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統計應用軟體 Statistical Computations and Analysis

統計應用軟體 Statistical Computations and Analysis. Lecture 10: Experimental Designs (III). 常見試驗設計. 單因子試驗設計 : 完全隨機設計 (CRD) 隨機完全區集設計 (RCBD) 拉丁方設計 (LSD) 均衡不完全區集設計 (BIBD) 複因子試驗設計 : 兩因子相交設計 (two-factor crossed design) 巢式設計 (nested design) 裂區設計 (split-plot design). 單因子試驗設計.

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Presentation Transcript

  1. 統計應用軟體Statistical Computations and Analysis Lecture 10: Experimental Designs (III)

  2. 常見試驗設計 • 單因子試驗設計: • 完全隨機設計 (CRD) • 隨機完全區集設計 (RCBD) • 拉丁方設計 (LSD) • 均衡不完全區集設計 (BIBD) • 複因子試驗設計: • 兩因子相交設計 (two-factor crossed design) • 巢式設計 (nested design) • 裂區設計 (split-plot design)

  3. 單因子試驗設計 • 單因子試驗設計在探討不同 levels 之單一因子 (處理) 對於試驗單位造成效應為何。 例: 將12隻天竺鼠隨機指派食用三種飼料 因子 (處理): 飼料 (3 levels) • 在單因子試驗中, 有時會利用“區集”來調整不同質的試驗單位, 但區集的設計只為提高試驗準確度, 並非真正探討區集效應。

  4. 複因子試驗設計 • 複因子 →同時探討兩個以上因子之主效應與其交互作用: • 各因子之主效應 (main effect): 其中某因子在不同 level 下其均值是否有顯著差異? • 因子間的交感效應 (interaction): A 因子不同 level 的均值差異是否隨 B 因子 level 改變?

  5. 60 B2 40 B1 20 A1 A2 複因子試驗設計 例: 若有 A (2 levels) 與 B (2 levels) 兩因子: little interaction

  6. B2 B1 60 40 20 A1 A2 複因子試驗設計 Main effect of A = ((40-20)+(52-30))/2 Main effect of B = ((30-20)+(52-40))/2

  7. 60 B1 40 20 B2 big interaction A1 A2 複因子試驗設計 例: 若有 A (2 levels) 與 B (2 levels) 兩因子:

  8. 60 B1 40 20 B2 A1 A2 複因子試驗設計 Main effect of A = (30 + -28)/2 = 1 Main effect of B = (20 + -38)/2 = -9 → The main effects are masked by interaction!

  9. 複因子試驗設計 • 複因子試驗設計同時探討兩個以上因子之主效應與其交感效應: • 當 interaction 小, 可討論各因子是否對試驗單位有顯著影響 • 當 interaction 大, 主效應掩蓋在交互作用中; 此時再探討各因子對試驗單位之影響已無意義

  10. 複因子試驗設計優點 1. 可同時估計不同處理組合之效應 2. 避免因交感效應存在做出錯誤結論 3. 提高試驗效率

  11. 相對效率 例: 若有 A (2 levels) 與 B (2 levels) 兩因子: • 若進行 one-factor-at-a-time experiment, 至少需 6 個試驗單位: • 若進行複因子試驗, 只需 4 個試驗單位: Two estimates of each main effect is desired. RE = 6/4 = 1.5

  12. 相對效率 • 若每個 factor 都只有 2 levels:

  13. 常見複因子試驗設計 • 基礎設計: • 相交設計 (crossed design) • 巢式設計 (nested design) • 特殊設計: • 裂區設計 (split-plot design): 包含大小區集效應。 Note: 本課程只介紹兩因子情況, 且兩因子均為fix-effect !

  14. Crossed Design • 若有 A (a levels) 與 B (b levels) 兩因子, 有ab種處理組合, 每處理組合重複 n次, 共需 abn 個試驗單位。當各處理組合可隨機任意分配至各試驗單位時, 稱為 crossed design。 Note: 可視為 ab levels 之單因子: crossed + CRD crossed + RCBD crossed + LSD …

  15. 單因子試驗設計 • 數學模式: • CRD: • RCBD: • LSD: • 兩因子試驗只是將單因子試驗設計中的處理效應再細分為各因子主效應與交感效應: > lm(y ~ trt) > lm(y ~ trt + block) > lm(y ~ trt + row + col)

