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二元一次不等式 ( 组 ) 与平面区域 ( 一 )

二元一次不等式 ( 组 ) 与平面区域 ( 一 ). 江门市杜阮华侨中学 杨清孟. 这些满足 2 x + y - 100<0 的解对应的点与直线 2 x + y - 100=0 的位置关系怎样 ?. 几何画板. 我们把含有两个未知数 , 并且未知数的次数是 1 的不等式称为 二元一次不等式. 把由几个二元一次不等式组成的不等式组称为 二元一次不等式组. 满足二元一次不等式 ( 组 ) 的 x 和 y 的取值构成有序实数对 ( x , y ), 所有这样的 有序实数对 ( x , y ) 构成的集合称为 二元一次不等式 ( 组 ) 的解集 .

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二元一次不等式 ( 组 ) 与平面区域 ( 一 )

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Presentation Transcript

  1. 二元一次不等式(组)与平面区域(一) 江门市杜阮华侨中学 杨清孟

  2. 这些满足2x+y-100<0的解对应的点与直线2x+y-100=0的位置关系怎样?这些满足2x+y-100<0的解对应的点与直线2x+y-100=0的位置关系怎样? 几何画板

  3. 我们把含有两个未知数,并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式.我们把含有两个未知数,并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式. 把由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组. 满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序实数对(x,y),所有这样的有序实数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集. 有序实数对可以看成直角坐标平面内点的坐标,于是,二元一次不等式(组)的解集就可以看成直角坐标系内的点构成的集合.

  4. 几何画板 想一想？ 二元一次方程在平面内表示什么?. 二元一次不等式表示的平面区域是什么? 问题1:在平面直角坐标系中,点的集合{（x，y）|x+y-1=0}表示什么图形？ 问题2：在平面直角坐标系中，直线x+y-1=0右上方的平面区域怎么表示？

  5. y 1 x 1 O x+y-1=0 二元一次不等式表示的平面区域 在平面直角坐标系中，以二元一次方程x+y-1=0的解为坐标的点的集合{(x，y)|x+y-1=0}是经过点(0，1)和(1，0)的一条直线l，那么以二元一次不等式x+y-1>0的解为坐标的点的集合{(x，y)|x+y-1>0}是 什么图形? 结论：二元一次不等式ax+by+c>0在平面直角坐标系中表示直线ax+by+c=0某一侧所有点组成的平面区域。不等式 ax+by+c<0表示的是另一侧的平面区域。 x+y-1>0 x+y-1<0

  6. y 1 x 1 O x+y-1=0 判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法 由于对在直线ax+by+c=0同 一侧所有点(x，y)，把它的坐标 (x，y)代入ax+by+c，所得的实 数的符号都相同，故只需在这条 直线的某一侧取一特殊点(x0，y0) 以ax0+by0+c的正负的情况便可 判断ax+by+c>0表示这一直线 哪一侧的平面区域，特殊地，当 c≠0时常把原点作为此特殊点 x+y-1>0 x+y-1<0

  7. y x+y-1>0 x ０ x+y-1=0 x+y-1＜0 直线x+y-1=0右上方的平面区域可以用点集 {(x,y)|x+y-1>0}表示 同理可知,直线x+y-1=0左下方的平面区域可以用点集{(x,y)|x+y-1＜0}表示

  8. 结论：一般地，二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标结论：一般地，二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标 系中表示直线Ax+By+C＝0某一侧所有点组成的平面区域。 我们把直线画成虚线以表示区域不包含边界直线。 （同侧同号） 小结： 概括地说，判断方法为“直线定界，特殊点定域”。 特别地C≠0时，常把原点作为特殊点，即“直线定界， 原点定域”。

  9. 平面区域的确定常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。平面区域的确定常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。 例1.画出不等式2x+y-6＜0表示的平面区域。 y 解：先画直线2x+y-6=0 （画成虚线）， 6 取原点（0，0），代入2x+y-6， 因为2×0+0-6=-6＜0， 3 x o ∴原点在2x+y-6＜0表示的平面区域内， 2x+y-6=0 ∴不等式2x+y-6＜0表示的区域如右图所示。

  10. y o 3 x -2 变式一：画出不等式2x－3y≤6所表示的平面区域 解：2x－3y≤6即2x－3y－6 ≤０ 先画直线2x－3y－6 ＝０(画成实线) 取原点(0,0),代入2x－3y－6， 因为2×0－3×0－6 ＝－6 ≤０, 所以，原点在2x－3y－6 ≤０表 示的平面区域内。 变式二：画出不等式x≤2所表示的平面区域.

  11. y y y 2 x 2 x 3 x 3 5 O O O -4 （1） （2） （3） 练习1：画出下列不等式表示的平面区域：（1）2x＋3y－6＞0（2）2x＋5y≥10（3）4x－3y≤12

  12. 例2：画出不等式组 表示的平面区域

  13. y O x 解:不等式 表示直线 及其右下方的区域; 表示直线 上及其右上方的区域; 表示直线 上及其左方的区域. 所以,不等式组 x+y=0 x-y+5=0 x=3 表示的区域如上图所示. 注：不等式组表示的平面区域是各不等式所表示平面区域的公共部分。

  14. 小结： (1)二元一次方程Ax+By+C=0表示直线； (2)二元一次不等式Ax+By+C＞0表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域； (3)Ax+By+C≥0则表示上述两部分的并集(带直线边界的半平面). 注:1.若不等式中不包含“=”，则边界应画成虚线，否则应画成实线。 2.熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。

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