Idősor elemzés

1. Idősor elemzés • Idősor : időben ekvidisztáns elemekből álló sorozat • Létrehozás : • Folytonos folyamatból diszkrét mintavétel t időnként. • Folytonos mintavétel t időintervallumonként átlagolva • Előfordulás : • Mérési eredmények • Modell hiba idősora

2. Idősor elemzés Definíciók Stacionárius idősor Az xt sztochasztikus folyamat akkor stacionárius, ha az xt ( t [ t1; t2 ]  T ) eloszlása független a [ t1; t2] kiválasztásától. Fehérzaj folyamat Az xt stacionárius sztochasztikus folyamat gaussi fehérzaj, ha mindent-re standard normális eloszlású. Gelb tétele Egy előrejelző (szimulációs) modell akkor optimális, ha az előrejelzési (szimulációs) hibafolyamat gaussi fehérzaj folyamat.

3. Idősor elemzés Korreláció Két idősor összefüggésének mértékét fejezi ki. Tapasztalati értéke : rxy = ryx, r  [ –1; +1 ] n az idősor hossza az xi idősor várható értékének becslése

4. Idősor elemzés A korreláció értékének jelentése r = –1 ha a két idősor között fordított arányosság a kapcsolat r = 0 ha a két idősor között nincs összefüggés r = 1 ha a két idősor között egyenes arányosság a kapcsolat -0.971 0.019 0.981 y fordítottan arányos x-el de tartalmaz egy normális eloszlású hiba-tagot is y egyenesen arányos x-el de tartalmaz egy normális eloszlású hiba-tagot is x és y 120 elemű független, normális eloszlású véletlen sorozat

5. Idősor elemzés Lineáris regresszió A regressziós egyenes egyenlete : Az illesztetés megbízhatóságát az r2 feltüntetésével szokás jelölni. A 0.1 alatti r2 soha nem tekinthető szignifikáns összefüggésnek. r2=0.0051 Emelkedő trend? Független, standard normális eloszlású véltelen számsorozatra illesztett regresszió.

6. Idősor elemzés Autokorreláció Egy idősor jelenlegi és későbbi értékei közötti kapcsolat mértékét fejezi ki. A k lépéses autokorreláció az idősor és a klépéssel eltolt idősor közötti korreláció. A k lépéses autokorreláció elméleti értéke :

7. Idősor elemzés Autokorreláció mátrix és becslése A Pnautokorreláció mátrix szimmetrikus, mivel rxy = ryx. Pn= Az egyes ρi tényezők közelítő riértékeit az idősor elemei alapján számíthatjuk ki: az idősor hossza az idősor várható értékének becslése

8. Idősor elemzés t t t t Autokorreláció függvény ( acf ) Egy idősor autokorreláció függvénye a = 0 .. n értékekhez tartozó r autokorreláció tényezőkből áll. r0 = 1.0 r6 = ? u1 u1 = 0 = 6 u2 u2

9. Idősor elemzés 1 1 2 0.8 0.8 1.5 0.6 0.6 1 0.4 0.4 1 0.2 0.5 0.2 0.8 0 0 0.6 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 -0.2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 -0.2 0.4 0.7 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 -0.5 -0.4 -0.4 0.2 0.6 -1 -0.6 -0.6 0 0.5 -0.8 -1.5 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 -0.8 -0.2 0.4 -1 1.5 -1 -0.4 0.3 -2 -0.6 0.2 1 -0.8 0.1 -1 0 0.5 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 -0.1 0 -0.2 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 -0.3 -0.5 -1 -1.5 Tipikus autokorreláció függvények Véletlenszerű (normális eloszlású független sorozat) Autokorrelált (véletlen sorozat mozgóátlaga) Periodikus (szinusz függvény, zajmentes)

10. Idősor elemzés Anderson-féle konfidencia intervallum r 1.0 0.5 0.0  -0.5 -1.0 Anderson-féle konfidencia intervallum τ = 1, 2, … τ Ezen belül 0-nak lehet tekinteni rt-t

11. Idősor elemzés 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 1 -1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 Fehér zaj autokorreláció függvénye Egy xt gaussi fehérzaj folyamat autokorreláció függvénye a Dirac-féle egységugrás függvény. if(t==0) r[t]=1; else r[t]=0; Egy valós fehérzaj folyamat autokorreláció függvénye csak a 0 helyen lép ki az Anderson-féle konfidencia intervallumból.

12. Idősor elemzés AR, MA és ARMA modellek Stacionárius folyamat (kritériumok: állandó átlag és szórás) leírására szolgálnak. Az idősorztaktuális eleme az előző elemek (AR) illetve az a normális eloszlású véletlen sorozat előző tagjainak (MA) lineáris kombinációjaként számítható ki. AR ( p ) : MA ( q ) : ARMA ( p, q ) : Az AR(0) modellt fehér zaj modellnek is nevezik :

13. Idősor elemzés Részleges autokorreláció függvény ( pacf ) A részleges autokorreláció függvény az autokorreláció függvényből számítható ki. Az AR együtthatókat határozza meg, így a szignifikáns értékei alapján becsülhető az illesztendő modell AR tagjainak száma. Kiszámítás : a Yule-Walker egyenletek megoldásával : Ahol Pk az autokorreláció mátrix, φk a részleges autokorreláció vektor, ρk pedig az autokorreláció fv vektora.

14. Idősor elemzés pacf tapasztalati értékei és az AR modell paraméterek becslése A pacf akkértékeket tartalmazza. Akj ( j < k ) értékek az idősorra illesztett AR( k ) modell j = 1..k együtthatóinak becslései. Az eljárás rekurziós : például a menetrend a következő lehet 11, 22, 21, 33, 32, 31 … Egy adott szinten először mindig a pacf együtthatóval kezdünk, majd ezután számítjuk ki a többi értéket. Az idősorra célszerűen olyan AR tagszámú modell illesztendő, amelynél a pacf értéke még szignifikánsan különbözik 0-tól.

15. Idősor elemzés 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 -0.2 0.8 0.6 -0.4 0.4 -0.6 0.2 -0.8 0 -1 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 pacf tapasztalati értékei és hibájuk Autokorrelált sorozat A pacf a 10. tagig különböztethető meg 0-tól, így a javasolt modell : AR ( 9 ) Fehér zaj sorozat Csak az 1-hez tartozó érték jelentős, ezért a javasolt modell : AR ( 0 ) A pacf közelítő konfidencia sávja

16. Idősor elemzés MA modell paraméterek becslése Nincs egyszerű megoldás, mint az AR paramétereknél. MA modell akkor alkalmazandó, ha az acf korlátos. Speciális esetek : MA ( 1 ) és MA ( 2 ) és

17. Idősor elemzés ARMA ( 1, 1 ) modell A acf és pacf elemei a modell paraméterek segítségével kifejezve : acf pacf Ezek felhasználásával a tapasztalati autokorreláció fv ismeretében becsülhetjük a modell paramétereinek értékét.

18. Idősor elemzés 18.5 1 18 0.8 0.6 17.5 0.4 17 0.2 16.5 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 -0.2 16 -0.4 15.5 -0.6 15 -0.8 1 21 41 61 81 101 121 141 161 181 -1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 ARMA modell alkalmazása Stacionárius idősor acf pacf Javasolt modell : AR(2)

19. Idősor elemzés 18.5 Idősor 18.0 17.5 17.0 16.5 Előrejelzés 16.0 15.5 15.0 ARMA modell alkalmazása Az eredeti adatsor és az egy lépésre tett előrejelzések