1 ． 2 ． 1 三角函数的定义

1. 1．2．1 三角函数的定义 李寿江

2. 学习目标： 1.理解三角函数的定义。 2.会利用三角函数的定义求简单角的函数值。 3.理解并掌握三角函数在各象限的符号。 教学重点： 会利用三角函数的定义求角的函数值，会判断，三角函数在各象限的符号。 教学难点： 求角的函数值时对象限符号的判定。

3. 1.初中学过的锐角三角函数的定义: 在直角三角形ABC中，角C是直角，角A为锐角，则用角A的对边BC，邻边AC和斜边AB之间的比值来定义角A的三角函数.

4. 2.用坐标的形式表示出初中所学的锐角三角函数： 以角α的顶点O为坐标原点，以角α的始边的方向作为x轴的正方向，建立直角坐标系xOy, 则角α的终边落在直角坐标系的第一象限内， 记∠MOP= α

5. sinα= ，cosα= ，tanα= 。 若点P (x,y)是角α终边上的任意一点，点P到原点O的距离是r , 试将角α的三角函数用x、y、r的式子表示出来。

6. 3. 任意角的三角函数 : （1）确立任意角α在直角坐标系中的位置； 以角α的顶点O为坐标原点，以角α的始边的方向作为x轴的正方向，建立直角坐标系xOy ； （2）在其终边上取点A，使OA=1，点A的坐标为(l, m)，再任取一点P(x,y)，设点P到原点的距离为r，OP =r（r≠0），根据三角形的相似知识得：

7. 因为A、P在同一象限内，所以它们的坐标符号相同，因此得因为A、P在同一象限内，所以它们的坐标符号相同，因此得

8. 叫做角α的余弦，记作cosα , 即cosα= ； 不论点P在终边上的位置如何，它们都是定值，它们只依赖于α的大小，与点P在α终边上的位置无关。即当点P在α的终边上的位置变化时，这三个比值始终等于定值。

9. 叫做角α的正弦，记作sinα， 即sinα= ； 叫做角α的正切，记作tanα， 即 tanα=

10. 角α的正割，记作secα= = ； 角α的余割，记作cscα= = ； 角α的余切，记作cotα= = ；

11. y x

12. 依照上述定义，对于每一个确定的角α，都分别有唯一确定的余弦值、正弦值与之对应： 当α≠kπ (k∈Z)时，它有唯一的正切值与之对应. 因此这三个对应法则都是以α为自变量的函数，分别叫做角α的余弦函数、正弦函数和正切函数。

13. 4. 几点说明： (1) 这里提到的角α是“任意角” 。 （2）锐角三角函数是以边长的比来定义的，都是正值；任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标的比来定义的，不一定都是正值。

14. (3)三角函数是以角为自变量，以“比值”为函数值的函数。 正弦函数可记作: f(α) = sinα h(α) = cosα 余弦函数可记作: 体会对应法则 正切函数可记作: g(α) = tanα

15. 对于正弦函数sinα= , 因为r>0，所以恒有意义，即α取任意实数， 恒有意义，也就是说sinα恒有意义，所以正弦函数的定义域是R；类似地可写出余弦函数的定义域是R； 三角函数函数的定义域

16. 对于正切函数tanα= , 因为x=0时， 无意义，又当且仅当α的终边落在y轴上时，才有x=0，所以当α的终边落不在y轴上时， 恒有意义，即tanα= 恒有意义，所以正切函数的定义域是{α|α≠kπ+ （k∈Z）}

17. y=tanα ,α≠kπ+ （k∈Z） 从而三角函数的定义域是 y=sinα, α∈R y=cosα, α∈R

19. y y y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x o o o ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

21. 例3.设sinθ<0且tanθ>0，确定θ是第几象限的角。 解：因为sinθ<0，所以θ可能是第三、四象限的角，又tanθ>0，θ可能是第一、三象限的角，综上所述，θ是第三象限的角。

22. 例4. 确定下列三角函数值的符号: （1）cos250º; （2） （3）tan(－672º)；（4） (2) － 在第四象限，所以sin(－ )<0. (4) 在第四象限，所以tan( )<0. 解： （1）250º在第三象限，所以cos250º<0. (3) －672º在第一象限，所以tan(－672º)>0.

24. 2 2 5 5 5 5 5 5 5 2 5 2 若是第三象限的角, 取终边上一点P(-1, -2), 则r= 5 . y x y 从而sin= =- 5 , cos= =-, tan= =2, r r x x r r cot= = , sec= =-5, csc= =- . y y x 若是第四象限的角, 取终边上一点P(1, -2), 则r= 5 . 1 1 y x y 从而sin= =- 5 , cos= = , tan= =-2, 2 2 r r x x r r cot= =- , sec= = 5, csc= =- . y y x 例6.若的终边与函数y=-2|x|的图象重合, 求的各三角函数值. 解:∵的终边与函数y=-2|x|的图象重合, ∴是第三或第四象限的角.

25. 课后练习

27. 3 4 3 3 4 3 5 5 4 5 5 4 y -3t -3t 当t>0时, sin= = = =- , r 5|t| 5t y y -3t -3t x 4t 4t tan= = =- ; tan= = =- . cos= = = =, x x 4t 4t r 5|t| 5t y -3t -3t 当t<0时, sin= = = =, r 5|t| -5t x 4t 4t cos= = = =- , r 5|t| -5t 4.已知角的终边上一个点P的坐标为(4t, -3t)(t0), 求的正弦、余弦和正切值. 解:由已知有x=4t, y=-3t, ∴|OP|=r=5|t|.

28. 5.若点p(-8，y)是角α终边上一点，且 sin α=3/5，则y的值是__________. 6、已知角α=3π/2，分别求sinα，cosα，tanα

29. P(x,y) r y y x x o 小结：本节课我们学习了三角函数的定义，即 　　设α是一个任意角，α的任意一点Ｐ(除端点外)的坐标(x,y),它与原点的距离是r,那么： (1)比值y/r叫做α的正弦，记作sinα,即sinα=y/r; (2)比值x/r叫做α的余弦，记作cosα,即cosα=x/r; (3)比值y/x叫做α的正弦，记作tanα,即tan=y/x; 　　 这一过程反应了人们认识数学概念的分划过程.即数学概念是在人们的认识不段深化的过程中逐步完善起来的．