  16. Crossed + CRD B 主效應 • 數學模式: A 主效應 AB 交感效應

  17. Crossed + CRD • 變方分析:

  18. Crossed + CRD • 變方分析:

  19. Crossed + CRD • 變方分析:

  20. Crossed + CRD

  21. Crossed + RCBD • 數學模式: Note: RCBD 要求區集內試驗單位數等於處理組合數

  22. Crossed + RCBD • 變方分析:

  23. Crossed + RCBD

  24. Crossed + CRD 例: Factor A:氮肥施用量 (0, 20 kg) Factor B:磷肥施用量 (0, 40 kg) 每處理組合重複 3 次, 進行CRD:

  25. Crossed + CRD > y = c(9, 10, 13, 14, 12, …, 14, 17) > trtN = gl(2,2,12) > trtP = gl(2,1,12) > out = lm(y ~ trtN + trtP + trtN:trtP) Note: lm 簡化寫法: > out = lm(y ~ trtN*trtP)

  26. R: Crossed + RCBD 例: Factor A:水稻品種 (V1, V2) Factor B:氮肥施用量 (80, 100, 120 kg) 每處理組合重複 4 次, 進行RCBD:

  27. R: Crossed + RCBD > y = c(6, 8, 7, 9, 14, 13, …, 6, 8, 5, 6) > trtV = > trtN = > b = > out = lm(y ~ trtV*trtN + b)

  28. R: Crossed + RCBD Interaction is very significant: p-value = 0.0009

  29. Interaction Plot • 若交感效應存在, 探討主效應並無意義;可由“interaction plot”了解各處理組合下之產量:

  30. R: Interaction Plot > interaction.plot(trtN, trtV, y)

  31. 效應線性檢定 • 當試驗其中至少有一量化(quantitative) 因子, 且該因子具有三個以上變級, 可檢驗主效應與交感效應是否為直線性或非直線性。 例: Factor A: 水稻品種 (V1, V2); factor B: 氮肥施用量 (80, 100, 120 kg) 。其中 factor B 為量化因子, 且具有 3 個變級。

  32. 效應線性檢定 • 若 level 數為 3 (自由度 = 2), 可檢驗主效應與交感效應之: • 直線性 • 二次曲線性 • 若 level 數為 4 (自由度 = 3), 可檢驗主效應與交感效應之: • 直線性 • 二次曲線性 • 三次曲線性 • 若 level 數為 k (自由度 = k-1), 可檢驗主效應與交感效應之直線性及二次至 (k-1) 次曲線效應。

  33. R: 效應線性檢定 例: 水稻品種 vs 氮肥施用量 > contrasts(trtV) = contr.poly(3) > outc = lm(y ~ trtV*trtN + b) > summary(outc)

  34. Nested Design • 兩因子試驗中, 巢式設計同樣在探討各因子的效應; nested design 與 crossed design 不同處在於: • crossed design:不同 level 之 A 因子下, B 因子的 level 維持相同。 • nested design:不同 level 之 A 因子下, B 因子的 level 不同。

  35. Nested Design • 若有 A (2 levels) 與 B (2 levels) 兩因子,共有 2 x 2 = 4 種處理組合: • A cross B: A1B1, A1B2, A2B1, A2B2 • B nested in A: A1B1, A1B2, A2B3, A2B4 例: 遺傳學研究 (3 factors): 父系 母系 子代

  36. Nested Design • Crossed 與 nested 設計之線性模式不同: • crossed design: • nested design: Note:因為 B 因子每個 level 並未在 A 因子的每個 level 下出現, 因此 AB 因子交感效應無法得知! • Nested Design 同樣可利用在區集之上: • Nested + CRD • Nested + RCBD

  37. Nested + CRD • 數學模式:

  38. Nested + CRD • 變方分析:

  39. Nested + CRD • 變方分析:

  40. Nested + CRD

  41. Nested + RCBD • 數學模式: Note: RCBD 要求區集內試驗單位數等於處理組合數

  42. Nested + RCBD • 變方分析:

  43. Nested + RCBD

  44. Nested + CRD 例: Factor A:煙草品種 (3 levels) Factor B:葉片順序 – 由頂部至底部 (4 levels) B is nested in A! 每處理組合重複 3 次, 進行CRD:

  45. Nested + CRD > y = c(11, 9, 10, 8, 7, 6, …, 12, 11) > trtV = gl(3,12) > trtP = gl(4,3,36) > out = lm(y ~ trtV + trtV:trtP)

  46. > interaction.plot(trtV,trtP,y)

  47. Note: Random Effect • 當兩因子試驗設計中含有 random-effect 因子時, 需視均方期望值調整 F 值計算方法! • lm 並不支援 random effect model 的計算。 R 另外提供 lme(nlme)計算random effect, 使用上不如 lm 方便。最簡便的方法是用 lm 求出 fixed-effect model 之變方分析表後, 自行求出正確的 F 值, 並利用 pf 函式計算 p-value。

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