刚体转动习题

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刚体转动习题 4-1 4-2 4-3 4-4 4-5 4-6 4-7 4-8 4-9 4-10 4-11 4-12 4-13 4-14 4-15 4-16 4-17 4-18 4-19 4-20 4-21 4-22 4-23 4-24 4-25 4-26 4-27 4-28 4-29 4-30 4-31 4-32 结束习题总目录目录

4 -1 一飞轮直径为0.30m，质量为5.00 kg，边缘绕有绳子，现用恒力拉绳子的一端，使其由静止均匀地加速，经 0.50 s 转速达 10r／3。假定飞轮可看作实心圆柱体，求：（1）飞轮的角加速度及在这段时间内转过的转数；（2）拉力及拉力所作的功；（3）从拉动后经 t =10s时飞轮的角速度及轮边缘上一点的速度和加速度。结束目录

解： 2 5 0.15 × 2 J = M R = 2 q 2.5rev = 5.2×10-2 kg.m2 N = (1) = ( ) 1 1 1 ω a n t = = 2 2 2 ω π π π n 2×3.14×10 2 2 2 a = = = 0.5 t t = 1.26×102 1/s2 a t q 2 1.26×102×(0.5)2 = 5π × = = 结束目录

(2) a J M = = F R a 5.6×10-2×1.26×102 J 47N F = = = R 0.15 q q = = A M F R 47×0.15×5π=111J = 结束目录

(3) 2.38×105 m/s2 1.89×102 m/s = = ω a t = = = 0.15×1.26×102 0.15×1.26×103 = 1.26×102×10 =1.26×103 1/s v ω = R a ω = R 2 n a a = R = 0.15×(1.26×103)2 t =18.9m/s2 结束目录

F 0.75m 0.5m ω d 闸瓦 4-2 飞轮的质量为60kg，直径为0.50m，转速为1000r／min，现要求在 5s内使其制动，求制动力 F ,假定闸瓦与飞轮之间的摩擦系数μ= 0.4，飞轮的质量全部分布在轮的外周上。尺寸如图所示。结束目录

解： N F ω 104.7 0 a 20.9 r/s2 = = = 60×(0.25)2 J m 2 = = t R 5 f t 0 = N 3.75kg.m2 1000 = ( ) n ω ω ω f = = × 0 + F N = 0 0 60 0 t 5 = l l l l l l l l = 1 1 2 1 2 1 1 2 π π 2 2 a J N = m R a J 314N F = = a m m J = = f R N R + R =104.7 r/s 结束目录

T T 2 1 m m 2 1 4-3 如图所示，两物体1和2的质量分别为m1与m2，滑轮的转动惯量为J,半径为 r 。（1）如物体2与桌面间的摩擦系数为μ，求系统的加速度 a 及绳中的张力 T2 与 T2 （设绳子与滑轮间无相对猾动）；（2）如物体2与桌面间为光滑接触，求系统的加速度 a 及绳中的张力 T1与 T2。结束目录

f m m = N = N N = 0 T T T T T T T T T T 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 = a m m J f + + = J + + f = g g a r ( ( a ) ) J a r r = = m m m m m m m m m m m m a a r r r r r m m m m m m m m m g g g g g g g 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 m m 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 m a = J + + 解得： m J + + = J + + 解：(1) 结束目录

m (2) = 0 T T 2 1 ( ) m m m m m m m m a r r r r m m m g g g = 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 J 2 1 1 + + = J + + J + = J + + 结束目录

4-4 电动机带动一个转动惯量为J = 50 kg·m2 的系统作定轴转动。在 0.5s 内由静止开始最后达到 120 r／min的转速。假定在这一过程中转速是均匀增加的，求电动机对转动系统施加的力矩。结束目录

t 0.5s = 解：由已知 0 1.26×103 N.m = = ω n a 50 J a M = = × = = t t ω ω 0 0 π π 120 8 2 2 3.14 × × 60 π r s 8 = = 2 0.5 结束目录

4-5 求题4-2中制动力矩在制动过程中所 作的功。结束目录

ω J J A = 2 2 = 2 = × 3.75 104.7 2 × ( ( ) ) 1 1 1 ω ω -2.05×104 J = 0 0 2 2 2 解；由转动动能定理结束目录

4-6 某冲床上飞轮的转动惯量为4.00× 103kg·m2．当它的转速达到 30 r/min时，它的转动动能是多少？每冲一次，其转速降为10 r／min转。求每冲一次飞轮对外所作的功。结束目录

