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原子物理与量子力学

原子物理与量子力学. 李昌勇 贾锁堂 手机： 13513623862 电话： 7011682. 课时 64 成绩：期中 30 ％，期末 55 ％，平时 15 ％ 教材及参考书 1 、曾谨言 《 量子力学 》 2 、 C.J.Foot <Atomic Physics> 牛津大学出版社 2005 3 、 《 原子物理与量子力学 》 ，朱栋培 , 陈宏芳 , 石名俊，科学出版社， 2008 年 4 、 《 量子力学 》 ，汪德新编著，湖北科学技术出版社， 2003 年（第二版）. 第六章 外场中的原子 6. 1 定态微扰论.

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原子物理与量子力学

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  1. 原子物理与量子力学 李昌勇 贾锁堂 手机：13513623862 电话：7011682

  2. 课时 64 • 成绩：期中30％，期末55％，平时15％ • 教材及参考书1 、曾谨言 《量子力学》 • 2 、C.J.Foot <Atomic Physics> 牛津大学出版社 2005 • 3、《原子物理与量子力学》，朱栋培,陈宏芳,石名俊，科学出版社，2008年4、《量子力学》，汪德新编著，湖北科学技术出版社，2003年（第二版）

  3. 第六章 外场中的原子6. 1 定态微扰论 研究量子体系的行为，在很大程度上和很多情形下就是求解薛定谔方程.而薛定谔方程是一个二阶偏微分方程，势能的形式也多种多样，所以可以精确求解的具体问题是很少的.虽然日益发展的计算机技术可以帮助人们得到很好的数值解，但是仍然有必要了解在具体的物理物理问题中寻求近似解的方法. 对于量子体系的哈密顿量不含时的情形，若精确解难以求得，近似方法之一即是我们首先将要讨论的定态微扰论.

  4. 6.1.1非简并情形 考虑一个与时间无关的哈密顿量Ĥ，如果我们可以把它写成如下形式: Ĥ = Ĥ0 + Ĥ’(6.1.1) 虽然在很多情形下Ĥ0确实可以理解为另外某个哈密顿量，但是这种看法并不是必须的.我们所希望的或所要求的，只是力学量Ĥ0的本征方程，即 Ĥ0│n0 > = En(0) │n(0) > (6.1.2)

  5. 易于求解.这里的n 泛指描述量子体系的量子数，它可以是一个数，如能级的标记; 也可以是若干个数，如包括角动量量子数以及角动量的z 分量的量子数.在目前讨论的非简并情形中，本征态和本征值是一一对应的.另外，为了易于计算和讨论，假设Ĥ0的能级是离散的. 我们面临的问题就是，利用易于求解的(6. 1. 2) 式以及它已知的解，获得由(6.1.1)式表示的哈密顿量的本征值及本征态的近似解，即寻求如下本征方程的近似解: ( Ĥ0+ Ĥ’)│n> = En│n> (6.1.3)

  6. Ĥ’被视作对于Ĥ0的扰动，称为微扰项.有如此说法则意味着相比于Ĥ0而言， Ĥ’是"很小"的，然而这二者都是算子，言其大小是很不严谨的，在下面的讨论中将给出 Ĥ’被当成"微"扰项的条件. (6. 1. 2) 式的解已然知晓，方程(6. 1. 3) 则是希望求解的.暂且考察如下形式的本征方程:

  7. ( Ĥ0+ Ĥ’)│n> = En│n> (6.1.4) 其中的实参数 连续地从0变化到1. =0 对应于(6.1.2)式, =1对应于(6.1.3)式,引入参数意味着可以”控制”微扰项Ĥ’对于量子系统的影响程度. 在详细阐述之前，我们通过下面的例子说明参数的作用和含义

  8. 1/2 两能级体系 设某个最子系统有哈密顿量 设Ĥ’12和Ĥ’21都是实数，而Ĥ是厄米的，故Ĥ’12=Ĥ’21该哈密顿量的本征方程易解,其本征值为

  9. 设想 Ĥ =Ĥ0+ Ĥ’ , 而 将Ĥ’当作敬扰项，依据近似的观点，本征值E1和E2可以按照的幕次展开.当主│Ĥ’12│<<│E1(0)-E2(0)│时，有

  10. 可见参数 可作为能量本组值的级数展开的一个标记，其幂次标志了展开项的阶数，也可说是表示了近似解的精确程度.令=1，便可得到关于哈密顿量Ĥ0+Ĥ’的本征值的级数展开.而级数的收敛需有条件 │Ĥ’12│<<│E1(0)-E2(0)│ (6.1.6) 继续考察(6.1.4)式.设其能量本征值可如上述示例 中的(6.1.5) 式那样作级数展开

  11. 相应地，本征态也可做类似的展开 将(6.1.7) 、(6.1.8)的式代入(6.1.4) 式，令方程两边扩的k系数相等，有

  12. (6.1.9) 式描述的是系统未受扰动时的情形，也稳为0级近似，所有的非简并的In(0)>构成了正交归一旦完备的基.因此, In>可以表示为 在继续求解更高级的近似之前，考虑态的归一化，即最终得到的|n>需是归一的.有多种使之归一的办法，这里选择如下设定: <n(0)|n> = 1 (6.1.14) 这一设定尚不足以保证<nln>=1,但是, |n>的归一化可以在得到了它的某一阶近似展开的具体形式后进行.引入(6.1.14) 式主要是为了以后的推导更为简明.

