第八章 多变量系统的矩阵分式描述及典型状态空间实现 前面所讨论的基于状态空间描述，揭示系统状态能控 性、能观测性等内部结构特性，建立状态反馈、输出反馈

1. 第八章 多变量系统的矩阵分式描述及典型状态空间实现 • 前面所讨论的基于状态空间描述，揭示系统状态能控 • 性、能观测性等内部结构特性，建立状态反馈、输出反馈 • 控制器设计技术，有效地解决了线性多变量系统的分析与 • 综合问题。但是，状态空间法要求受控系统有精确的数学

2. 模型，设计出来的控制器结构比较复杂，方法的物理概念不及经典频域法直观清晰。故在70年代初期，正当状态空间模型，设计出来的控制器结构比较复杂，方法的物理概念不及经典频域法直观清晰。故在70年代初期，正当状态空间 • 法蓬勃发展的时候，英国学派罗森布洛克（Rosenbrock）、 • 梅恩（Mayne）、麦克法兰（MacFarlange）、欧文斯 • （Owens）等人研究表明，单变量系统的传递函数概念可以 • 自然地推广到多变量系统，提出了对系统矩阵分式、多项 • 式矩阵，进而归结到系统矩阵的新的描述方法，并力图将

3. 传递函数矩阵与状态空间法相结合，来分析系统的内部结传递函数矩阵与状态空间法相结合，来分析系统的内部结 • 构特性，为线性多变量系统的分析提供了一种新的有效手 • 段为现代频域法的综合奠定了基础。这些研究成果是70年 • 代以来线性控制理论的新近展，在工业过程的应用中曾获 • 得卓著的成效。本章介绍多项式矩阵及有理分式矩阵等必 • 要的数学基础知识，研究多变量系统的矩阵分式描述的性 • 质和方法，用矩阵及有理分式矩阵等必要的数学基础知识

4. 研究多变量系统的矩阵分式描述的性质和方法，用矩阵分研究多变量系统的矩阵分式描述的性质和方法，用矩阵分 • 式描述来构造各种典型实现、最小实现的方法，以深刻揭 • 示系统的内部结构特性。

5. §8.1 多项式矩阵 • §8.2 有理分式矩阵 • §8.3 系统的矩阵分式描述 • §8.4矩阵分式描述的状态空间实现

6. 8.1 多项式矩阵 定义8.1 矩阵的元素（；） 是变量的多项式，称为多项式矩阵。记为 （8.1） 的最高次数 称为 的次数，记为

7. （8.2） • 可写成降幂形式的矩阵多项式 • （8.3） • 式中是常数矩阵。 • 多项式矩阵的秩及多项式向量的线性相关性 当 • 中只要有一个 阶子矩阵的行列式不恒为零，而所有 阶 • 子矩阵的行列式均恒为零时，称 为 的秩，记为

8. （8.4） • 有 ；为 时，称 满秩。 • 当 阶方阵 的秩为 ，或 不恒等于零时， • 称 为非奇异的。注意到多项式矩阵 的行列式通常仍 • 是 的多项式，对于某些特殊的 值，会有 ， • 但这时仍称 是非奇异的。例如有 、 为 • ，

9. 不恒等于零，尽管 ，仍 • 称 为非奇异的。 ，故 是奇异的。 • 以多项式为元素的向量 ，当选择不 全为 • 零的多项式 ，能使 • （8.5） • 则称 是线性相关的；当且仅当 ，式

10. （8.5）才成立，则称 是线性无关的。 • 下式几种提法是等价的 ：， 阶矩阵的行列 • 式 恒等于零； 中有 行（列）线性无关。 • 当 不恒等于零时， 存在逆阵，记为 。 • （8.6） • 由于 是一多项式矩阵，故 的元素通常是 的有理 • 分式函数， 为有理分式矩阵。为计算 ，通常引入

11. 辅助变量 ，即 • （8.7） • 式中，

12. 为 的多项式； 为 阶多项式矩阵。 • 若能求得 、 ，则 • （8.8） • 适于计算机迭代计算的求逆公式为（推导略） • （8.9）

13. 单模矩阵 多项式矩阵 ，当 ，其 • 仍为多项式矩阵时， 称 为单模矩阵。形如下列的初等变换矩阵 均为单模矩阵，它们均由单位矩阵导出。

15. （8.10）

16. 式中 为常数， 为多项式。 ， ， • 故均为单模矩阵；下列 、 也为单模矩阵： • , • 单模矩阵必非奇异，但反命题不成立。单模矩阵的乘 • 积仍是单模矩阵；单模矩阵的逆阵仍是单模矩阵；所有单模矩阵均为有限个初等变换矩阵的乘积。

17. 当多项式矩阵 左乘以上初等变换阵时，表示对 • 施行行变换，例如 • ，则 的第 行乘以 ； • ，则 的第 行 • 乘以 ； • ，则 的第 行 。 • 与此类似，当多项式矩阵右乘以上初等变换阵时，表示

18. 对 施行列变换。 • 设 多项式矩阵 ，若存在 单模矩阵 • 对 施行有限次行变换及存在 单模矩阵 对 • 施行有限次列变换，结果得到 ，则满足 • （8.11） • 并称 、 等价。由于单模变换时非奇异线性变换，故 • 多项式矩阵的行列式和秩不变。

19. Smith标准型 任意秩为 的多项式矩阵 经过行、 • 列运算均等价于下列司密斯（Smith）标准型 • （8.12）

20. 式中 ； 为不恒为零的首一 • 多项式，且 可整除 ，即存在 。 • 称为 的不变因子， 称为 的 • 不 变多项式。令 的所有 阶子式的最大公因子为 阶行 • 列式因子，记为 ， 。由于单模变换不改变 行列 • 式，故有 • （8.13）

21. 于是 • 且规定 。由于 的唯一性，确定了 的唯一 • 性， 故 是唯一的，但变换顺序可不同，即单模矩阵对 • 不唯一。求 的Smith标准型的基本步骤如 • 下： • （1）将 中不恒为零的元素中次数最低者，通过行、

22. 列交换化为元素； • （2）除元素以外，将第一行及第一列诸元通过初等变 • 换化为零；（用综合除法计算 ，于是 • 由 ）加至第 列，将使 • 交换使用1、2操作可是第一行化为零。对第一列进行上述类同操作。）；

23. （3）对右下角的 子矩阵重复1、2操作； • （4）将诸对角元化为首一多项式。当不满足整除性 • 时，可进行行（列）交换以满足之。 • 例8.1 求下列多项式矩阵的Smith标准型。 • 解 以 表示第 列，以 表示第 行。

26. 多项式矩阵的最大公因子 设多项式矩阵 为 • 矩阵，若存在 ，则称 阶方阵 为 • 的左因子，或 阶方阵 为 的右因子。 • 设两个行数相同的多项式矩阵 与 有相同的左 • 因子 ，即 ， ，或 • 为 的左因子，即

27. ，则称 是它们的左公 • 因子。与此类似，设两个列数相同的多项式矩阵 与 • 有相同的右因子 ，即 ， • ，或 为 的右因子， • 即 ，则称 是它们的 右公因子。

28. 设 是 的一个右公因子，且 其它任 • 何一个 右公因子 均为 的右因子，即 • 则称 是 的一个最大右公因子，记为 • （8.14） • 最大右公因子构造定理 设 、 分别为 、 • 矩阵， 对 作行初等变换 （即左乘

29. 单模矩阵 ），使其变换后矩阵的最后 行恒 • 为零，即 • 则式中 即为 、 的一个最大右公因子。 • 证明 设

30. 故 • 展开有 , （8.16）

31. 由式（8.16）显见 是 、 的一个右公因子。且 • 由式（8.15）有 ，若 、 • 有任一另外的右公因子 ，即 • , • 则 （8.17） • 由式（8.17）显见 是 的任一右因子，故 必定 • 是一个最大右公因子。 强调指出的是，求 、 的最

32. 大右公因子时只作行初等运算。设依次行变换矩阵为 大右公因子时只作行初等运算。设依次行变换矩阵为 • 则总的行变换阵为 。 • 与上述类似，对 只作列初等变换，即右 • 乘一个单模矩阵，使其变换后的矩阵形如 ，式中 • 为 阶方阵，即为 、 的一个最大左公因子。 • 最大公因子具有非唯一性。当 为以最大右公因子 • 时，则 也是一最大右公因子，这里的 为单模矩

33. 阵。这是由于当 • 则以单模矩阵 • 左乘方程两端，可得

34. 式中 仍为单模矩阵，由构造定理可断定 也是 • 、 的一个最大右公因子，还有 • （8.18） • 式（8.18）表明最大公因子与联合矩阵具有相同的秩。

35. 多项式矩阵的互质性 对于 ，其最 • 大左公因子 为单模矩阵时，则称 、 左互质。 • 对于 ，其最大右公因子 为单模 矩阵 • 时，则称 、 右互质。互质的两多项式矩阵不可约 • 分。 • 关于多项式矩阵的互质性右下列结论。 • 简单贝佐特恒等式 、 右互质或不可约的充

36. 要条件是：存在多项式矩阵 、 使 • （8.19） • 式（8.19）称为简单贝佐特恒等式。 • 证明 先证必要性，即 、 右互质时，式（ • 8.19）成立。由式（8.15） 、 的任一最大右公因 • 子 可表为 • （8.20）

37. 由于 、 右互质，由定义知 必为单模矩阵，其 • 逆阵 为多项式矩阵，将式（8.20）两端左乘 ， • 则 • 令式中 ， ，则 、 • 均为多项式矩阵，于是仅当 、 右互质时，式 • （8.19）才得以成立。必要性得证。

38. 再证充分性，即式（8.19）成立时，欲证 、 右互 • 质。若式（8.19）成立，设 是 、 的任一最大 • 右公因子，即 • 则 • （8.21） • 由于已设 、 为多项式矩阵且 、 也是多项

39. 式矩阵，故 必是多项式矩阵，可见 是单模矩 • 阵，也即 、 为右互质。充分性得证。以上性质 • 主要用于理论推导，常用的判断多项式矩阵右互质的方法是： • （1）对 只作行变换求其最大右公因 • 子 ，若 ，则右互质； • （2）对 作行、列变换求其Smith标 • 准型，若为 ，则右互质。这是由于

40. 右互质时 为单模矩阵， 也为单模矩阵，故 • (8.22)

41. (3)观察 的列，若对所有 有下列满秩，则右互 • 质。 • 关于右互质的判断可作出对偶的论述（略）。 • 例8.2 已知多项式矩阵 、 、 ，试确定 、 左互 • 质吗？ 、 右互质吗？ • , ,

42. 解 对 只作初等列变换有

43. 由于 ， 不是单模矩阵，故 、 不是左互质 • 的。 • 对 只作行初等变换有

45. 故 、 右互质。 • 多项式矩阵的列（行）次表示式 元素为多项式的列 • （行）向量，诸元中 的最高幂次称为列（行）次。对于 • 多项式矩阵 ，其第 行列次记为 • (8.23a) • 其第 行次记为 • (8.23b)

46. 由第 列（行） 最高幂次项的系数构 • 成的常数矩阵，称为列（行）次项系数矩阵，记为 • 。 • 例8.3多项式矩阵 为 • 列次分别为 ， ， ；行次分别为 ，

47. 列（行）次项系数矩阵分别为 • , • 利用列（行）次项系数矩阵可将任一多项式分解为下 • 列两矩阵之和 • （8.24a） • （8.24b）

48. 式中 • （8.25a） • （8.25b） • 或 均为仅由诸列或行中最高幂次项构成 • 的多项式矩阵， 、 则为其剩余项构成的多项式矩 • 阵，显然， ( )的列（行）次严格低于 的对

49. 例8.4 按列（行）次项系数矩阵的分解为

50. 当 为方阵时，有 • (8.26a) • (8.26b) • 列（行）既约 设 阶非奇异多项式矩阵 ，当 • 时，称 是列既约的；