解： 30 (1) ×4.0×103 2 J = 2 E = 60 = 1.96×104 J k k k k k k k 1 1 2 2 1 2 2 10 (2) ( ( ) ) ×4.0×103 J 2 1 1 1 1 1 ω ω ω 2 E = = 60 2 1 2 2 2 2 2 2 π π = 2.06×103 J 2 2 = = 2.06×103 1.96×104 A E E 1.7×104 J = J = A E E 2 E = 飞轮作功为： 1.7×104 J 结束目录

R 1 R 2 0 F 4-7 绕有电缆的大木轴，质量为 1000kg，绕中心轴 0 的转动惯量为 300 kg·m2．如图所示： R1=1.00m，R2=0.40m。假定大木轴与地面间无相对滑动，当用 F = 9800 N的水平力拉电缆的一端时，问：（1）轮子将怎样运动？（2）轴心 0 的加速度是多大？（3）摩擦力是多大？（4）摩擦系数至少为多大时才能保证无相对滑动？结束目录

F q （5）如果力 F与水平方向夹角为θ (<π/2) 见图，而仍要使木轴向前加速且与地面无相对滑动，问θ最大不能超过多少？结束目录

R 1 o R a 1 = = 4.52 = 4.52 m/s2 × 2 F f R R R R R R 1 1 1 2 1 2 N a = = F M M J J J J J ( ( ) ) A A A A 0 A A 2 m 1.3×103 kg.m2 g m a = + = 0 F a = = 9800 0.6 × 4.52 rad/s2 = = 1.3 103 × 解：(1)当轮子与地面无相对滑动时，作纯滚动。轴心O的加速度为：结束目录

(3) f f m m F F = = f f m m = = F F m m f = = N a a a a a 根据牛顿第二定律 (4) 4.52 9800 1000 = 5.28×103 N = × 0 0 a m m ≤ R F m m m g g g 1 f ≤ f 轮子只滚不滑的条件是：静max 即： m f m ≤ N = F a m R F m ≥ 0.54 1 = 只滚不滑时而 a a = R 1 结束目录

(5)设轮子向右运动 R R R R R R R R R a cos q f m m (1) 1 1 1 1 2 2 2 1 2 = = F a J f F = 0 a (2) 0 ( ) m g cos q F a F ≥ 0 = o J m 2 R + q 0 1 cos q ≥ 0 f N 0.4 0.4 cos q = ≥ ≥ 1 解式(1)(2)得：结束目录

r r A B m c O 4-8 有质量为 mA与 mB，的两圆盘同心地粘在一起，半径分别为 rA与 rB 。小圆盘边缘绕有绳子，上端固定在天花板上，大圆盘边缘也绕有绳子，下端挂一物体，质量为 mC（见图）试求：（1）要使圆盘向上加速、向下加速、静止或匀速运动的条件；（2）在静止情形下，两段绳子中的张力。结束目录

解： (1) g + = + T T T T T T T 1 1 1 1 1 a a J T = + = a a a a ´ a = = = a ´ a m m m m m m m m r r r r r r r r r r r r r r r m m r B B B B B B B B B A A A A A B A B B B B B A A A A A J J ( ( ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) ) ) ( ) g B A m m m m m + g g g a a a a a C C C C C 0 0 0 0 0 g + a ´ = = 2 J g + + + 解得：结束目录

若：上升 > 0 m m m m m m m m m m r r r r r r r r r r r r r r r r r 要求： B B B B B B B B B B B B A A A A A B B B B B A A A A A ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) g > + m m m m m g g g g a a a a C C C C C 0 0 0 0 若：下降 < 0 要求： g < + g + = 2 = 0 J 若：静止 g + + + g = + 要求：结束目录

g (2) + = + T T T T T T T 1 1 1 1 1 1 a a J T = + = a a a a ´ a = = = m m m m m m r r r r r r r r r B B B B A A A A A B B B A A A J J J J ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) B B A A m m m m g g a a a C C C C 0 0 0 g 0 + = T a ´ = a a J T = + = a ´ = a a ´ = 静止时，a0=0，上述方程变为：结束目录

g 0 T T T T T + = T 1 1 1 1 1 g + + a a J T = + = g T = + + m m m m m m m m m m r r r r r r r r r r r r r a ´ = B B B A A A A A A B B B B B A A A A A B B A A J J ( ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) ) a a ´ = 解得： B A m m m m m m m m m m g g g C C C C C C C C C C J + = 2 J + J + = 2 J + 结束目录

r=b A C h a β B 27 a h ≥ 10 4-9 密度均匀、半径为b、质量为 m 的小球在与水平面的夹角为β的斜面上无滑动地滚下并进入一半径为 a 的圆形轨道，如图所示。假定小球由高度为 h 的顶部从静止滚下。（1）求小球到达斜面底部时的角速度和质心的速度；（2）证明：如果 b << a ，要使小球不脱离圆轨道而达到 A点，则 h 应满足：结束目录