  13. 注意到|n> 的展开(6.1.8)式，有 <n(0)|n> = <n(0)|n(0)>+<n(0)|n(1)>+ 2 <n(0)|n(2)>+…=1 上式对任意的均应成立，故有 <n(0)|n(r)> = 0, r>0 (6.1.15) 这表明态的高级修正项--即若干个|n(r)> (r>O)--与0级项是正交的. 考虑(6.1.10)式，它对应于一级修正(或者说一级近似).|n(r)> 可展开为

  14. (6.1.16)式右端的求和中不含有n’=n这一项,这是由(6.1.15)式决定的. 将(6.1.16)式代入(6.1.10)式,并左乘<m(0)|有 注意到<m(0)|Ĥ0 = Em(0)<m(0)|, 并且将矩阵元<m(0)|Ĥ0|n(0)>简记为 H’mn， 有 当m = n 时，得到能量本征值的一级修正

  15. 当m ≠ n 时，得到系数am(1) 代入(6.1.16)式, 得到态的一级修正 方程(6.1.18) 和(6.1.19) 即是一级近似的修正，在一级近似下，体系的本征值为 En = En(0) + En(1) (6.1.21) 本征态为 |n> = |n(0)> + |n(1)> (6.1.22) 然后对(6.1.22) 式归一化.

  16. 继续考虑由方程(6.1.11)给出的二级修正，其过程与一级近似的计算类似. 实际上，能量本征值的修正结果可以立即给出，在方程(6.1.11)式的两端左乘<n(0)|,有 并且利用 <n(0)|n(1)> = <n(0)|n(2)> = 0，有 En(2) = <n(0)|Ĥ’|n(1)> (6.1.23) 再将|n(1)>的表达式(6.1. 20)代入，得 (6. 1. 24)

  17. 本征态的二级修正在此不做详细计算，直接给出结果如下:本征态的二级修正在此不做详细计算，直接给出结果如下: (6. 1. 25) 做近似考虑时，一般情况F能量本征值精确到二级修正，本征态精确到一级修正. 下面给出关于非简并微扰的更为紧凑的处理方法一-Brillouin-Wigner 方法.

  18. 6.1.2 布里渊-维格纳(Brillouin-Wigner)方法 定义算子 (6. 1. 26) 沿用前述(6. 1. 14) 式，即<n(0)|n>=1，可以将|n> 的表达式(6.1.13)写作 (6. 1. 27)

  19. 注意到算子 与Ĥ0对易,有 以算子(En - Ĥ0 )-1左乘方程两端，给出 (6. 1. 28) 令 (6. 1. 29) 可将(6.1.27)改写为 (6. 1. 30) 将(6.1.30)式代入其自身右端的|n>,并反复迭代，有 (6. 1. 31)

  20. (6. 1. 32) 至此得到了Ĥ0 + Ĥ’的本征态|n> 的任意阶的近似表示.为了求本征值的近似解,考虑到 该级数表示也就是 立即有 其中，出现的|n>由(6.1.31)式确定.

  21. [例6.1.1] 弱电场中的带电谐振子. 一个质量为,自然频率为的一维谐振子，带有电量q，处在均匀的常电场中,用微扰论计算其能级的修正. 解 这个系统的哈密顿量为 很自然地,我们对它做如下的划分: 对弱电场言,微扰是小项.

  22. Ĥ0的能级和本征态是 上册P99,Q2.6.20 这是个非简并系统.在计算微扰修正中最重要的是计算微扰项的矩阵元.

  23. 其中， ，于是有 在上册的我们已得公式(用波函数积分算或在粒子数表象做) ，矩阵元 一级微扰修正

  24. 一般总要求计算出非零的微 扰修正，于是看二级修正 ħ 我的看到，二级修正后，系统的能量为

  25. 所有能级都下降了.如再计算高级修正，皆得零.事实上，这是系统精确解.我的可用另一种办法算.所有能级都下降了.如再计算高级修正，皆得零.事实上，这是系统精确解.我的可用另一种办法算. 事实上，前面弱场中的谐振子哈密顿量可改写一下

  26. 我们看到，哈密顿量Ĥ(x’)描写了一个坐标平移后的谐振子，它的能量本征值我们是知道的，于是就可求得系统Ĥ(x)的本征值，它不过是能级平移一下而已我们看到，哈密顿量Ĥ(x’)描写了一个坐标平移后的谐振子，它的能量本征值我们是知道的，于是就可求得系统Ĥ(x)的本征值，它不过是能级平移一下而已 这确实是个精确结果!

  27. [例6.1.2] 非谐振子. 作为一个例子说明定态微扰理论如何应用，我们来讨论一维非谐振子的问题,前曾经讨论谐振子问题，求出了它的能级和波函数.但谐振子一般只是真实力学体系的理想情况，在实际情况下，体系的势能不像ω2x2/2 那样简单，而是由比较复杂的函数V(x)表示的.如两个原子组成的分子的振动势能正是如此.设r为两个原子之间的距离，则振动势只是r的函数，记为V(r).我们可以将V(r)在振动的平衡位置r0附近展开

  28. 引人记号 则有 (6.1.35) 如果振动势能曲线和理想的谐振子势能 差别很小，则V(x) 的展开式中我们只要取前几项(如前三项)就可以了.这就是说， V(x) 还是可以用谐振子势来作近似，但是要附加一个微小的非谐振项ßx3， 这里的ß我们认为是一个小量.这样的振子就称之为非谐振子.这种近似在讨论分子的振动能级时常用到.

  29. 因此，一个非谐振子体系的哈密顿算符可以写成(取平衡位置的势能V(r0) 为零) • 其中，Ĥ为线性谐振子的哈密顿算符.H‘=ρx3是非谐振项，可以看作微扰.现在我们来讨论原来的谐振子处于第m个本征态时受到幸简谐势卢t 微拉 • 后的情况.提据前面的讨论，直到二级微扰的能量为

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