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工程数学 第 10 讲

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工程数学 第 10 讲

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  1. 工程数学第10讲 本文件可从网址 http://math.vip.sina.com 上下载 (单击ppt讲义后选择'工程数学'子目录)

  2. 例2 一个靶子是半径为2米的圆盘, 设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比, 并设射击都能中靶, 以X表示弹着点与圆心的距离. 试求随机变量X的分布函数.解 若x<0, 则{Xx}是不可能事件, 于是F(x)=P{Xx}=0.若0x2, 由题意, P{0Xx}=kx2, k是某一常数, 为了确定k的值, 取x=2, 有P{0X2}=22k. 但已知P{0X2}=1, 故得k=1/4, 即

  3. 于是 • 若x2, 由题意{Xx}是必然事件, 于是 • F(x)=P{Xx}=1. • 综上所述, 即得X的分布函数为

  4. 它的图形是一条连续曲线如图所示 F(x) 1 1/2 O 3 x 1 2

  5. 另外, 容易看到本例中的分布函数F(x)对于任意x可以写成形式 其中 • 这就是说, F(x)是非负函数f(t)在区间(-,x)上的积分, 在这种情况下我们称X为连续型随机变量.

  6. 对照f(x)和F(x): F(x) 1 1/2 O 3 x 1 2 f(x) 1 1/2 O 3 x 1 2

  7. §4 连续型随机变量及其概率密度

  8. 如果对于随机变量X的分布函数F(x), 存在非负函数f(x), 使对于任意实数x有 • 则称X为连续型随机变量, 其中函数f(x)称为X的概率密度函数, 简称概率密度. • 连续型随机变量的分布函数是连续函数. • 在实际应用中遇到的基本上是离散型或连续型随机变量. 本课程只讨论这两种随机变量.

  9. 由定义知道, 概率密度f(x)具有以下性质:

  10. 由性质2知道介于曲线y=f(x)与Ox轴之间的面积等于1. 由性质3知道X落在区间(x1,x2]的概率P{x1<Xx2}等于区间(x1,x2]上的曲线y=f(x)之下的曲边梯形面积. f(x) f(x) 1 1 x1 x2 O x O x

  11. 由性质4在f(x)的连续点x处有 • 看出概率密度的定义与物理学中的线密度的定义相类似, 这就是为什么称f(x)为概率密度的原因. 由(4.2)式知道, 若不计高阶无穷小, 有 • P(x < X  x+Dx)f(x)Dx. (4.3)

  12. 例1 设随机变量X具有概率密度

  13. 解 f(x)的曲线形状如图所示 f(x) 1/2 kx x O 3 4

  14. (2) X的分布函数为

  15. F(x)与f(x)的对照图 f(x) 1/2 O x 4 3 F(x) 1 x 3 O 4

  16. 对于连续型随机变量X来说, 它取任一指定实数值a的概率均为0, 即P{X=a}=0. 事实上, 设X的分布函数为F(x), Dx>0, 则由{X=a}{a-Dx<Xa}得0P{X=a}P{a-Dx<Xa}=F(a)-F(a-Dx).在上述不等式中令Dx0, 并注意到X为连续型随机变量, 其分布函数F(x)是连续的, 即得P{X=a}=0. (4.4)

  17. 因此, 在计算连续型随机变量落在某一区间的概率时, 可以不必区分该区间是开区间或闭区间或半闭区间. 例如有P{a<Xb}=P{aXb}=P{a<X<b}.在这里, 事件{X=a}并非不可能事件, 但有P{X=a}=0. 这就是说, 若A是不可能事件, 则有P(A)=0; 反之, 若P(A)=0, 并不一定意味着A是不可能事件.以后当提到一个随机变量X的"概率分布"时, 指的是它的分布函数; 或者, 当X是连续型时指的是它的概率密度, 当X是离散型是指的是它的分布律.

  18. 介绍三种重要的连续型随机变量

  19. (一)均匀分布 设连续型随机变量X具有概率密度 f(x) • 则称X在区间(a,b)上服从均匀分布, 记为X~U(a,b). a x O b

  20. 如X~U(a,b), 则它落在(a,b)中任意子区间内的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关. 任给长度为l的子区间(c,c+l), ac<c+lb, 有

  21. 由(4.1)式得X的分布函数为 F(x) 1 a O b x

  22. 例2 设电阻值R是一个随机变量, 均匀分布在900~1100. 求R的概率密度及R落在950~1050的概率.解 按题意, R的概率密度为

  23. (二) 指数分布 设连续型随机变量X的概率密度为 • 其中q>0为常数, 则称X服从参数为q的指数分布. 容易得到X的分布函数为

  24. f(x)的图形: f(x) 3 2 1 x O 1 2 3 q=1/3 q=1 q=2

  25. 如X服从指数分布, 则任给s,t>0, 有P{X>s+t | X > s}=P{X > t} (4.9)事实上 • 性质(4.9)称为无记忆性. • 指数分布在可靠性理论和排队论中有广泛的运用.