2 J J m b 2 C B = 0 0 5 r=b A C ω h m 2 + 2 = 从机械能守恒 a h β 1 1 2 1 1 1 m m g g v v v B b 5 2 2 2 2 0 0 0 10 10 g h g h ω = = 7 7 ω b = ω ω 2 2 2 2 h m m b b + = 解：(1)球的转动惯量为结束目录

(2)从C → A 机械能守恒， J ω m h m g 2 a + 2 + 2 = 0 2 m = 2 g a = a g a 1 1 1 2 1 m 2 h m m g 2 a + g a + b = m m m g g g v v v b 2 2 2 2 2 5 A A A 当时， a b < a a 27 a h 2 a + + = = 5 10 2 27 a h ≥ 10 小球不脱离轨道时：结束目录

F 4-10 压路机的滚筒可近似地看作一个直径为D的圆柱形薄壁圆筒（如图），设滚筒的直径 D =1.50m，质量为10 t 如果水平牵引力 F 为 20000N 使它在地面上作纯滚动。求：（1）滚筒的角加速度和轴心的加速度；（2）摩擦力；（3）从静止开始走了1m时，滚筒的转动动能与平动动能。结束目录

D 2 D 2 D 2 m m ( ) m ( ) + A a J = = F 2 2 2 A 0 D a f = M = F J 2 A A 20000 M F 1.33 r/s2 a A = = = = 1.5 10000 m J D × A 1.5 D 1 m/s2 a a 1.33 = = = × 0 2 2 (2) m a F f = 0 m a 1 = 10000N 20000 10000 f = F = × × 0 解: (1)滚筒对瞬时转动中心的惯量结束目录

s 2 4 s a s (3) ω q 2 2 a q = = = = 2 D D D 4 1 1 a s D 2 转动动能： ω m ( ) E = J 2 = × 2 2 2 k1 0 D 1 104 J m a s = D = 2 1 1 平动动能： D 2 ω E m ( ) v = m 2 = k 2 2 2 0 1 104 J m a s = D = 2 结束目录

A q l B 4-11 长为 l 质量为 m 的均匀杆，在光滑桌面上由竖直位置自然倒下，当夹角为θ时（见图），求：（1）质心的速度；（2）杆的角速度。结束目录

A x q = 0 c l l y cos q = c 2 B v 0 = cx d y d d l q q ω c v sin q = = = cy 2 d t d t d t l v v ω sin q = = c cy 2 1 1 1 1 m v 2 ( m l 2 ) ω 2 m q g ( 1 cos ) + = c 2 2 12 2 解：选质心坐标系由机械能守恒：结束目录

1 1 1 1 m v 2 ( m l 2 ) ω 2 m q g ( 1 cos ) + = c 2 2 12 2 将代入得： v c 1 1 l l 2 ω ( 2 ω 2 ) q sin q ( 1 cos ) m + m l 2 2 m = g 2 24 2 4 q ( 1 cos ) 12 g ω = ( 1 + 3 sin 2 q ) l q ( 1 cos ) 12 g l l v ω sin q sin q = = c 2 2 ( 1 + 3 sin 2 q ) l 结束目录

l 4-12 如图所示，一圆柱体质量为 m，长为 l ，半径为 R，用两根轻软的绳子对称地绕在圆柱两端，两绳的另一端分别系在天花板上。现将圆柱体从静止释放，试求：（1）它向下运动的线加速度；（2）向下加速运动时，两绳的张力。结束目录

2 m T = T T g a a 2 a l a R J = 2 2 = R = + = ( ) 1 3 2 1 2 R m m m m m m m m g g g g g R R R a a 3 2 6 2 3 c c a g = R = T = 解：设系统做纯滚动结束目录

ω 4-13 在自由旋转的水平圆盘边上，站一质量为 m的人。圆盘的半径为，转动惯量为 J ，角速度为ω。如果这人由盘边走到盘心，求角速度的变化及此系统动能的变化。结束目录

