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Mathématiques CST. Optimisation de GRAPHES. Mathématiques CST - L’optimisation de GRAPHES -.  Arbre de valeurs minimales et maximales.

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Presentation Transcript

  1. Mathématiques CST Optimisationde GRAPHES

  2. Mathématiques CST- L’optimisation deGRAPHES-  Arbre de valeurs minimales et maximales Arbre qui relie tous les sommets du graphe par une sélection d’arêtes pour que le poids de l’arbre soit le plus petit possible (minimal) ou le plus grand possible (maximal). MÉTHODE : Algorithme de Kruskal 1. Énumérer toutes les arêtes et les placer en ordre croissant de poids (arbre de valeurs minimales). 2.Choisir l’arête ayant le plus petit poids. 3. Répéter l’étape 2 jusqu’à ce que tous les sommets soient reliés en évitant celles qui formeraient un cycle simple.

  3. B 1320 1160 A C 850 835 790 920 E D 750 2880 2640 F Exemple : Situation qui illustre les coûts estimés de la construction de trottoirs entre des immeubles. On veut s’assurer que tous les immeubles soient reliés à un coût minimal. MÉTHODE : Algorithme de Kruskal 1. Ordre croissant : 750 - 790 - 835 - 850 - 920 - 1160 - 1320 - 2640 - 2880

  4. Exemple : Situation qui illustre les coûts estimés de la construction de trottoirs entre des immeubles. On veut s’assurer que tous les immeubles sont reliés à un coût minimal. B 1320 1160 A C 850 835 790 920 E E D 750 2880 2640 F F MÉTHODE : Algorithme de Kruskal 2. Arête avec le plus petit poids : 750 - 790 - 835 - 850 - 920 - 1160 - 1320 - 2640 - 2880

  5. Exemple : Situation qui illustre les coûts estimés de la construction de trottoirs entre des immeubles. On veut s’assurer que tous les immeubles sont reliés à un coût minimal. B B 1320 1160 C A A C 850 835 790 920 E E D D 750 2880 2640 La construction des trottoirs coûtera donc 4545$ . F F MÉTHODE : Algorithme de Kruskal 3. Répéter en évitant de former uncycle simple: 750 - 790 - 835 - 850 - 920 - 1160 - 1320 - 2640 - 2880 Poids de l’arbre : 750 + 790 + 835 + 850 + 1320 = 4545

  6. Exercice #1 : Détermine l’arbre de valeurs minimales et son poids. 4 B A C B A C 3 2 3 6 8 1 6 F D E E F D 4 5 5 4 5 2 H I G H G I 10 MÉTHODE : Algorithme de Kruskal 1 – 2 – 2 – 3 – 3 – 4 – 4 – 4 – 5 – 5 – 5 – 6 – 6 – 8 – 10 inutiles Poids de l’arbre : 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 5 + 5 = 25

  7. Exercice #2 : Détermine l’arbre de valeurs maximales et son poids. 4 A B C B A C 3 2 3 6 8 1 6 D E F D E F 4 5 5 4 5 2 H G I H G I 10 MÉTHODE : Algorithme de Kruskal 10 – 8 – 6 – 6 – 5 – 5 – 5 – 4 – 4 – 4 – 3 – 3 – 2 – 2 – 1 inutiles Poids de l’arbre : 10 + 8 + 6 + 6 + 5 + 5 + 4 + 4 = 48

  8. Mathématiques CST- L’optimisation deGRAPHES-  Chaîne de poids minimal Chaîne qui a la plus petite valeur. MÉTHODE : Algorithme de Dijkstra 1. On assigne à chaque sommet un nombre et une lettre.  Nombre : distance la plus courte  Lettre : sommet précédent d’où provient la chaîne 2. Répéter l’étape 1 jusqu’au dernier sommet. 3. Identifier la chaîne la plus courte par une lecture à rebours.

