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§2.1 矩阵的运算. 1. 矩阵的加法运算 2. 矩阵的乘法运算 3. 矩阵的乘方运算 4. 矩阵的数量乘法 5. 矩阵的转置运算. 一 矩阵的加法. 矩阵加法 ： 1. 具有相同行、列数的矩阵 ( 即同型矩阵 ) 方可相加； 2. 同型矩阵 A, B 的对应元素相加组成同型矩阵 A ＋ B. 例 . 由产地 A 1 ， A 2 调运大米和面粉到销地 B 1 ， B 2 ， B 3 的数量（吨）分别如 A ， B 矩阵所示，则调运粮食总 量可以由矩阵如下 A ＋ B 给出 . （见下页）.
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§2.1 矩阵的运算 1. 矩阵的加法运算 2. 矩阵的乘法运算 3. 矩阵的乘方运算 4. 矩阵的数量乘法 5. 矩阵的转置运算
一 矩阵的加法 矩阵加法： 1. 具有相同行、列数的矩阵(即同型矩阵)方可相加； 2. 同型矩阵A, B的对应元素相加组成同型矩阵A＋B.
例. 由产地A1，A2调运大米和面粉到销地B1，B2，B3 的数量（吨）分别如 A，B 矩阵所示，则调运粮食总 量可以由矩阵如下 A＋B 给出.（见下页）
性质5 max{r(A), r(B)}≤r(A, B)≤r(A)＋r(B).特别： r(A)≤r(A,β)≤r(A)＋1，β为非零列向量. 证明：矩阵A的最高阶非零子式总是(A, B)的非零子式 → r(A)≤r(A, B). 同理可以推出 r(B)≤r(A, B) → max(r(A), r(B))≤r(A, B). 设r(A) = r, r(B) = t, 把A，B分别作列变换化成列阶 梯形矩阵A，B, 则A，B分别含r个和t个非零列，可设 A→A = (α1,···,αr,0, ···, 0)；B→B = (β1, ···,βt, 0, ···, 0), 即矩阵(A, B)经过列变换化成为(A，B)，而(A，B)中 只含有r+t个非零列 → r(A，B)≤ r+t → r(A, B) = r(A，B)≤ r+t，即 r(A,B) ≤ r+t .
性质6 r(A ＋ B)≤r(A) ＋ r(B) 证明： 设A，B均为 s×n 矩阵，且 A = (α1, α2, ···, αn), B = (β1, β2, ···, βn). 对矩阵 (A＋B, B) = (α1 +β1, α2+ β2, ···, αn+ βn, β1, β2, ···, βn) 作列变换： (－1)×cn+i＋ci上，则将矩阵(A＋B, B) 化 成矩阵 (A, B), 于是据性质6，就有 r(A＋B)≤r(A＋B, B) = r(A, B)≤r(A)＋r(B). • 矩阵加法满足结合律，交换律；减法作为加法的逆 运算，不是一个独立的运算；矩阵加(减)法中有关秩的 性质5，6是不同于我们以往所学代数运算性质研究的 两个独特的性质，应特别予以重视.
矩阵乘法： 两矩阵A = (aik)，B = (bkj)相乘为AB = (cij) • A的列数 = B的行数，两矩阵A，B方可相乘； • AB的第 i 行、第j列元素cij等于A的第 i 行与B的第 j列 • 对应元素乘积的和 .
实例：将直角坐标系xoy旋转θ度到x1oy1,再旋转φ度到x2oy2 . 设M点在三个坐标系下的坐标依次为(x,y),(x1,y1),(x2,y2)，利用平面解析几何的坐标旋转公式有 x ·M y1 y2x2 x1 θφ x Y