解：系统角动量守恒 (1) 2 ω ω J J + = ´ 2 2 J + ( ( ( ( ) ) ) ) 2 1 1 1 ω ω J 2 = ω ω ω ω Δ = 2 ´ = J m m m m m m m R R R R R R R + J 2 ω ω ´ = J 2 2 2 J ´ J ω 2 = ´ E 2 2 J + k (2) ω 2 = J ´ Δ E = E E k k k 1 2 = 2 J 2 + 2 J 结束目录

ω R R 1 2 4-14 在半径为R1、质量为 m 的静止水平圆盘上，站一质量为 m 的人。圆盘可无摩擦地绕通过圆盘中心的竖直轴转动。当这人开始沿着与圆盘同心，半径为R2（＜R1）的圆周匀速地走动时，设他相对于圆盘的速度为 v，问圆盘将以多大的角速度旋转？结束目录

解： v ω ´ = R 盘对地的角速度 ω 2 J m 2 人对盘的角速度 = R 1 v ″ m ω 2 ω 0 ( ) J R + 1 1 1 ω = 人对地的角速度 ω ω ω ω ″ = + = ´ + 2 R R 2 2 2 v 2 2 R ω 0 2 m ω m 2 + = R + R 1 2 1 R 2 2 v R m v 2 = R ω 2 = 2 2 2 R + R 1 2 2 m 2 m + R R 2 1 由角动量守恒得：结束目录

4-15 如图所示，转台绕中心竖直轴以角 速度ω 作匀速转动。转台对该轴的转动惯量 J = 5×1O-5 kg.m。现有砂粒以 1 g/s 的速度落到转台，并粘在台面形成一半径 r =0.1 m的圆。试求砂粒落到转台，使转台角速度变为ω0/2所花的时间。 ω 0 结束目录

d m 已知： ω -3 kg/s 1 10 = × 0 d t ´ ω ´ J J = J mr = + 2 r r m J 2 = ( ( ) ) 1 1 1 ω ω ω ω 0 0 0 0 2 2 2 kg.m2 J J 5×10-5 = m = r 2 m J t = = r d m d t d m d t 2 5×10-5 5s = = 0.1 2 1×10-3 × 解：由角动量守恒结束目录

A B 2 a 4-16 长为 2a的匀质棒AB，以铰链固定在 A点，最初，用手在 B点把它放在水平位置静止不动。当放开 B端，棒绕 A点转到竖直位置时，去掉铰链，使它成为自由落体。在以后的运动中，它的质心沿抛物线运动，而棒则绕质心旋转着。问当它的质心下降距离 h时，棒转了几转？结束目录

解：质心在铅直方向作自由落体运动 h g t 2 = 2 h t = g A B ( ) 2 a 1 1 1 1 2 3 2 2 π π 2 2 J ω m g a 2 = g 3 ω ω m g a m 2 a 2 2 = = × 2 a q 1 3 h g 3 2 h 3 h ω n q t = = = = × = g a 2 a a 从水平位置到铅直位置机械能守恒目录结束

m ´ R m ω 4-17 在一半径为 R、质量为m的水平圆盘的边上，站着一个质量为 m′的人。这圆盘可绕通过中心的竖直轴转动，转轴与轴承之间的摩擦阻力可忽略不计。当人沿盘的边缘走一周回到盘上原有位置时，这圆盘将转过多大的角度？结束目录

解： J m 2 = R 盘对地的角速度 ω v 人对盘的角速度 ω r ´ = m ´ R R m ( ) v 1 ω 人对地的角速度 r ω ω ω ω ″ = + = ´ + R 2 由角动量守恒得： ´ ″ m ω 2 ω 0 J R + = v 1 ´ ω 0 2 m ( ω ) m 2 r + = R + R R 2 ´ ´ m m v v R ω r r = = 1 1 ´ ´ 2 m 2 m m m + + R R R 2 2 结束目录

时间内，人相对盘转过的角度为： 由题意在 Δ t v ω r q Δ ´ ´ t ∴ Δ t = = = 在时间内，人相对地转过的角度为： Δ t R ( ( ( ) ) ) R Δ t = π π π π 2 2 2 4 v r ´ m v r ω Δ Δ q t t = = ´ m 2 m ´ + ´ R m v m R r = = v ´ ´ m m m 2 m 2 + + R r 结束目录

4-18 一脉冲星质量为1.5×l030kg，半 径为 20km。自旋转速为 2.1 r/s，并且以 1.0×10-15 r/s 的变化率减慢。问它的转动动能以多大的变化率减小？如果这一变化率保持不变，这个脉冲星经过多长时间就会停止自旋？设脉冲星可看作匀质球体。结束目录

刚 体 转 动 习 题