  9. 7 4 B D 2 4 3 2 4 F A 4 7 5 E C Exemple : Situation où les arêtes représentent des chemins et les sommets, des lieux. Trouver le chemin le plus court du point A à F. 2 (A) 6 (B) B 9 (E) F A E 5 (B) 6 (B) Chaîne la plus courte : ABEF Poids : 9

  10. Exercice #1 : 5 (A) 7 (C) 17 (E) 6 10 B E G 5 4 6 3 (A) 12 (D) 21 (F) 22 (H) 3 1 9 A A C H J F J F H 7 5 7 (A) D D Chaîne de poids minimal : ADFHJ Poids de la chaîne : 7+5+9+1 = 22

  11. Exercice #2 : 4 (A) 6 (B) 11 (E) 2 5 B B E G 5 4 3 6 4 11 (H) 10 (F) 7 (A) 8 (B) 7 1 2 A A C J H F J F H 6 4 3 6 (A) D Chaîne de poids minimal : ABFHJ Poids de la chaîne : 4+4+2+1 = 11

  12.  Chemin critique Mathématiques CST- L’optimisation de GRAPHES- Pour réaliser une tâche(bâtir une maison, faire une recette, construire un avion, etc.), on doit souvent réaliser plusieurs étapes. Certaines étapes doivent obligatoirement être faites avant certaines autres tandis que plusieurs étapes peuvent se faire en même temps(par des personnes ou des équipes différentes). Le chemin critique, c’est le temps minimum requis pour exécuter la tâche. Malheureusement, on doit attendre que certaines étapes soient terminées avant de passer aux étapes suivantes. Donc, c’est la chaîne ayant la plus grande valeur entre le début et la fin du projet.

  13. Exemple : Situation où l’on doit repeindre une pièce d’une maison

  14. Graphe de la situation : A

  15. Graphe de la situation : 15 B A

  16. Graphe de la situation : 15 5 B C A

  17. Graphe de la situation : 15 5 B C A 10 D

  18. Graphe de la situation : 15 5 B C A 10 20 D E

  19. Graphe de la situation : 15 5 B C A 10 20 D 50 50 F E

  20. Graphe de la situation : 15 5 B C A 30 10 G 30 20 D 30 50 50 F E

  21. Graphe de la situation : 15 5 B C A 30 5 10 G H 30 20 D 30 50 50 F E

  22. Graphe de la situation : 15 5 B C A 30 5 10 G H 30 20 D 30 50 5 50 I F E

  23. Graphe de la situation : 15 5 B C A 30 5 10 G H 30 15 20 D J 30 50 15 5 50 I F E

  24. Graphe de la situation : 15 5 B C A 30 5 10 G H 30 15 20 D 0 K J 30 50 15 5 50 I F E

  25. Procédure pour trouver le chemin critique : On assigne à chaque sommet un nombre et une lettre.  Le nombre est la plus grande somme des valeurs pour se rendre du point de départ au sommet étudié. La lettre est le sommet précédent dans la chaîne (ou chemin) qui a cette plus grande somme. On identifie la chaîne (ou le chemin) par une lecture à rebours (à reculons). 15 (A) 20 (B) 15 5 B C A 30 60 (G) 55 (D) 5 10 G H 30 25 (B) 15 95 (J) 95 (I) 20 D 0 K J 30 50 15 20 (A) 75 (D) 80 (F) 5 50 I F E Temps minimum pour réaliser le projet : 95 minutes Chemin critique : ABDFIJK

  26. Exercice #1 : 5 (A) 11 (B) 21 (E) 6 10 E B G B E G 5 4 6 3 (A) 12 (D) 27 (G) 28 (H) 3 1 9 A A C J H J F H 7 5 7 (A) D Chemin critique : ADFHJ

  27. Exercice #2 : 4 (A) 17 (F) 22 (E) 2 5 G B E B E G 5 4 3 6 7 26 (H) 25 (G) 11 (B) 10 (D) 7 1 2 A A C H J F J F H 6 4 3 6 (A) D Chemin critique : ABFEGHJ

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