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Department Mathematics-Statistics: Stochastics I. Department Mathematics-Statistics: Stochastics I. Department Mathematics-Statistics: Stochastics I. Department Mathematics-Statistics: Stochastics I. Ich gehe davon aus, dass Sie die Lebesguesche Integrationstheorie
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Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Ich gehe davon aus, dass Sie die Lebesguesche Integrationstheorie beherrschen. Zur besseren Lesbarkeit des Skripts ist ein Kurzkurs im Skriptum. Sollten Notationsfragen sein, so bitte dort nachsehen. Dies ersetzt aber in keinster Weise den Besuch einer entsprechenden Vorlesung !
Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Erinnerung definiert den positiven und den negativen Anteil einer LV
Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Diese Definition ist nicht konstruktiv !!!
Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Diese Definition ist nicht konstruktiv !!!
Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Existenz Integrierbarkeit Eindeutigkeit
Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Dieses Bild gibt eine intuitive Erklärung für die Bedeutung des bedingten Erwartungswerts: Angenommen, ein System x beinhaltet die Information F in dem Sinne, dass x Fx =F–messbar ist. Nun kennen Sie diese Information F nicht, sondern Sie kennen aus Beobachtungen heraus nur eine Teilinformation G. Sie suchen nun eine Beschreibung des Systems, die nur auf der Beobachtung G beruht und x in „bester“ Weise schätzt. Sie suchen also eine G-messbare Zva y, die im Sinne von „best“ möglichst nahe an x liegt. y kann man als (besten, hier im Sinne des quadratischen Kriteriums) Schätzer von x aufgrund der Beobachtung G bezeichnen (s.Statistik)
Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Marina Bay Singapore Courtesyofstarwood
Department Mathematics-Statistics: Stochastics I E I G E N S C H A F T E N
Department Mathematics-Statistics: Stochastics I E I N SCHUB W I E D E R H O L U N G NOTATION (wegen zweier Fragen): Fast sichere Eigenschaften: Wir hatten schon bemerkt, dass häufig Zufallsvariablen dasselbe beschreiben, wenn sie sich nur auf Nullmengen unterscheiden: Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum und x, y zwei reelle Zvaen darauf. Man sagt x ist gleich y P-fast sicher (, P-almostsurely, mit Wahrscheinlichkeit 1, …) wenn Man schreibt x=y P-f.s. oder x=y P-a.s. oder x=y (P) usw. Häufig versteht man für Zvaen auch x=y automatisch als P-a-s. Allgemeiner sagt man, eine Eigenschaft „a“ gilt P-fast sicher, falls es eine Nullmenge A gibt, so dass für alle Elemente außerhalb von A gilt: „a“ ist richtig.
Department Mathematics-Statistics: Stochastics I E I G E N S C H A F T E N
Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Explizite Berechnung des bedingten Erwartungswerts: Seien x,yZva mit gemeinsamer Dichte Sei die Randdichte von y. Dann ist die bedingte Dichte von x bzgl y definiert durch Die bedingte Dichte ist eindeutig definiert außerhalb der Nullmenge, wo Null wird. Die Größe Ist der bedingte Erwartungswert von x bzgl y. Hier ist E(x|y) als Baire Funktion von y dargestellt: E(x|y)=z(y) Offensichtlich muss gelten so dass wir das Analogon der Bayes Formel erhalten, hier für die Dichten:
Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Beispiel Man interpretiere (mn) als den Wert einer Aktie zum Zeitpunkt n. Was bedeutet die obige Aussage ?
Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Vergleich Gleichverteilung und Binomialverteilung, n=6, p=1/2
Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Varianz für die Binomialverteilung in Abhängigkeit von p Entropie Dies hängt eng zusammen mit der „Entropie“ eines Systems: Gegeben eine diskrete Wkt mit (p1,,, pn), so heißt H= -S pi ln pi die Entropie des Systems. Sie ist eine Größe, die die Unordnung in einem System misst: Für p=q hat die Binomialverteilung ein Höchstmaß an „Unbestimmtheit“
Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Erwartungswert und Varianz sind zwei Größen, die das Auskommen in einem Experiment charakterisieren sollen. Konkret: Im Beispiel oben haben wir gesehen, dass der Ewert nicht ausreicht. Deshalb haben wir die Varianz hinzugenommen. E X P E R I M E N T E R G E B N I S
Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Lassen sich diese Ergebnisse „lesbarer“ zusammenfassen. In diesem Fall ja: Wenn Sie hier wissen, dass die Verteilungsannahme Bernoulli richtig ist, so reicht zur gesamten Beschreibung die Angabe p=0.5. Aber: E X P E R I M E N T E R G E B N I S
Department Mathematics-Statistics: Stochastics I • Im Beispiel oben haben wir gesehen, dass der Ewert nicht ausreicht. Deshalb haben wir die Varianz hinzugenommen. Aber auch diese beiden reichen i.a. nicht aus, um die Verteilung zu charakterisieren. Da var(x)= E(x^2)-E(x)^2 können wir auch fragen: • Charakterisieren die Momente • E(x^n) , n N • die Verteilung eindeutig. Auch das ist i.a. nicht korrekt. • Dies ist ein eigenständiges Problem, das wir hier nicht weiterverfolgen wollen. • Wir wollen mit verwandten Größen nun versuchen, den Zusammenhang zwischen Zvas zu charakterisieren
Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Kolmogorov ! Erinnerung: Die LpRäume sind normierte Räume. Sie sind Banachräume. Lp und Lq sind für 1/p+1/q=1, p>1 dual zueinander. L2 ist ein Hilbertraum.
Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Galton Board Irrfahrt ABER :
Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Galton Board Betrachten Sie n Lässt sich hier etwas sagen über die Konvergenz der Reihe ? !!
Department Mathematics-Statistics: Stochastics I „Die Binomialverteilung konvergiert gegen die Normalverteilung“
Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Diverse Konvergenzarten:
