电路基础

1. 电路基础 第七章 动态电路的状态变量分析 上海交通大学本科学位课程

2. 第七章 动态电路的状态变量分析 第五章分析动态电路的方法主要是采用经典方法，即首先确定电路变量(一般选取动态元件的记忆量：uC, iL)建立电路微分方程，再求解之，然后求出其它电路变量。 第六章分析动态电路的方法主要是采用运算方法，即用拉氏变换的方法求解线性动态电路。 在这一章中，将采用一种新的分析动态电路的方法：状态空间法。 状态空间法分析动态电路是在60年代电子计算机发展的基础上得到重视和被采用的，原先无法用手工来完成的计算量借助计算机得以实现，使这种方法得以推广。

3. 第七章 动态电路的状态变量分析 状态空间法也称状态变量法，简单地说，就是用个数最少的状态变量得到一组联立的一阶微分方程，有了这一阶微分方程组，就能够求得电路在任意时刻的全部响应。 状态空间法之所以受到重视，是因为有3个优点 • 解联立的一阶微分方程组在教学中已有熟知的解析和数值方法，便于编写计算机程序 • 便于推广到非线性电路和时变电路 • 便于借用系统理论中的现成方法确定该电路的稳定性，可控性和可观察性

4. §7.1 状态、状态变量和状态方程 • 电路的状态、状态变量和状态方程 “状态”是系统理论中的一个基本概念，也是一个抽象的概念，是用状态变量来具体描述的。 为要描述系统的性能所必须的一组最少量的数据，记成矢量X，如果给定t0 时刻这组数据的值X(t0)，还知道 t>t0 时的输入W，那么，这个系统在t>t0 时的行为就完全确定,X就称状态向量, 每个分量就称状态变量。 天气状态：温度、湿度、风向、风速等。 人体状态：体温、脉、舌苔、呼吸等。

5. §7.1 状态、状态变量和状态方程 经典法 以iL为变量 KCL iC+iL+iR=iS KVL u=uC=uL=uR iC= -iL-iR+iS 支路方程 uL= uC 当iL求得后，可求得其它所有电路变量的响应。

6. §7.1 状态、状态变量和状态方程 • 状态空间法  上面的二阶微分方程可看成是右边两个一阶微分方程组合而成，二个初始条件也是右边的电感和电容的初始状态所提供的，可以设想，右边的形式同样能用来描述电路。 这是一组以iL和uC为变量的联立的一阶微分方程,由iL(0)，uC(0)提供初始值，并能求出t>0 时的iL和uC，通过它们又能求得电路其它响应变量。

7. §7.1 状态、状态变量和状态方程 表示成矩阵形式 如果电路具有n个状态变量，m个激励，则A是nn阶矩阵，B是nm阶矩阵，A和B取决于电路拓扑和元件参数。X为状态向量，简称状态，它的分量iL，uC称为状态变量 称为状态方程。 • 当W= 0,X0≠0时为零输入情况 • 当W≠0,X0 = 0时为零状态情况 • 当W≠0,X0≠0时为全响应情况

8. §7.1 状态、状态变量和状态方程 上面的例子所对应的状态向量X是一个二维列向量，可以认为它是由二个状态变量 iL，uC所组成的二维空间，这空间称状态空间。 对于由iL，uC所组成的二维空间,可以确定一个iL,uC平面,当t 从0→变化时iL从I0→iL，uC从U0→uC，这样就形成了状态变量在状态空间中运动轨迹。 电路的状态空间轨迹，能够反映该电路的特性，由于电路的特性主要是由电路的参数和拓扑结构所决定，所以一般可以只讨论零输入的情况。

9. §7.1 状态、状态变量和状态方程 上左图是线性非时变RLC并联电路在阻尼情况下的响应曲线，中图便是以t 为参变量，对每一个t值，在状态空间中状态(iL,uC)的轨迹。它是从t=0的初始状态开始，在t=时终止于坐标原点。 右图为欠阻尼情况下的状态轨迹从t=0到t=时为螺旋线。 过阻尼和欠阻尼情况，固有频率在s复平面的开左半平面，状态轨迹在t=时到达原点，说明电路是渐近稳定的。

10. §7.1 状态、状态变量和状态方程 无损耗情况下的状态轨迹是以原点为对称的椭园。 若状态轨迹是中心在原点的椭园，则说明响应是等幅振荡的（固有频率在虚轴上） 当固有频率位于 s 复平面的开右半平面上，响应为增幅振荡，状态轨迹是向外发散的，电路是不稳定的。

11. §7.1 状态、状态变量和状态方程 若状态向量X是具有n个分量的n维列向量，则存在一个n维空间，系数矩阵A就是nn阶矩阵，W为表示电源的m维列向量，B为nm阶矩阵，X0表示初始状态，状态方程同样表示成 习惯上把这种形式的线性非时变电路的状态方程称为线性非时变正规式(或标准式)状态方程。 选择状态变量的要求有二条： • 选作状态变量的电路变量应是彼此独立的，以保证所得状态方程是与线性无关的 • 状态变量的个数应是个数最少，又能完全描述电路的状态，即用这些个数最少的状态变量，可求得电路中所有电路变量的响应

12. §7.1 状态、状态变量和状态方程 状态方程是以状态变量为研究对象的一组一阶微分方程，用来研究电路的动态特征。因此，选取储能元件电容上的电压uC或电荷q及电感中的电流iL或磁通作为状态变量是很自然的，因为电路中的任一响应均与uC或q，iL或有密切关系。 如果电路中有n个储能元件 (电路中不含纯电容回路或纯电感割集),则就选取n个状态变量，这样所得的状态方程必定是线性无关的(这一点和经典法是一致的，具有n个储能元件的电路要列n 阶微分方程来求得)

13. §7.1 状态、状态变量和状态方程 由于所求电路响应也可能是除状态变量以外的电路变量，可用Y(t)表示电路输出的p维列向量，则 Y = CX + DW 称为输出方程。输出方程是一组表示输出量与状态变量之间关系的代数方程，其中C和D分别为pn阶和pm阶系数矩阵。输出方程之所以是代数方程，是因为这时的电容电压、电感电流都可以根据替代原理，分别用电压源、电流源来替代，而使电路变成纯电阻电路。

14. §7.2 状态方程的建立 用状态变量法(状态空间法)进行电路分析时，要求得出两组联立方程，一组就是状态方程，一组就是输出方程 • 状态方程的建立 要建立线性定常电路的状态方程，通常选取储能元件的记忆量uC和iL作状态变量(或q, ) 另外，可注意到 表示流经电容的电流， 表示电感上的电压。为了通过状态变量来计算 ，就必须写一个割集方程。同样，为了计算 ，就必须写一个回路方程。

15. §7.2 状态方程的建立 由此可得到一个启示：电容必须在树支支路上，而电感必须在连支支路上。 • 建立状态方程的步骤 ① 选一棵树，使它包含全部电容而不含电感。这样的树称常态树 ② 取树支上的电容电压和连支上的电感电流作状态变量 ③ 对每个电容写一个基本割集方程，对每个电感电流写一个基本回路方程 ④ 消除第三步所得方程中的所有不是状态变量的那些电路变量

16. §7.2 状态方程的建立 例

17. §7.2 状态方程的建立 从电路中可以看出，uR1=R1iL1，uR5=R5(iL1+iL2)， uR2=R2iL2。比较麻烦的是求uR4。 为要用状态变量来表示uR4，可认为状态变量是已知量，于是可用电流源来替代图中的中间支路。

18. §7.2 状态方程的建立 根据分压关系

19. §7.2 状态方程的建立 其中

20. §7.2 状态方程的建立 如果uR4和uR5为输出，可以用状态变量和输入表示为 表示成标准输出形式

21. §7.2 状态方程的建立 例 对 cut1

22. §7.2 状态方程的建立 另外，若出现电容与理想电压源并联或电感与理想电流源串联，则电容电压或电感电流将由外加电源电压或外加电源电流所决定。因此，它们不能作为状态变量，在这种情况下 此时在输出方程中将出现输入向量的导数