第四章 留数定理

1. 第四章 留数定理 1 留数的概念及留数定理 2 利用留数定理计算复变函数的积分 3 利用留数定理计算实变函数的积分

2. 留数如果函数f(z)在z0的邻域内解析, 那么根据柯西定理 §4.1 留数定理 一 留数及留数定理 • 但是, 如果z0为f(z)的一个孤立奇点, 则沿在z0的某个去心邻域0<|z-z0|<R内包含z0的任意一条正向简单闭曲线l的积分 一般就不等于零.

3. 因此将f(z)在此邻域内展开为洛朗级数f(z)=...+a-n(z-z0)-n+...+a-1(z-z0)-1 +a0+a1(z-z0)+...+an(z-z0)n+...后,两端沿l逐项积分, 右端各项积分除留下a-1(z-z0)-1的一项等于2pia-1外, 其余各项积分都等于零, 所以 • 其中a-1就称为f(z)在z0的留数, 记作Resf(z0), 即

4. 2（有限远点的）留数定理 设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点b1,b2,...,bn外处处解析. l是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线, 则 ln l1 l3 l2 D bn b1 b2 b3 l

5. D z0 l0 l [证] 把在l内的孤立奇点zj(j=1,2,...,n)用互不包含的正向简单闭曲线lj围绕起来, 则根据复合闭路定理有

6. D bn b1 ln l1 l3 b2 b3 l2 l 求函数在奇点z0处的留数即求它在以z0为中心的圆环域内洛朗级数中a-1(z-z0)-1项的系数即可. 但如果知道奇点的类型, 对求留数可能更有利. ②l包围多个孤立奇点时：

7. 二. 留数的计算方法 （一）可去奇点的留数： 对于可去奇点由定义知：Resf(z0)=0 （二） 极点的留数 1 如果z0为f(z)的一阶极点（单极点）, 则

9. 2如果z0为f(z)的m阶极点, 则

10. 首先判断奇点类型，若是极点判断其阶数

11. 首先判断奇点类型，若是极点判断其阶数

15. 我们也可以下式 来求留数: • 这比前面方法要简单些.

16. 例5 计算积分 , C为正向圆周|z|=2.

18. 例6 计算积分 , C为正向圆周|z|=2.

20. D bn b1 ln l1 l3 b2 b3 l2 l 复习 有限远点的留数、留数定理及留数求法 f(z)=...+a-n(z-z0)-n+...+a-1(z-z0)-1 +a0+a1(z-z0)+...+an(z-z0)n+... 0<|z-z0|<R bj是l所包围的孤立奇点

21. y R o x 无限远点的留数、留数定理及留数求法 l外部除∞外无其它孤立奇点

22. 设函数f(z)在无穷远点的邻域上解析， 为函数的奇点，将 f(z)在 的邻域上展为洛朗级数： 三、在无穷远点的留数与留数定理 1、留数 -a-1称为f(z)在无穷远点的留数，记作Resf(z)=-a-1

23. 设函数 f(z) 在圆环域R<|z|<内解析, l 为圆环域内绕 原点的任何一条简单闭曲线, 则绕无穷远点的正向积分： 负号来源于积分方向,与有限远点的正积分方向相反。 2、(无限远点)留数定理 设函数 f(z) 在圆环域R<|z|<内解析, l 为圆环域内绕 原点的任何一条简单闭曲线, 则绕无穷远点的正向积分：

24. y （1） 是周界处到无穷大区域上的函数。在 的邻域上解析 （2） 对无穷远区域来说，l 的正方向积分就是顺时针方向。 R (与有限远点的留数相差一个负号。) （3） o x （4） 即使 点不是函数的奇点， 也可以不为0。 积分路线的方向是正的。-----------留数定理 说明：

25. 推论：如果函数f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点,那末f(z)在所有各奇点(包括点)的留数总和必等于零.推论：如果函数f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点,那末f(z)在所有各奇点(包括点)的留数总和必等于零. zk z1 ∞ 求留数的一种方法 D l

26. 四.在无穷远点处留数的计算

27. 的正向圆周 : 现取正向简单闭曲线l为半径足够大 设 并设 则 y y r 1/r o o x x 证明 l外部除了∞外，f（z）无其它奇点 l’内部除了0外无其它奇点

28. 证明 于是有

29. （ 为正向） 在 内除 外无其他奇点 . [证毕]

30. 求积分的又一种方法: l外部除了∞外，f（z）无其它奇点 在很多情况下此法更为简单.

31. 在|z|=2的外部除∞外无奇点,因此 例7计算积分 , C为正向圆周:|z|=2. 在零点处展开的级数无负幂项，因此留数为0 解 因此

32. 例8求 在 的留数。 时， 的一阶极点，z=-1时是 二阶极点。 解：

33. bj是l所包围的孤立奇点 l外部除∞外无其它孤立奇点

34. bj是l所包围的孤立奇点 l外部除∞外无其它孤立奇点

35. 主要手段： 一、形如 的积分 §4.2 留数在定积分计算上的应用 设将实变函数的定积分转化为复变函数的路径积分。 被积函数的分母在 0~2π内不为零 思想方法: 把定积分化为一个复变函数沿某条 封闭路线的积分 . 1) 积分区域的转化 两个重要工作: 2) 被积函数的转化

36. 历经变程 时, 当 正方向（逆时针）绕行一周. z 沿单位圆周 的 形如

37. y 1 x(θ) o 2p y o x

38. 包围在单位圆周 内的诸孤立奇点. z的有理函数 , 且在 单位圆周上分母不 为零 , 满足留数定 理的条件 .

39. q cos 2 p 例1计算 的值。 2 ò = q < < I d ( 0 p 1 ) - q + 2 1 2 p cos p 0 因此 解由于0<p<1, 被积函数的分母在 内不为零, 因而积分是有意义的. 由于

40. 在被积函数的三个极点z=0,p,1/p中只有前两个在圆周|z|=1内, 其中z=0为二阶极点, z=p为一阶极点.

41. 因此

42. 将实积分 化为回路上的复积分 找新函数f（z）在 单位圆 内的奇点 由有限远点留数定理 做题步骤

43. 例2计算 是 的两个单极点 课本73页例一 解： ； 有两根

44. 在圆内 在圆外

45. 例3 计算 令 解

46. (在单位圆外) (在单位圆内) 极点为:

47. 二、形如 的积分 1、分析： 若有理函数 R(x)的分母至少比分子高两次, 即z在上半平面和实轴上→∞时，zf（z）一致地→0 并且分母在实轴上无孤立奇点，在上半平面上有有限个孤立奇点. 一般设 分析 可先讨论 最后令 即可 .

48. 1）. 被积函数的转化: 2）. 积分区域的转化: 可取f(z)=R(z) . (当z在实轴上的区间内变动时 , R(z)=R(x) 取一条连接区间两端的分段光滑曲线, 使与区间 一起构成一条封闭曲线, 并使R(z)在其内部除有 限孤立奇点外处处解析. (此法常称为“围道积分法”)

49. y 都包在这积分路线内. x . . 与 一起构成封闭曲线C , R(z)在C及其 取R适当大, 使R(z)所有的在上半平面内的极点 这里可补线 (以原点为中心 , R为半径 的在上半平面的半圆周) 内部(除去有限孤立奇点）处处解析.

50. 根据留数定理得 :