  26. (三)正态分布 设连续型随机变量X的概率密度为 • 其中m,s(s>0)为常数, 则称X服从参数为m,s的正态分布或高斯(Gauss)分布, 记为X~N(m,s2). • 显然f(x)0, 下面来证明 令(x-m)/s = t, 得到

  27. f(x)的图形: f(x) s =5 s =5 m m1 x O

  28. f(x)具有的性质:1, 曲线关于x=m对称. 这表明对于任意h>0有P{m-h<Xm}=P{m<Xm+h}.2, 当x=m时取到最大值 • x离m越远, f(x)的值越小. 这表明对于同样长度的区间, 当区间离m越远, X落在这个区间上的概率越小. • 在x=ms处曲线有拐点. 曲线以Ox轴为渐近线.

  29. f(x) s =0.5 0.798 s =1 0.399 s =1.5 0.266 m x O

  30. 由(4.10)式得X的分布函数为 F(x) 1 0.5 m x O

  31. 特别, 当m=0, s = 1时称X服从标准正态分布. 其概率密度和分布函数分别用j(x)和F(x)表示, 即有 • 易知 F(-x)=1-F(x) (4.15) • 人们已经编制了F(x)的函数表, 可供查用(见附表2).

  32. 引理 若X~N(m,s 2), 则 证 由此知Z~N(0,1).

  33. 若X~N(m,s2), 则它的分布函数F(x)可写成: • 则对于任意区间(x1,x2], 有

  34. 例如, 设X~N(1,4), 查表得

  35. 设X~N(m,s2), 由F(x)的函数表还能得到:P{m-s<X<m+s}=F(1)-F(-1) =2F(1)-1=68.26%P{m-2s<X<m+2s}=F(2)-F(-2)=95.44%P{m-3s<X<m+3s}=F(3)-F(-3)=99.74%我们看到, 尽管正态变量的取值范围是(-,), 但它的值落在(m-3s,m+2s)内几乎是肯定的事. 这就是人们所谈的"3s"法则.

  36. m+s m-3s m-2s m-s m+2s m+3s 68.26% 95.44% 99.74%

  37. 例3 将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内. 调节器整定在d°C, 液体的温度X(以°C计)是一个随机变量, 且X~N(d, 0.52). (1) 若d=90, 求X小于89的概率. (2) 若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99, 问d至少为多少?解(1)所求概率为

  38. (2) 按题意需求d满足

  39. 设X~N(0,1), 若za满足条件P{X>za}=a, 0<a<1, (4.18)则称点za为标准正态分布的上a分位点.由j(x)的对称性知z1-a=-za a za

  40. §5 随机变量的函数的分布

  41. 在实际中经常对某些随机变量的函数更感兴趣. 例如, 在一些试验中, 所关心的随机变量往往不能由直接测量得到, 而它却是某个能直接测量的随机变量的函数. 比如我们能测量圆轴的直径d, 而关系的却是截面积A=pd2/4. 这里, 随机变量A是随机变量d的函数. 下面讨论如何由已知的随机变量X的概率分布去求得它的函数Y=g(X)(g()是已知的连续函数)的概率分布.

  42. 例1 设随机变量X具有以下的分布律, 试求Y=(X-1)2的分布律. • 解Y所有可能值为0,1,4, 由 • P{Y=0}=P{(X-1)2=0}=P{X=1}=0.1, • P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.7, • P{Y=4}=P{X=-1}=0.2,

  43. 例2 设随机变量X具有概率密度 • 求变量Y=2X+8的概率密度. • 解 分别记X,Y的分布函数为FX(x),FY(y). 下面先来求FY(y).

  44. 将FY(y)关于y求导数, 得Y=2X+8的概率密度为

  45. 例3 设随机变量X具有概率密度fX(x), -<x<, 求Y=X 2的概率密度.解 分别记X,Y的分布函数为FX(x), FY(y). 由于Y=X 20, 故当y0时FY(y)=0. 当y>0时有

  46. 将FY(y)关于y求导数, 即得Y的概率密度为 (5.1)

  47. 例如设X~N(0,1), 其概率密度为 • 则Y=X2的概率密度为 此时称Y服从自由度为1的c2分布.

  48. 定理 设随机变量X具有概率密度fX(x), -<x<, 又设函数g(x)处处可导且恒有g'(x)>0 (或恒有g'(x)<0), 则Y=g(x)是连续型随机变量, 其概率密度为 • 其中a=min(g(-),g()), b=max(g(-),g()), h(y)是g(x)的反函数.

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