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平面向量数量积的坐标表示 四川省沐川中学 刘少民

平面向量数量积的坐标表示 四川省沐川中学 刘少民. 平面向量数量积. 复 习. 1. 已知两个非零向量 a 和 b , 它们的夹角为 θ ，则 a · b ＝ a b cos. θ. a · b 称为向量 a 与 b 的数量积（或内积）. 2. 数量积 a · b 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 的方向上的 投影 b cos 的乘积. θ. 4. a · a ＝ a 2 ＝ a 2. 5. cos ＝. θ. a · b. a b.

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平面向量数量积的坐标表示 四川省沐川中学 刘少民

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Presentation Transcript

  1. 平面向量数量积的坐标表示 四川省沐川中学 刘少民

  2. 平面向量数量积 复 习

  3. 1.已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ，则 a·b＝ ab cos . θ a·b称为向量a与b的数量积（或内积）. 2.数量积a·b等于a的长度 a与b在a的方向上的 投影 b cos 的乘积. θ

  4. 4. a·a＝ a2＝a2. 5. cos ＝ . θ a·b a b 3. a⊥ba·b＝0. 6. a·b ≤ ab .

  5. 复习题1 已知： a ＝4，b ＝5，a·b＝10， 求：a与b的夹角θ. cos ＝ ＝ , θ 1 2 a·b a b 解：设a与b的夹角为θ，则 θ＝60°.

  6. y 从图中可知，∠A应为90°，为证明∠A＝90°，只需证明 AB · AC＝0. C B A x O 复习题2 已知：A(2，1)，B(3，2)，C(–1，4)， 求证：ABC是直角三角形. 分析：先画图，

  7. y 由AB·AC＝ AB AC cosA 可知，为了证明AB·AC = 0,需先得出 cosA = 0，需先 证明∠A为90°，而这正是最终要证明的结论. C B A x O 复习题2 已知：A(2，1)，B(3，2)，C(–1，4)， 求证：ABC是直角三角形.

  8. 平面向量数量积的坐标表示 新 课

  9. 在坐标平面xoy内，已知a＝(x1，y1)，b＝ (x2，y2)，则 a·b＝x1x2＋y1y2. 即 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.

  10. a·b＝x1x2＋y1y2 证明：设x轴、y轴方向的单位向量 分别是i、j，则 a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j) ＝x1x2i·i＋x1y2i·j＋y1x2j·i＋y1y2j·j ＝x1x2＋y1y2.

  11. AB＝(3 – 2，2 – 1)＝(1，1), AC＝(– 1 – 2，4 – 1)＝(– 3，3), ∵ AB · AC＝1×(– 3)＋1×3＝0, 已知：A(2，1)，B(3，2)，C(–1，4)， 求证：ABC是直角三角形. 证明： ∴ AB⊥AC. ∴ABC是直角三角形.

  12. (1)若A、B坐标分别为(x1，y1)、 (x2，y2)，则 |AB|＝√(x1－x2)2＋(y1－y2)2 ( |AB|2＝ AB·AB = (x1－x2)2＋(y1－y2)2 ) y (2)设 a＝(x1，y1)，b＝ (x2，y2)，则 a⊥bx1x2＋y1y2＝0 B (x2，y2) A (x1，y1) (a∥b (b≠0) x1y2－x2y1＝0) x O 由向量数量积的坐标表示,可得

  13. 例 1 已知a＝(1，√3 )，b＝(– 2，2√3 ), 解：（1）a·b＝1×(–2)＋√3×2√3＝4; （2） a＝√12＋(√3 )2＝2, b＝√(– 2)2＋(2√3 )2 ＝4, a·b a b θ cos ＝ ＝ ＝ , 4 2×4 1 ∴ ＝60º. θ 2 （1）求a·b； （2）求a与b的夹角θ.

  14. 例 2：已知a＝(5, 0)，b＝(–3.2, 2.4), 求证：(a＋b)⊥b. 证明： ∵(a＋b)·b ＝a·b＋b2 ＝5×(–3.2)＋0×2.4＋(–3.2)2＋2.42 ＝0， ∴ (a＋b)⊥b .

  15. y 为求CH长，由CH＝AH－AC可知，关键在于求出AH. C B 由AC·AB的几何意义，AC·AB等于AB的长度与AC在AB方向上的投影的乘积. 所以AC·AB＝AH·AB. l H O A x 例 3：已知：A、B、C三点坐标分别为(2，0)、 (4，2)、(0，4)，直线 l 过A、B两点，求点C到 l 的距离. 分析一：如图，

  16. 解： AC＝(0 – 2，4 – 0)＝(–2，4)， AB＝(4 – 2，2 – 0)＝(2，2), AC·AB＝–2×2＋4×2＝4. y ∵AH与AB共线， ∴可设AH＝mAB＝(2m，2m). C B AH·AB＝4m＋4m＝8m. 由AC·AB=AH·AB，得 m＝ . l H O A x 1 2

  17. ∴ AH＝ (2m，2m) = (1，1). y CH=AH－AC＝(3，–3)， CH ＝√32＋(–3)2＝3√2 . C B 即 C点到直线 l 的距离为3√2 . l H O A x

  18. 若能确定H点坐标，CH长就易求了. 分析二： y C H B l O A x 为定H点坐标(两个未知数)， 可利用H点在l 上，及CH⊥AB这两个条件.

  19. √26 26 |a|＝√13,|b|＝√2 2. 已知ABC三个顶点坐标A( ， )， B(－2，3)，C(0，1)， 求证：ABC是直角三角形. 1 4 3 3 练习： 1.向量a、b夹角为θ, （1）a＝(3，－2)，b＝(1，1)， 则a·b＝_________，cos θ＝______. 1 （2）a＝(－1，2)，b＝(2，－4)， 则a·b＝_______，θ＝__________ －10 180º

  20. 小结： （1）掌握平面向量数量积的坐标表示，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和； （2）要学会运用平面向量数量积的坐标表示解决有关长度、角度及垂直问题.

  21. （1）P121 练习; （2）P121 习题5.7 第1、2、4、5题. 今日作业

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