求电子的 动能。 电子静能 Eo = mec2 = 9.11  10-31  ( 3.00  108 )2 = 8.20  10-14 J = 0.51  106 eV EK = E - Eo = 2.00  106 - 0.51  106 = 1.49  106 eV

  4. 例5-3 计算动能为 1  105 eV 电子的速率 v . 解: EK = mc2 - moc2 = 0.549 c

  5. 例5-4 (1)试计算动能为1×106 eV电子的动量 (2)计算一个速度为 0.8c 的电子动量 解：(1)Eo2 + P2 c2 = E2 = ( Eo + EK )2 可导出动量与动能的关系为 P = [( EK + Eo )2 - Eo2 ]1/2 /c = [ EK( EK + 2 Eo ) ]1/2 /c = [1106(1106+20.51106)]1/2/c = 1.42 eV/c (2) P = mv = mov/( 1- v2/c2 )1/2 = [ m0c2/(1- v2/c2)1/2 ]·v/c2 = [0.51  106/( 1- 0.82 )1/2 ]·0.8/c = 0.68  106 eV/c

  6. Ex. 5-5 A particle of rest mass m0 and velocity v0= 0.8 c collides inelastically with a particle of mass3m0at rest in the laboratory . The two particles stick together , forming a particle of mass M. Find the velocity of the resulting particle relative to the L-frame and the rest mass . Solution: Let the velocity of the resulting particle relative to the L-frame is v, its rest mass is Mo .

  7. From conservation of the momentum From conservation of the energy

  8. m [例]设有静止质量为 的粒子，以大 0 小相同、方向相反的速度 v 相撞，反映合成一个复合粒子。试计算这个复合粒子的静止质量和运动速度。 m v m v M V = 0 0 2 m c 2 0 M c = 2 v 2 1 c 2 2 m M 0 得： 0 V = M M = = 0 v 2 0 1 c 2 由动量守恒和能量守恒（或质量守恒）得：

  9. 2 m M 0 = 0 v c 1 2 2 > 复合粒子质量 2 M m 0 0 2 m 0 2 2 M m = m v c 0 0 0 1 2 2 2 E c 2 ( ) 2 = m m k = 0 c c 2 2 E k为两粒子碰前的动能. 对应动能的这部分质量转化为静止质量，静质量增加了，但相对论质量保持守恒！ 实际上M 0 =2 m是两个粒子的动质量，等于复合后粒子的静质量，质量是守恒的。

  10. 例：p+ + p+(靶子) p+ + p+ + o 其中：p+ 为质子，o为介子 若靶子的质子在 L - 参照系中是静止的，则 Q = ( mp+ mp - mp - mp - m ) c2 = - mc2 M = mp+ mp + mp + mp + m = 4mp+ m 阀动能： Ek = - QM/2m2 = mc2 (4mp+ m )/2mp = ( 2 + m /2mp ) mc2 = 286 MeV

  11.  v = 1 v2 v2 = 2 1 1 m0 c2 c2 = 0.866c . 11. 一观察者测出电子质量为 2 m。，m。为电子的静止质量，试求电子的速度。 解：

  12. 12. 某人测得一静止棒质量为 m , 长为 l , 求得其线密度  = m / l。当棒以速度 v 沿其长度方向运动时，此人再测得棒的密度是多少？若棒沿垂直于其长度方向以同一速度运动，其线密度又为多少？ 解：当棒沿其长度方向以运动时，此人测得棒 长缩短： 质量为：

  13. 则棒的线密度为： 当棒沿垂直于长度方向运动时，其长度不收缩，则棒的线密度为：

  14. (  1 ) 1 时， (1) 当 13. 设电子速度为 (1) 1.0  106 ms1, (2) 2.0  108 ms1 ,计算电子的动能各是多少？如果用经典力学计算电子的动能又为多少？把两次计算结果分别比较，你能得出什么结论？ 解：在相对论情况下，电子动能为：

  15. 时， （2） 当 1 ) (  1 如果用经典动能公式，则

  16. = 2, 可得: 由 可得 = 2 , 14. 在什么速度下粒子的动量比非相对论动量大一倍？在什么速度下粒子的动能等于其静能？ 解：由

  17. 解： 15. 一电子丛静止加速到 0.1c的速度需做多少功？速度从 0.9c 加速到 0.99c 又要作多少功？

  18. 16. 两个氘氦组成质量数为 4，原子量4.0015 原子质量单位的氘氦，试计算氚氦的结合能为多少 MeV？已知氘氦的质量为 2.01355 原子质量单位，一原子质量单位等于1.6610 -27 kg 。 解：

  19. 17. 在一惯性系中有两个静止质量都是 m。的粒子A 和 B，它们分别以    v2 v2 v2 1 1 1 解：设复合核的质量为M。，速度为 v，动量为则由动量守恒定律可得： c2 c2 c2 m0 m0  运动，相撞后构成一个复合粒子 C，试求复合粒子 C 的速度和相对论质量。

  20.  v2 v2 1 1 c2 c2  v=0 由相对论总能量守恒可得：

  21. 18 在实验室系中  光子以能量 E 射向静止的质子，求此系统质心系的速度。 解： 动量 能量 实验室系 ：光子  ： E / c E 质子 p： 0 mpo c2 质心系 ：P’ = 0 四维动量洛仑兹变换：Px’ =  ( Px - E / c ) Px’= 0，Px= E / c， E = E + mpo c2  = Px c / E = E / (E + mpo c2 ) 质心系的速度：vC =  c = E c/ (E + mpo c2 ) 或： P = E / c，M = ( E + mpo c2 ) / c2 vC = P / M = E c/ (E + mpo c2 )

  22. 19  + 介子衰变为  + 子和中微子  ；  +   + +  求质心系中  + 子和中微子的能量，已知三粒子的静质量分别为 m、 m 和 0 。 解： E = ( m2 + m2 - 02) c2 / 2m =( m2 + m2) c2 / 2m E = ( m2 + 02 - m2 ) c2 / 2m =( m2 - m2) c2 / 2m

  23. 20 光生 K+ 介子的反应为：  + p  K+ +o (1) 求上述反应得以发生时在实验室系(质子静止系)中光子的最小能量。 (2) 在飞行中 o 衰变为一个质子和一个  - 介子。如果 o具有速率 0.8 c ，则  - 介子在实验室系中可具有的动量最大值为多少？垂直于 o 方向的实验室动量分量的最大值为多少？ 已知 mK = 494 MeV/c2 ，m = 1116 MeV/c2 ， m = 140 MeV/c2 ，mp = 938MeV/c2 。

  24. (1) 求上述反应得以发生时在实验室系(质子静止系)中光子的最小能量。 解： ( P + Pp )2 = ( PK + P )2 实验室系： P = E /c ，Pp= 0，Ep = 938 MeV。 (P + Pp )2 = P 2 +Pp2 + 2PPp =- Ep2/c2- 2E Ep /c2 当在K+ +o 质心系中 K+ 和 o 都静止时，即( PK + P )2= - (mK + m ) 2c2 ，所需能量最小。 - Ep2/c2- 2E min Ep /c2 = - (mK + m ) 2c2 E min = [(mK + m ) 2c4 - Ep2]/ 2Ep = [(494+ 1116) 2- 938 2]/ 2 938 MeV = 912.7 MeV

  25. (2) o 衰变为：o  - + p , 如果 o具有速率 0.8 c ，则  - 介子在实验室系中可具有的动量最大值为多少？ 解： P= P + Pp Pp= P- P  Pp2 =( P -P)2  Pp2 = P2 +P2 - 2PP  -mp2c2 = -m2c2 -m2c2 - 2PP 实验室系：P= ( P，iE/c )，P= ( P ，iE /c ) PP = P  P - EE/c2 -mp2c2 = -m2c2 -m2c2 - 2 ( P  P - EE/c2 ) P  P = ( mp2-m2-m2 ) c2/ 2 + EE/ c2 P P cos = ( mp2-m2-m2 ) c2/ 2 + EE/ c2 = ( mp2-m2-m2 ) c2/ 2 + E( m2c 4+P2c2 )1/2/c2

  26. PPcos =(mp2-m2-m2)c2/2+E(m2c4+P2c2 )1/2/c2 其中  表示实验室系中 P 与 o 方向的夹角。 当 dP /d = 0 时， P 有极值。 PdP cos -PP sind =E(m2c 4+P2c2)-1/2PdP dP /d = PP sin/[Pcos -E(m2c 4+P2c2)-1/2P] dP /d = 0  P sin = 0  P = 0 或  = 0 当 P = 0  动量最小。 当  = 0 ，即在实验室系中与 o运动方向相同的  - 介子动量最大。

  27. 在质心系中： E’= (m2 + m2 - mp2) c2 / 2m = ( 11162 + 1402 - 9382 )/21116 = 172.6 MeV P’= (E2- m2 c4)1/2/c = (172.62-1402)1/2 MeV/c = 100.9 MeV/c 在实验室系中：= 0.8 c ，  = ( 1- 2 )-1/2 = ( 1- 0.82)-1/2 = 1.667 Pmax =  ( P’ + E’/c ) = 1.667 ( 100.9 + 0.8  172.6 ) = 398.4 MeV/c Emax=  ( E’ + P’c) = 1.667 ( 172.6 + 0.8  100.9 ) = 422.3 MeV

  28. 垂直于 o 方向的实验室动量分量的最大值为多少？ 解：在实验室系中： P  P =(mp2-m2-m2)c2/2+E(m2c4+P2c2 )1/2/c2 PP // =(mp2-m2-m2)c2/2 + E(m2c4 +P //2 c2 +P 2 c2 )1/2/c2 P 2=[PP // -(mp2-m2-m2)c2/2]2 c2/E2-P //2-m2c2当 dP /dP // = 0 时， P 有极值。 P[PP // -(mp2-m2-m2)c2/2]c2/E2 -P // = 0  P // =(mp2-m2-m2)c4P/2(P2c2 - E2 ) = - (mp2-m2-m2)P/2m2

  29. m= 1116 MeV/c2，m = 140 MeV/c2， mp = 938MeV/c2，Emax= 422.3 MeV P = mc = 1.66711160.8 = 1488.3 MeV/c E = mc2 = 1.6671116 = 1860.4 MeV P // = - (mp2-m2-m2)P/2m2 = -( 9382-11162-1402)1488.3/2 11162 = 230.2 MeV/c P 2max=[PP // -(mp2-m2-m2)c2/2]2c2/E2 - P //2- m2c2 =[1488.3230.2-(9382-11162-1402)/2]2/1860.42 - 230.22 - 1402 = 10171.7 (MeV/c)2 P  max = 100.9 MeV/c

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